1.2.2 空间中的平面与空间向量(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2.2　空间中的平面与空间向量 1.2　空间向量在立体 几何中的应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 A 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 D 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.2　空间中的平面与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造。 旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口。牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢? 1.理解平面法向量的定义,会求平面的法向量,并能利用平面法向量证明线面的平行与垂直。 2.理解并应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线的垂直。 知识点一、平面的法向量 1.定义。 如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个　　　　　,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的　　　　　　。此时,也称n与平面α垂直,记作　　　　。  非零向量 一个法向量 n⊥α 2.性质。 (1)如果直线l垂直平面α,则直线l的　　　　方向向量都是平面α的一个法向量;  (2)如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都　　　　;  (3)如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量一定与向量n垂直,即　　　　,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定。  任意一个 平行 ·n=0 α1∥α2,或α1与α2重合 3.利用法向量判断线面、面面的平行或垂直。 (1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则有:n∥v⇔　　　　;n⊥v⇔　　　　　　　　　　　。  (2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则有:n1⊥n2⇔　　　　;n1∥n2⇔　　　　　　　　　　　　。  l⊥α l∥α,或l⊂α α1⊥α2 射影 斜线 知识点二、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理:如果　　　　内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的　　　　 垂直,则它也和这条　　　　垂直。  三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条　　　　垂直,则它也和这条斜线在该平面内的　　　　垂直。  微提醒 定理中的已知直线必须是已知平面内的直线。三垂线定理及其逆定理主要解决异面直线垂直问题。 平面 射影 斜线 微思考 零向量能作为直线的方向向量和平面的法向量吗? 提示:零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量,这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置,而零向量的方向是任意的,无法用零向量来描述空间直线与平面的位置。 类型一　求平面的法向量 　　【例1】　四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2, AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量。 解　因为AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,所以以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),所以=(1,0,0)是平面SAB的法向量。设平面SCD的法向量为n=(1,y,z),则n·=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,所以y=-。又n·=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,所以z=。所以n=即为平面SCD的一个法向量。 　　求一个平面的法向量的方法一般有两种:一是几何法,利用几何条件找出一条与平面垂直的直线,在其上取一条有向线段(或特殊的方向向量)即可;二是代数法,借助建立空间直角坐标系,利用待定系数法求解,步骤如下: (1)设平面的法向量为n=(x,y,z)。 (2)找出(求出)平面内两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)。 (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组即 　　(4)解方程组:先用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值,从而得到平面的一个法向量。 注意:n≠0。 　　【变式训练】　已知平面α经过A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)三点,求平面α的一个法向量。 解　由已知得=(1,-2,-4),=(1,-2,1),设平面α的一个法向量为n=(x,y,z),则有解得z=0,令x=2,则y=1,所以平面α的一个法向量为n=(2,1,0)。 类型二　利用向量法证明平行、垂直问题 　命题方向1:证明平行问题 【例2】　如图所示,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点P,M和N分别为CC1,B1C和D1D的中点。求证: (1)MN∥平面ABCD; (2)平面PMN∥平面ABCD。 证明　如图所示,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2)。 因为M,N分别为B1C,D1D的中点,所以M, N(1,-2,1)。 (1)依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,又=,则·n=0,又直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD。 (2)因为P为CC1的中点,所以P点坐标为(2,0,1),=,=(-1,-2,0)。设平面PMN的法向量为m=(x,y,z),则即则x=y=0,令z=2,所以m=(0,0,2),因为m=2n,所以m∥n,所以平面PMN∥平面ABCD。 　　