第七章 复数综合检测1（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，其中是虚数单位,则实数的值是 A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 2．（2025高一·江苏·单元测试）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东威海·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·一模）已知复数满足，则对应点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·高考真题）（2）i为虚数单位， A．0 B．2i C．-2i D．4i 7．（2025高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·模拟预测）若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一·全国·课后作业）设，则集合{x|x＝f(n)}的元素有（    ） A．2 B．0 C．－2 D．1 10．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 11．（2025高三下·江苏苏州·开学考试）已知复数，，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若， 则 C．若复数，满足，则 D．若，则的最大值为3 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江苏无锡·期中）复数的共轭复数为 ． 13．（24-25高三上·福建福州·期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则 . 14．（2025高一·江苏·课后作业）如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝ . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）在复平面内A，B，C的对应的复数分别为． (1)求； (2)判定的形状． 16．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，复数. （Ⅰ）若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围； （Ⅱ）若z的共轭复数与复数相等，求m的值. 17．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知复数，，为虚数单位. （1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； （2）若，求的共轭复数 18．（24-25高二下·广东东莞·期末）已知是虚数单位，复数，复数的共轭复数. （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求. 19．（2025高一·上海·课后作业）设为方程，（）的两个根，， （1）求的解析式； （2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，其中是虚数单位,则实数的值是 A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 【答案】B 【解析】本题首先可根据题意得出复数是纯虚数，然后根据纯虚数的定义即可得出复数的实部与虚部的取值范围，最后通过计算即可得出结果． 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，，解得，故选B． 【点睛】本题考查虚数的相关性质，能否根据纯虚数的定义得出复数的实部与虚部的取值范围是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题． 2．（2025高一·江苏·单元测试）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算法则化简复数，利用复数的模长公式可求得. 【详解】，，则. 故选：B. 3．（24-25高三上·山东威海·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用除法法则求出，再求出其共轭复数即可 【详解】得 即 故选：B 4．（2025·湖南长沙·一模）已知复数满足，则对应点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D． 5．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 6．（2024·辽宁·高考真题）（2）i为虚数单位， A．0 B．2i C．-2i D．4i 【答案】A 【详解】此题考查复数的运算 答案  A 点评：注意 7．（2025高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【详解】 逆时针旋转后得，所以=. 故选：A 8．（2025·辽宁·模拟预测）若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设复数，将其代入方程求得，，然后利用复数即可求解. 【详解】设（且），代入原方程可得． 所以，解得，因为，所以． 故选：C． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一·全国·课后作业）设，则集合{x|x＝f(n)}的元素有（    ） A．2 B．0 C．－2 D．1 【答案】ABC 【分析】利用复数的乘方运算以及复数的周期性即可求解. 【详解】f(n)＝in＋(－i)n，当n＝4k(k∈N)时，f(n)＝2； 当n＝4k＋1(k∈N)时，f(n)＝0； 当n＝4k＋2(k∈N)时，f(n)＝－2； 当n＝4k＋3(k∈N)时，f(n)＝0. 所以集合中共有－2,0,2这3个元素. 故选：ABC 10．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 【答案】AC 【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可 【详解】解：， 则在复平面对应的点为，位于第二象限，所以A正确， 的虚部为1，所以B错误， ，所以C正确， ，所以D错误， 故选：AC 11．（2025高三下·江苏苏州·开学考试）已知复数，，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若， 则 C．若复数，满足，则 D．若，则的最大值为3 【答案】AD 【分析】设出、后，结合复数的运算、复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：若，则有， 即， ， 即有，故A正确； 对B：若，则有，即， 不能得到，故B错误； 对C：若复数，满足， 则有， 即，化简得， ，故C错误； 对D：若，则有，即， 其中，即有， 则， 故当时，有最大值且最大值为，即D正确. 故选：AD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江苏无锡·期中）复数的共轭复数为 ． 【答案】 【详解】试题分析：，所以的共轭复数是. 考点：1.复数的运算；2.复数的基本概念. 13．（24-25高三上·福建福州·期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则 . 【答案】 【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】解：在复平面内对应的点为，所以，且与轴正方向的夹角为， 将其逆时针旋转后落在第三象限，且与轴负半轴的夹角为，所以对应的点为， 所以． 故答案为：． 14．（2025高一·江苏·课后作业）如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝ . 【答案】4－3i 【分析】利用复数的乘方运算法则和除法运算法则化简即可. 【详解】∵z1＝－2－3i，z2＝， ∴＝＝ ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i. 故答案为：4－3i. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）在复平面内A，B，C的对应的复数分别为． (1)求； (2)判定的形状． 【答案】(1)，， (2)直角三角形 【分析】（1）利用复数的几何意义得到点A，B，C的坐标，再根据向量的定义与坐标表示即可解决问题； （2）观察（1）中的向量坐标，发现，故可判定的形状. 【详解】（1）根据复数的几何意义，得，，， 所以，同理：，． （2）由（1）得， 故，所以为直角三角形. 16．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，复数. （Ⅰ）若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围； （Ⅱ）若z的共轭复数与复数相等，求m的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由实部与虚部均大于0联立不等式组求解； （Ⅱ）写出，再由复数相等的条件列方程组求解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，， 解得； （Ⅱ）由， 得， 又与复数相等， ，解得. 【点睛】本题考查复数的概念，复数的相等与共轭复数的定义，属于基础题． 17．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知复数，，为虚数单位. （1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； （2）若，求的共轭复数 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解； （2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数， 则     因为复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以，解得， 即实数的取值范围. （2）由， 所以. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤： （1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式； （2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解. 18．（24-25高二下·广东东莞·期末）已知是虚数单位，复数，复数的共轭复数. （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）先求出，再根据，求出实数的值；（2）由已知得，再根据是纯虚数求出a的值即得解. 【详解】 （1）由已知得 （2）由已知得 是纯虚数，, 解得， . 【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 19．（2025高一·上海·课后作业）设为方程，（）的两个根，， （1）求的解析式； （2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值. 【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析. 【分析】（1）根据判别式讨论，根与系数之间的关系即可求解. （2）作出函数图象，证出函数的图象关于直线对称，根据图象以及对称性即可求解. 【详解】（1）， 若，即时， 为方程，（）的两个根， 则， 由根与系数的关系，得，， 因此， 当时，， 当时，， 当，即时， 方程的根为共轭复数，， 综上可得，； （2）作出的图象，如图： 当，函数关于直线对称， 当时，点关于直线对称点为， 由于，即 所以函数的图象关于直线对称 当时，为增函数，且； 当时，为减函数，且. 所以当，方程在区间上有唯一解， 在区间上也有唯一解， 则. 【点睛】关键点点睛：本题考查了方程的复数根，解题的关键是判断函数函数的图象关于直线对称，考查了分类讨论的思想. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$