1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.3　空间向量的坐标 与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 (4,-8,3) (-2,-3,7) 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 0 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 C 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 60° 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1.1.3　第1课时　空间向量的坐标及运算 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 B版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 当堂检测·提素养 情境导入 课程标准 　　我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……。” 几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算。 1.了解空间向量坐标的定义。 2.掌握空间向量的坐标运算。 3.会计算向量的长度及两向量的夹角。 知识点一、空间中向量的坐标 1.单位正交分解。 一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为　　　　　　　　;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解。  2.空间中向量的坐标。 空间中任意一个向量p,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=　　　　　　,其中x,y,z都称为p的　　　　　　。  单位正交基底 (x,y,z) 坐标分量 x1x2+y1y2+z1z2 知识点二、空间向量的运算与坐标的关系 空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)。 (1)a+b=　　　　　　　　　　　　;  (2)a-b=　　　　　　　　　　　　;  (3)ua+vb=　　　　　　　　　　　　(u,v为实数);  (4)a·b=　　　　　　　　　　　　;  (5)|a|==　　　　　　　,|b|==　　　　　　　;  (6)cos<a,b>==　　　　　　　　　　　　(a≠0且b≠0)。  (x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2) 微提醒 单位正交基底之间的数量积 (1)因为e1,e2,e3互相垂直,所以e1·e2=0,e1·e3=0,e2·e3=0。 (2)因为e1,e2,e3为单位向量,所以e1·e1=1,e2·e2=1,e3·e3=1。 微思考 求空间两向量的夹角的步骤是怎样的? 提示:(1)求a·b;(2)分别求|a|,|b|;(3)计算cos<a,b>的值;(4)确定<a,b>。 类型一　空间向量的坐标表示 　　【例1】　如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,E,F,G分别为棱DD',D'C',BC的中点,以{,,}为基底,求下列向量的坐标。 (1),,; (2),,。 解　(1)=+=+=+=,=+=+= ,=++=++=。 (2)==-+=+=,====,==+==。 　　【互动探究】　本例中,若以{,,}为基底,试写出,,的坐标。 解　=+=-+=,=+=+=-+= ,=+=。 　　空间向量坐标表示的注意点 (1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为{e1,e2,e3},b=λe1+μe2+ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)。 (2)向量的坐标与点的坐标表示方法不同,如向量a=(x,y,z),点A(x,y,z)。 【变式训练】　设{e1,e2,e3}是空间向量的一组单位正交基底,a=4e1-8e2+3e3, b=-2e1-3e2+7e3,则a,b的坐标分别为 、 。  解析　由于{e1,e2,e3}是空间向量的一组单位正交基底,所以a=(4,-8,3),b=(-2,-3,7)。 类型二　空间向量的坐标运算 　　【例2】　已知向量a=(2,-1,2),b=(3,-4,0),试求: (1)2a-3b; (2)a·(-b); (3)(2a-3b)·(2a+3b); (4)cos<a,b>。 解　(1)2a-3b=(4,-2,4)-(9,-12,0)=(-5,10,4)。 (2)a·(-b)=(2,-1,2)·(-3,4,0)=2×(-3)+(-1)×4+2×0=-10。 (3)(2a-3b)·(2a+3b)=(2a)2-(3b)2=4|a|2-9|b|2=4×9-9×25=-189。 (4)|a|==3,|b|==5。cos<a,b>===。 　　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题。 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算。 (2)由条件求向量的坐标或参数值。 首先把向量坐标形式表示出来,然后通过空间向量坐标运算公式求出其坐标或参数值。 【变式训练】　设向量a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知a在b上的投影的数量为1,则x= 。  解析　因为a在b上的投影的数量为1,所以|a|·cos<a,b>=1,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=|b|,所以-3-2x+8=>0,解得x=0或x=。又因为-3-2x+8>0,所以x<,所以x=0。 1.已知向量a=(x,3,1),b=(2,y,4),若a=zb且c=(x,y,z),则c= ( ) A. B. C. D. 解析　由题意可得(x,3,1)=z(2,y,4),即解得所以c=。故选C。 2.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos<a,b>= ( ) A. B. C. D. 解析　由已知得a=(1,,),b=(1,0,),故cos<a,b>===。 3.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ= ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3。 4.已知点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),且=a,=b,则<a,b>= 。  解析　由题中条件得a=(-1,-1,0),b=(-1,0,-1)。故cos<a,b>== =,所以<a,b>=60°。 5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4)。 (1)计算2a-3b和|2a-3b|; (2)求<a,b>。 解　(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8)。|2a-3b|==3。 (2)cos<a,b>===,又<a,b>∈[0,π],故<a,b>=。 $$