专题7.2 复数的运算（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.2 复数的运算 【基础知识】 1 【考点1：复数的加减运算】 1 【考点2：复数的乘除运算】 3 【考点3：特殊复数的运算】 3 【考点4：复数集内解方程或因式分解】 5 【基础知识】 【知识点：复数的运算法则】 1、设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 2、复数的乘法 (1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式； (2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立． 3、复数的除法运算 关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式． [易错提醒] 在乘法运算中要注意i的幂的性质： (1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R); (2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．　　 【考点1：复数的加减运算】 【知识点：复数的加减运算】 1．（2025高一下·全国·课后作业）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025高三下·河南新乡·阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知复数为纯虚数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 6．（多选）（2025高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 7．（2025高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数 ． 8．（2025高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【考点2：复数的乘除运算】 【知识点：复数的乘除运算】 1．（2025·山东青岛·一模）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·贵州毕节·二模）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．（2025·四川成都·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三下·广东广州·阶段练习）已知复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（多选）（24-25高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 7．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则 . 8．（2025高三·全国·专题练习）设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ． 【考点3：特殊复数的运算】 【知识点：特殊复数的运算】 1．（2025高三下·江苏·开学考试）（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三下·四川雅安·开学考试）若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·重庆·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高二上·广西钦州·期末）设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025·江西景德镇·二模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·一模）复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 8．（2025高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【考点4：复数集内解方程或因式分解】 【知识点：复数集内解方程或因式分解】 1．（2025·云南·模拟预测）已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积： . 5．（2025高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 6．（2025高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 7．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､. (1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解； (2)若，求实数a的值. 8．（24-25高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 复数的运算 【基础知识】 1 【考点1：复数的加减运算】 1 【考点2：复数的乘除运算】 5 【考点3：特殊复数的运算】 8 【考点4：复数集内解方程或因式分解】 11 【基础知识】 【知识点：复数的运算法则】 1、设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 2、复数的乘法 (1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式； (2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立． 3、复数的除法运算 关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式． [易错提醒] 在乘法运算中要注意i的幂的性质： (1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R); (2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．　　 【考点1：复数的加减运算】 【知识点：复数的加减运算】 1．（2025高一下·全国·课后作业）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解. 【详解】由复数， 可得其在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 2．（2025高三下·河南新乡·阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用复数的加法以及复数相等可求出、的值，可得出复数，即可得出结果. 【详解】设，则， 所以，， 所以，解得，，故，即复数的虚部为. 故选：A. 3．（2025高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知复数为纯虚数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题意得到，进而求出和. 【详解】复数为纯虚数，可设， ，， ，，， 当时，， 当时，， 故选：A. 4．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 6．（多选）（2025高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 7．（2025高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数 ． 【答案】 【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数. 【详解】设复数（x，），则． 由题意知或． 故答案为： 8．（2025高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【分析】利用复数的加法运算求得，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 【考点2：复数的乘除运算】 【知识点：复数的乘除运算】 1．（2025·山东青岛·一模）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数除法、乘法、共轭复数等知识求得正确答案. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 2．（2025·贵州毕节·二模）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】可先将展开并化简，根据复数相等的条件求出、的值，进而求得的值. 【详解】 已知，即. 则可得.由可得，将代入中， 得到，解得或. 当时，，； 当时，，. 所以. 故选：C. 3．（2025·四川成都·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求解. 【详解】. 故选：A. 4．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法求出复数z，可得复数，由模长公式即可求得答案. 【详解】由，得， 所以. 故选：D. 5．（2025高三下·广东广州·阶段练习）已知复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由已知可得，，由复数的乘法运算求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：. 6．（多选）（24-25高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 7．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则 . 【答案】/ 【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算 即可. 【详解】 . 故答案为：. 8．（2025高三·全国·专题练习）设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ． 【答案】/ 【分析】求得的共轭复数，再结合复数乘法运算，以及其结果是实数，即可列出方程，求得结果. 【详解】是实数，则，． 故答案为：. 【考点3：特殊复数的运算】 【知识点：特殊复数的运算】 1．（2025高三下·江苏·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方运算与复数的模的意义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（2025高三下·四川雅安·开学考试）若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 根据及，，即可求解. 【详解】 因为，所以，，． 故选：A. 3．（2025·重庆·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 4．（24-25高二上·广西钦州·期末）设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】首先由复数的运算求得，则答案可得. 【详解】因为，所以， 其在复平面内所对应的点位于第四象限. 故选：D. 5．（2025·江西景德镇·二模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的模及乘方求出，再根据复数的虚部的定义即可得解. 【详解】，， 则，∴，则复数的虚部为. 故选：B． 6．（2025·湖北·一模）复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方，乘除运算法则得到，从而得到，得到答案. 【详解】，， 由得，， ， 故. 故选：A 7．（2025高三·全国·专题练习）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设各选项的一一计算各项所得到的列值，再结合收敛点的定义即可判断. 【详解】对A，由可得列值，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得列值，，，…不满足题意，故B错误； 对C，由可得列值，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得列值… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：D 8．（2025高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用复数的乘法、乘方及除法运算求解即得. 【详解】（1）． （2）原式． 【考点4：复数集内解方程或因式分解】 【知识点：复数集内解方程或因式分解】 1．（2025·云南·模拟预测）已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可. 【详解】 已知，是方程的两个复根，所以， 则设，，所以， 故选：B. 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【答案】BCD 【分析】解方程，求出或，从而判断四个选项的正误即可. 【详解】由， 得或， 即或， 解得或，显然A错误，C正确； 各根之和为，B正确； 各根之积为，D正确， 故选：BCD． 3．（24-25高一下·上海杨浦·期末）设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内，把多项式分解为一次因式的积： . 【答案】 【分析】利用将原式化为，再由平方差公式分解即可. 【详解】. 故答案为：. 5．（2025高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用平方差公式即可得解； （2）将原式配成完全平方式，再根据，利用平方差公式即可得解； 【详解】（1） （2） . 6．（2025高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘； （2）先应用求根公式再写成两个因式相乘. 【详解】（1）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 故. （2）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 7．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､. (1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解； (2)若，求实数a的值. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）若该方程没有实根，则，解之即可，由，可得，即可在复数范围内对进行因式分解； （2）分和两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案. 【详解】（1）解：若该方程没有实根， 则，解得， 由，得， 所以，即， 所以在复数范围内对； （2）解：当，即时， 则都是实数， 由韦达定理可知， 故都是非负数， 所以，所以； 当，即时，方程有两个共轭虚根，设为， 则， 故，解得或（舍去）， 综上所述，或. 8．（24-25高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【详解】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$