利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题。 【变式训练】　设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k= ( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析　因为α∥β,所以n1∥n2,即==,所以k=4。故选C。 　命题方向2:证明垂直问题 【例3】　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点。 求证:(1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面ABE。 证明　(1)因为AB,AD,AP两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系。设PA=AB=BC=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1)。因为∠ABC =60°,所以△ABC为正三角形。所以C,E。设D(0,y,0),由AC⊥CD,得·=0,即y=,则D0,,0,所以=。 又=,所以·=-×+×=0,所以⊥,即AE⊥CD。 (2)证法一:因为=(1,0,0),=,所以设平面ABE的一个法向量为n=(x, y,z),则令y=2,则z=-,所以n=(0,2,-)。因为=,显然=n,所以∥n,所以⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE。 证法二:因为P(0,0,1),所以=。又=(,,),·=×+×(-1) =0,所以⊥,即PD⊥AE。因为=(1,0,0),所以·=0,所以PD⊥AB。又AB∩AE =A,AB,AE⊂平面ABE,所以PD⊥平面ABE。 　　(1)证明线线垂直一般转化为证明直线上的方向向量的数量积为零。 (2)证明线面垂直有两种方法:一是用线面垂直的判定定理证明;二是通过证明直线上的方向向量与平面的法向量平行来证明。 【变式训练】　已知平面α的法向量为n=(2,-2,4),=(-1,1,-2),则直线AB与平面α的位置关系为 ( ) A.AB⊥α B.AB⊂α C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥α 解析　因为=(-1,1,-2),n=(2,-2,4),所以n=-2,所以n∥,所以AB⊥α。 类型三　三垂线定理及其逆定理的应用 【例4】　如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面C1BD。 证明　连接AC。因为A1A⊥平面ABCD,所以AC是A1C在平面ABCD内的射影。又因为DB⊥AC,所以由三垂线定理,得DB⊥A1C。连接B1C。因为A1B1⊥平面BCC1B1,所以B1C是A1C在平面BCC1B1内的射影。又因为BC1⊥B1C,所以由三垂线定理,得BC1⊥A1C。又DB∩BC1=B,DB,BC1⊂平面C1BD,所以A1C⊥平面C1BD。 　　用三垂线定理及其逆定理证明直线与直线垂直过程中构造三垂线定理的基本图形的三个环节: 【变式训练】　如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点,求证:直线PB1⊥平面 PAC。 证明　证法一:连接BD,因为B1B⊥平面ABCD,PD⊥平面ABCD,所以DB是PB1在平面ABCD内的射影。又因为DB⊥AC,所以由三垂线定理,得AC⊥PB1。连接PC1,因为B1C1⊥平面CDD1C1,所以PC1是PB1在平面CDD1C1内的射影。又PC2=PD2+ DC2=2,C=4,P=C1+P=2,所以C=PC2+P,即PC⊥PC1。由三垂线定理,得PC⊥PB1。又PC∩CA=C,PC,CA⊂平面PAC,所以PB1⊥平面PAC。 证法二:以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,则C(1,0,0),P(0,0,1),A(0,1,0),B1(1,1,2),所以=(-1,1,0),=(-1, 0,1),=(1,1,1)。所以·=-1×1+1×1+0×1=0,·=-1×1+0 ×1+1×1=0,所以⊥,⊥,即PB1⊥CP,PB1⊥CA。又因为CP∩CA=C,且CP⊂平面PAC,CA⊂平面PAC,所以直线PB1⊥平面PAC。 1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一个法向量是 ( ) A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(0,1,1) 解析　平面xOz的法向量与y轴共线。 2.若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则 ( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 解析　因为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),u与v不共线,所以平面α与平面β不平行,又因为u·v=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,所以平面α与平面β不垂直。故选C。 3.下列命题中正确的是 ( ) A.如果直线l与平面α外的一条直线l'在平面α内的射影垂直,则l⊥l' B.如果直线l与平面α外的一条直线l'垂直,则l与l'在平面α内的射影垂直 C.如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直,则a⊥l D.如果非零向量a和平面α平行,且和直线l垂直,直线l不与平面α垂直,则a垂直于l在平面α内的射影 解析　由三垂线定理的逆定理,知D项正确。 4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则=   。  解析　由⊥有·=0,得3+5-2z=0,所以z=4。因为⊥平面ABC,所以即解得所以=。 5.在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F。 求证:(1)PA∥平面EDB; (2)PB⊥平面EFD。 证明　建立如图所示的空间直角坐标系。D是坐标原点,设DC=a。 (1)连接AC交BD于点G,连接EG,依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,)。因为底面ABCD是正方形,所以G是底面正方形的中心,故点G的坐标为,所以= (,0,-)。又=(a,0,-a),所以=2,即PA∥EG。又EG⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB。 (2)依题意得B(a,a,0),=(a,a,-a),=,因为·=0+=0,所以⊥,即PB⊥DE。又已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,EF,DE⊂平面EFD,所以PB⊥平面EFD。 $$