吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

“兴酣落笔摇五岳，意气风发凌九霄” 2024—2025学年下学期高三年级 第一次模拟考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则 A． B． C． D． 【答案】D 2.已知，则= A．0 B．－2 C．2 D．－4 【答案】A 3.展开式中第3项的系数是 A．90 B． C． D．270 【答案】A 4.在中，已知，则的面积是 A． B． C． D． 【答案】D 5. 某人通过手机记录锻炼情况，得到6月份每天的锻炼时间（单位：如下表： 锻炼时间 小于0.5 不小于2 天数 2 6 10 8 4 据表中数据，下列结论一定正确的是 A. 30天锻炼时间的中位数不超过 B. 30天锻炼时间的平均数不低于 C. 30天锻炼时间的极差不超过 D. 30天锻炼时间的众数不低于 【答案】B 6.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 7.已知函数的极大值为，则 A． B． C． D． 【答案】D 8.记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于对称，因为，所以到的距离为到的距离的二倍，所以，即， 所以，即， 即，解得，又. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9.在复数范围内，方程的两个根分别为，则 A． B． C． D． 【答案】BCD 10.如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有 A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】ACD 【详解】记平行六面体的体积为， 对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故，故A正确； 对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误； 对于C，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故C正确； 对于D，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是 A．若，则直线的斜率为 B． C．（为坐标原点） D．当取最小值时， 【答案】ABD 【详解】依题意得，设直线：， 联立得，则， 则，解得或，则， 或，则直线的斜率，故A项正确. ， 当且仅当时等号成立，故B项正确. 因为，所以，故C项错误. ，则，由抛物线的定义可得， 因为，所以 ， 当且仅当时取等号，此时，故D项正确.故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 13.已知是函数的两个零点，则= ． 【答案】 14.为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是 ；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是 ． 【答案】 【详解】对于小明，在图③的情况下，再放2枚白棋形成两条线的不同情况有4种， 而样本空间共有种不同情况，所以小明获二等奖的概率是； 对于小红，9枚棋子形成三条线的形状（简称“三线”）必然由一行、一列、一对角线构成， 由于第一列已经确定，则当第一或第四行连上时，对角线还有1种情况；当第二行或三行连上时， 对角线还有2种情况，因此“三线”共有种，由于小红总能保证奖励最大化， 则只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉2枚棋子（简称“准三线”）即可， 于是从第一列外的5枚棋子中去掉2枚棋子形成的“准三线”共种， 但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到： 第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由3个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次； 第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由2个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次， 因此，“准三线”实际上只有种，第一列之外随机放上3枚棋子的所有情况为种，所以小红获得一等奖的概率. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则，， 则，解得或（舍），又，所以， 解得，所以 （2）， 所以 16．（15分）已知函数（是自然对数的底数）. （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数.函数，求在上的最大值. 【解析】（1）由已知 令，解得，所以的单调递增区间， （2）由题可知， 因为，所以，令，解得， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为 17．（15分）如图，四棱锥的底面为菱形，，. （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：设BC中点为E，连接BD，DE，PE，底面ABCD为菱形，且，为等边三角形，故，，， 又，，平面PDE， 平面PDE，又平面PDE. ，又，； （2）过P作于点F，由（1）得平面PDE，， 又，DE，平面BCD，平面BCD， 由，，得，，又，所以， 所以， 因为，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作轴， 建立如图空间系， 故， 所以， 设平面APD的一个法向量， 则，即，令，则， 设平面CPD的一个法向量为， 则，即，令，则， 则，所以二面角的正弦值为. 18．（17分）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小，请说明理由. 【解析】（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则， ②可取1，2，3， ，，， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. （2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而，所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 19.（17分） 已知双曲线C：的离心率为，且C经过点． （1）求C的方程； （2）过曲线C上任意一点作曲线的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值，若不是，请说明理由； （3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为，，…，且证明：为定值． 【解析】（1）由题意得，解得，所以C的方程为 ． （2）方法1：当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为， 此时易得，点到直线的距离为，所以此时； ②当直线的斜率存在时，设直线为， 由得， 因为直线与双曲线相切，所以且， 整理得且，即， 由得，则， 同理得到， 所以，，所以   方法2：设，双曲线在点的切线方程为，分别与渐近线联立得，所以. （3）在方程中，令，得，令，得，则． 因为， 所以，得是C上的一个格点， ，得是C上的一个格点． 按这种构造方式，由可以得到一系列格点． 下面证明C上的任意一个格点都满足该式： 任取两个由上述方式得到的相邻格点和，假设在点和之间存在另外的格点，即存在，，满足．因为是C上的格点，所以， 所以， 得， 设，，则． 由点，在C上，可得，，且， 所以，，再由，，，，得，， 故也是C上的格点． 另一方面，因为，，所以， 即，所以． 而，即． 显然，C上不存在格点满足该式，矛盾，假设不成立， 故C上的所有格点都满足． 由，，得． 所以 所以，为定值． 【注】背景为佩尔方程 高三年级下学期第一次模拟考试数学学科试卷 第2页 共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “兴酣落笔摇五岳，意气风发凌九霄” 2024—2025学年下学期高三年级 第一次模拟考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则 A． B． C． D． 2.已知，则= A．0 B．－2 C．2 D．－4 3.展开式中第3项的系数是 A．90 B． C． D．270 4.在中，已知，则的面积是 A． B． C． D． 5. 某人通过手机记录锻炼情况，得到6月份每天的锻炼时间（单位：如下表： 锻炼时间 小于0.5 不小于2 天数 2 6 10 8 4 据表中数据，下列结论一定正确的是 A. 30天锻炼时间的中位数不超过 B. 30天锻炼时间的平均数不低于 C. 30天锻炼时间的极差不超过 D. 30天锻炼时间的众数不低于 6.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 7.已知函数的极大值为，则 A． B． C． D． 8.记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9.在复数范围内，方程的两个根分别为，则 A． B． C． D． 10.如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有 A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是 A．若，则直线的斜率为 B． C．（为坐标原点） D．当取最小值时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，，且，则的最大值为 ． 13.已知是函数的两个零点，则= ． 14.为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是 ；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16．（15分）已知函数（是自然对数的底数）. （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数.函数，求在上的最大值. 17．（15分）如图，四棱锥的底面为菱形，，. （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值. 18．（17分）有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小，请说明理由. 19.（17分） 已知双曲线C：的离心率为，且C经过点． （1）求C的方程； （2）过曲线C上任意一点作曲线的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值，若不是，请说明理由； （3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为，，…，且证明：为定值． 高三年级下学期第一次模拟考试数学学科试卷 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$