4.1 第1课时 数列的概念与表示(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章 数列 ▶导语:数列是一类特殊的函数,是数学重要的研究对象,是研究其他函数的基本工具,在日常生活中也有着广泛的应用。本章通过对具体例子的分析,抽象出了数列的概念,通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律,并运用它们解决了一些问题。 要点精准概括 3个重要概念:数列、等差数列、等比数列 4个重要公式:等差数列通项公式、等差数列前n项和公式、等比数列通项公式、等比数列前n项和公式 5种重要关系:数列与函数、等差数列与一次函数、等差数列前n项和与二次函数、等比数列与指数函数、数列的递推公式与通项 2种重要性质:等差数列的性质、等比数列的性质 3种重要应用:等差数列的实际应用、等比数列的实际应用、递推数列的实际应用 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 冬奥会每四年举办一次。第17届冬季奥运会是在1994年举办的,2022年举办了北京冬奥会,那么北京冬奥会是第多少届?经过列举得到一列数:1 994,1 998,2 002,2 006,2 010,2 014,2 018,2 022。显然北京冬奥会是第24届冬奥会,这就是今天我们要学习的数列。 通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。 1.数列的概念 (1)数列与数列的项。 ①数列:按照确定的顺序排列的一列数称为数列。 ②数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示。其中第1项也叫做首项。 (2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}。 (3)数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f (n)。 2.数列的表示方法 (1)表示方法:解析式法、表格法、图象法。 (2)数列的单调性。 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 微提醒 1.数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性。数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1,…就是不同的数列。 2.数列的通项公式就是数列的函数解析式,同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式。 微思考 1.数列与集合之间有怎样的区别与联系? 提示:区别:数列中的项具有有序性、可重复性,集合中的元素具有无序性、互异性;数列中的每一项必须是数,集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等。 联系:数列中的项与集合中的元素都具有确定性。 2.{an}与an是两个相同的概念吗? 提示:不是,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,而an只是数列{an}的第n项。 3.函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别? 提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线。an=2n的自变量是离散的,图象由离散的点构成。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 由数列前几项写出数列的通项公式 　　【例1】　写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)-1,,-,; (2),2,,8; (3)0,1,0,1; (4)9,99,999,9 999。 解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=,n∈N*。 (2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:,,,,…,所以它的一个通项公式为an=,n∈N*。 (3)这个数列中的项是0与1交替出现,奇数项都是0,偶数项都是1,所以通项公式可以写成an=也可以写成an=(n∈N*)或an=(n∈N*)。 (4)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*。 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等。 (2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式。 (3)对于正负交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)n或(-1)n+1处理符号。 (4)对于周期数列,可考虑拆成几个简单数列之和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等。 　　【变式训练】　写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是: (1)1,3,7,15,31,…; (2),,,,,…; (3)-,,-,,-,…; (4)2×3,3×4,4×5,5×6,…。 解　(1)由1=2-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,…,可得an=2n-1。 (2)由=,=,=,=,=,…,可得an=。 (3)由-,,-,,-,…,可知奇数项为负数,偶数项为正数。所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·。 (4)由2×3=(1+1)×(1+2),3×4=(2+1)×(2+2),4×5=(3+1)×(3+2),5×6=(4+1)×(4+2),…,得an=(n+1)(n+2)。 类型二 数列通项公式的简单应用 　　【例2】　已知数列{an}的通项公式为an=。 (1)求a10; (2)判断是否为该数列中的项。若是,它为第几项?若不是,请说明理由; (3)求证:0<an<1。 解　(1)根据题意可得a10==。 (2)令an=,即=,解得n=3,所以为数列{an}中的项,为第3项。 (3)证明:由题意知an==1-,因为n∈N*,所以3n+1>3,所以0<<1,所以0<1-<1,即0<an<1。 (1)利用数列的通项公式求某项的方法。 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列中的相应项。 (2)判断某数值是否为该数列的项的方法。 先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程。若方程解为正整数则是数列中的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的一项。 　　【变式训练】　数列{an}的通项公式为an=30+n-n2。 (1)-60是否是{an}中的一项? (2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0? 解　(1)假设-60是{an}中的一项,则-60=30+n-n2。解得n=10或n=-9(舍去)。所以-60是{an}的第10项。 (2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;30+n-n2<0,解得n=6;0<n<6;n>6。即当n=6时,an=0;当0<n<6且n∈N*时,an>0;当n>6且n∈N*时,an<0。 类型三 数列与函数的关系 　　【例3】　已知an=(n∈N*),则数列{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由。 解　解法一:(函数单调性法)令f (n)=an,则f (n+1)-f (n)=an+1-an=-=(8-n)。当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,得a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+1<an,得{an}在n>8时单调递减。所以数列{an}的最大项是第8项和第9项,即a8=a9=。 解法二:(不等式组法)设an最大,则(n≥2),即解得8≤n≤9。又因为n∈N*,所以n=8或n=9。故{an}的最大项为a8=a9=。 求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用判断函数单调性的方法,先判断数列的单调情况,再求数列的最大项或最小项;如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性,以此求解最大项。 (2)设ak是最大项,则有对任意的k∈N*且k≥2都成立,解不等式组即可。 　　【变式训练】　(1)已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则k的取值范围是 (D) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(-∞,3] D.(-∞,3) 解析　因为数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,所以an+1-an>0对n∈N*恒成立,即(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0对n∈N*恒成立,所以k<2n+1对n∈N*恒成立,即k<3。故选D。 (2)已知数列{an}的通项公式为an=n2-7n-8。 ①数列中有多少项为负数? ②数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项;若没有,请说明理由。 解　①令an<0,即n2-7n-8<0,解得-1<n<8。又因为n∈N*,所以n=1,2,3,…,7,所以数列从第1项至第7项均为负数,共7项。 ②解法一:an=n2-7n-8是关于n的二次函数,且二次函数y=x2-7x-8的图象的对称轴方程为x==3.5,所以当1≤n≤3时,{an}单调递减;当n≥4时,{an}单调递增,所以当n=3或n=4时,an最小,且最小项为a3=a4=-20。 解法二:由得 解得3≤n≤4。因为n∈N*,所以当n=3或n=4时,an最小,且最小项为a3=a4=-20。 1.数列0,,,,,…的一个通项公式是 (C) A.an= B.an= C.an= D.an= 解析　已知数列可化为:0,,,,,…,故an=。 2.已知数列{an}满足an+1-an-3=0,则数列{an}是 (A) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 解析　由条件得an+1-an=3>0,可知an+1>an,所以数列{an}是递增数列。 3.若数列an=++…+,则a5-a4= (C) A. B.- C. D. 解析　依题意知,a5-a4=++…+-++…+=+-=。 4.已知数列2,,4,…,,…,则8是该数列的第 11 项。  解析　令=8,解得n=11。 5.写出数列1,,,,,…的通项公式,并判断它的单调性。 解　该数列的通项公式为an=。因为an+1-an=-=,n∈N*,所以(3n+1)(3n-2)>0,所以an+1-an<0,所以an+1<an,所以该数列为递减数列。 学科网（北京）股份有限公司 $$