精品解析：辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题

2024-2025学年度上学期期中考试 27届高一年级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 10 8. 已知，为常数，若存在互不相同的三个实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对按正确答案比例给分． 9. 下列函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”真命题，则 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若，为正实数，若，则的最小值为； D. 设，为实数，若，则最大值为 三．填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 函数在区间上的值域为______. 14. 表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为_____． 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合． 16. 已知二次函数满足的解集为，且． （1）求的解析式； （2）设，解关于的不等式. 17. 已知函数是定义在上增函数，并且满足，． （1）求和的值； （2）判断函数奇偶性； （3）解关于的不等式 18. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且 （1）求和解析式 （2）若对于任意，，都有，求实数的取值范围 （3）在上有两个零点，求实数的取值范围 19. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请写出集合和． （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期中考试 27届高一年级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列举出集合中的元素，再用真子集个数公式（为集合中元素个数）计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以集合A的真子集个数是， 故选：B． 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题； 选项B: ， ，所以本命题是假命题； 选项C: ， 因为，所以本命题是真命题； 选项D: 若时，显然，所以本命题是假命题； 故选：C． 3. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可. 【详解】对于A，为奇函数，在和上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A不合题意； 对于B，为奇函数，在定义域上为减函数，所以B符合题意； 对于C，为偶函数，所以C不合题意； 对于D，由于为非奇非偶函数，所以D不合题意， 故选：B. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 5. 函数的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数法可求得函数的增区间. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 6. 已知定义域为奇函数，对任意，有，的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式. 【详解】已知对任意，有，这表明当时，；当时，. 即当时，，所以函数在上是减函数.  因为是定义域为的奇函数，所以，那么. 所以可化为，即.  由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得. 得到.可得. 所以不等式的解集为.  故选：B 7. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以.  由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以.  故选：A. 8. 已知，为常数，若存在互不相同的三个实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析与时函数的性质，再根据存在互不相同的三个实数，，满足确定的取值范围，最后根据函数性质求出的取值范围. 【详解】当时，，将其化为顶点式： 可知该函数图象开口向下，对称轴为. 当时，，根据对勾函数性质，知道函数在上单调递增，. 因为存在互不相同的三个实数，，满足，结合函数图象可知. 设，由二次函数的对称性可知，关于对称轴对称，则. 由，，即. 解不等式，即，，因为，所以. 解不等式，即，，解得，结合，所以. 则，因为，所以，即的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对按正确答案比例给分． 9. 下列函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】对于同一函数，定义域和对应关系相同，即为同一函数，分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，与，定义域都为，对应关系也相同，是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域为，故不是同一函数； 对于C，与，定义域都为，但对应关系不同，故不是同一函数； 对于D，与，定义域都为，对应关系也相同，是同一函数. 故选：AD. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”是真命题，则 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 选项B，“，”是真命题可知，时不成立，当时，只需满足，解得，故B正确； 选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误； 选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由等价于且，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若，为正实数，若，则的最小值为； D. 设，为实数，若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对勾函数性质判断A；利用均值不等式及乘1法判断BC，利用二次方程判别式判断D. 【详解】令，则. 对勾函数，当时，在上单调递增. 则，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，选项正确.  已知，则.. 根据均值不等式，， 当且仅当，即，时取等号. 所以，的最小值为，选项正确.  已知，为正实数，，则. . 根据均值不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，的最小值为，而不是，选项错误.  设，则. 将代入中，得到. 展开可得，整理得. 因为为实数，所以该一元二次方程的判别式. 即，，，， 解得，所以的最大值为，选项正确.  、、选项说法正确. 故选：ABD. 三．填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 函数在区间上的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，再结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：令，则， 故， 则， 所以函数在区间上的值域为. 故答案为：. 14. 表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义得到关于的不等式关系，再利用均值不等式求解的最小值. 【详解】因为，所以，.  ，，都是正实数，则 即.可得. 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由解得，， 若，则，，符合题意. 若，由于，所以. 综上所述，实数的取值集合为. 16. 已知二次函数满足的解集为，且． （1）求的解析式； （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设二次函数，可得出，分析可知方程的两根为和，且，利用韦达定理可求得、的值，由此可得出二次函数的解析式； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法解原不等式即可得其解集. 【小问1详解】 设二次函数， 又，的解集为，即的解集为， 则方程的两根为和，且，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 由，即， 当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，解原不等式可得； 当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． （1）求和的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）解关于的不等式 【答案】（1）， （2）奇函数 （3） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 令，得，解得． ，； 【小问2详解】 因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； 【小问3详解】 因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 18. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且 （1）求和的解析式 （2）若对于任意，，都有，求实数的取值范围 （3）在上有两个零点，求实数的取值范围 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用奇偶性得性质，构造方程组，解出解析式即可； （2）对式子变形，构造函数，研究单调性解题即可； （3）根据零点个数，结合二次函数图象，判定零点的位置与对称轴关系，构造不等式组计算. 【小问1详解】 根据题意，，则， 两式相加可得， 又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，即，. 【小问2详解】 若对于任意，都有，变形可得， 令，则在区间上单调递减， （1）若，则在上单调递减，满足题意； （2）若，则是对称轴为的二次函数， 若区间上单调递减，或， 综上可得，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 ， 函数在上有两个零点，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请写出集合和． （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 【答案】（1）， （2）最大值31，最小值11，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据、的定义来求得正确答案. （2）根据非空子集的个数确定最大值，利用特殊值法来确定最小值. 【小问1详解】 ，， 所以， ，， ， 所以. 【小问2详解】 最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素． 可以构造如下集合：，这个集合的元素均为素数， 中最大的元素为，则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同， 从而集合由该数字的所有大于1的因数组成， 所以中元素个数的最大值为31． 最小值：不妨设，取，显然有， 则， 则至少有11个元素． 可以构造如下集合：， 此时，所以中元素个数的最小值为11． 综上所述，中元素个数的最大值为31，最小值为11. 【点睛】方法点睛： 对于根据新定义求集合的问题，关键是要准确理解定义中各个符号的含义和运算规则，然后按照规则对给定集合的相关情况进行逐一分析和计算. 求集合元素个数的最值问题，对于最大值，通常可以从集合的基本性质（如子集个数）出发进行分析，通过构造特殊集合来验证；对于最小值，需要根据题目条件（如元素的性质、大小关系等）进行推理，同样通过构造合适的集合来验证.在构造集合时，要充分考虑如何满足题目要求，使构造的集合能够清晰地说明最值的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$