1.2.1 空间中的点、直线与空间向量(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2　空间向量在立体 几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 <v1,v2> π-<v1,v2> sin<v1,v2> |cos<v1,v2>| 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 (1,0,5) 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 B 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素。因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面,正是我们这一节学习的内容。 1.理解直线的方向向量,会用向量方法证明线线平行。 2.会用向量运算证线线垂直,会求两直线所成的角。 知识点一、空间中的点、直线与空间向量 1.空间中的点与空间向量。 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为　　　　　　　　。特别地,空间直角坐标系中的任意一点都由它的　　　　　唯一确定,从而也就由它的坐标唯一确定。  点P的位置向量 位置向量 2.空间中的直线与空间向量。 (1)定义:一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l　　　　　　,则称v为直线l的一个方向向量。此时,也称向量v与直线l平行,记作　　　　。  (2)性质:①如果A,B是直线l上两个不同的点,则v=就是直线l的一个方向向量; ②如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且有线l的任意两个方向向量都平行; 平行或重合 v∥l ③如果v为直线l的一个方向向量,A为直线l上一个已知的点,则对于直线l上任意一点B,向量一定与非零向量v平行,从而可知存在唯一的实数λ,使得=λv,这就是说,空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定; ④如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔　　　　　　　　　　。  l1∥l2,或l1与l2重合 知识点二、空间中两条直线所成的角 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ, 则θ=　　　　或θ=　　　　。特别地,sin θ=　　　　　,cos θ=　　　　　。而且l1⊥l2⇔<v1,v2>=。  　 1 ② 知识点三、异面直线与空间向量 1.异面直线的判定。 设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量。如图所示,如果A∈l1,B∈l2:则l1与l2异面时,可知v1,v2,是不共面的;反之,如果v1,v2,不共面,则l1与l2是异面的。 　 1 ② 2.公垂线段的定义。 一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的　　　　　　。两条异面直线的　　　　　的长,称为这两条异面直线之间的距离。  公垂线段 公垂线段 微提醒 (1)在已知的两条直线上(或同方向上)分别取这两条直线的方向向量v1,v2,则cos<v1,v2>=。但要注意,两直线的夹角与<v1,v2>并不完全相同,当<v1,v2>为锐角、直角或零角时,θ=<v1,v2>;当<v1,v2>为钝角时,θ=π-<v1,v2>。 (2)两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]。 微思考 (1)一条直线的方向向量是否有且只有一个? (2)利用待定系数法求出的公垂线段是否唯一? 提示:(1)如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λv也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行,所以,一条直线的方向向量有无数个。 (2)唯一。利用待定系数法求公垂线段时,由于方程组有且只有一组解,因此两条异面直线的公垂线段有且只有一条。 类型一　求空间中点的坐标 　　【例1】　已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: ①AP∶PB=1∶2; ②AQ∶QB=2∶1。 求点P和点Q的坐标。 解　①由已知,得=2,即=2(),=+。设点P的坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+1=,z=0+1 =1。因此,P点的坐标是。②因为AQ∶QB=2∶1,所以=-2,即 =-2(),=-+2。设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6。因此,Q点的坐标是(0,2,6)。 　　确定空间中的点的位置,即把已知条件转化为向量关系,从而得到要求点的坐标。 【变式训练】　已知O为坐标原点,如图,四面体OABC中,A(0,3,5), B(1,2,0),C(0,5,0),直线AD∥BC,并且AD交坐标平面xOz于点D,则点D的坐标为 。  解析　因为D∈平面xOz,设D(x,0,z),则=(x,-3,z-5),=(-1,3,0),因为AD∥BC,所以=λ,所以(x,-3,z-5)=λ(-1,3,0),所以λ=-1,x=1,z=5,即D(1,0,5)。 类型二　空间向量法证明线线平行 　　【例2】　在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点。证明:PQ∥RS。 证明　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系。则P(3,0,1),Q(0,2,2), R(3,2,0),S(0,4,1),=(-3,2,1),=(-3,2,1),所以=,所以∥,所以PQ∥RS。 　　空间中的平行关系本质上是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量a∥b,即a=λb(λ∈R)。 【变式训练】　已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-1),b=(x,2y,2)。若l1∥l2,则 ( ) A.x=2,y=1 B.x=1,y=1 C.x=-2,y=-2 D.x=-2,y=-1 解析　由l1∥l2,可知a∥b,所以存在实数λ,使得(x,2y,2)=λ(1,2,-1),解得x=-2,y=-2。 类型三　空间中两条直线所成的角 　　【例3】　正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点。求:异面直线AE与CF所成角的余弦值。 解　不妨设正方体棱长为2,分别取DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0), C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以|| =,||=。·=-1+0+4=3。又·=||||cos<,> =cos<,>,所以cos<,>=,所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为。 　　利用向量法求两条直线所成的角的步骤 (1)确定两条直线的方向向量; (2)确定两个向量夹角的余弦值; (3)比较余弦值与0的大小,以确定向量夹角的范围; 　　(4)确定两条直线所成的角与向量夹角的关系,得出两条直线所成的角。 【变式训练】　已知向量v1=(2,0,3),v2=(-3,0,2),则以向量v1,v2为方向向量的直线l1,l2的夹角为  。  解析　由已知得v1=(2,0,3),v2=(-3,0,2),v1·v2=2×(-3)+0+3×2=0,所以v1⊥v2,即l1⊥l2,所以直线l1,l2的夹角为。 1.已知O(0,0,0),M(5,-1,2),A(4,2,-1),若=,则点B的坐标为 ( ) A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1) 解析　设点B的坐标为(x,y,z),由=得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),可得点B(9,1,1)。 2.已知直线l1的方向向量a=(1,2,-2),直线l2的方向向量b=(-2,3,m)。若l1⊥l2,则m= ( ) A.1　　 　B.2 C.　　　 D.3 解析　因为l1⊥l2,所以a⊥b,即a·b=(1,2,-2)·(-2,3,m)=-2+6-2m=0,所以m=2,故选B。 3.设直线l1的方向向量为s1=(1,1,1),直线l2的方向向量为s2=(-2,2,-2),则l1,l2夹角的余弦值为  。  解析　因为cos<s1,s2>===-<0,所以<s1,s2>>,所以l1,l2的夹角θ=π-<s1,s2>,所以cos θ=。 4.如图,已知正三棱柱ABC⁃A1B1C1的棱长均为2,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为  。  解析　以AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A1(0,-1,2),B(,0,0),B1(,0,2),C(0,1,0),所以=(,1,-2), =(-,1,-2),所以cos<,>===。所以异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为。 5.已知在正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,点M,N分别是棱BB'与对角线A'C的中点,求证:MN⊥BB',MN⊥A'C。 证明　不妨设已知正方体的棱长为1,以D为坐标原点,,,'的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz。由已知条件得M,B(1,1,0),C(0,1,0),A'(1,0,1), N,B'(1,1,1),所以=-,-,0,=(-1,1,-1),=(0,0,1)。因为·=0,所以MN⊥A'C。又·=0,所以MN⊥BB'。 $$