课时达标检测(18) 直线与圆锥曲线的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 直线与圆锥曲线的位置关系 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十八) 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\f(x2,16)＋y2＝1 B．x2＋eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,20)＝1 解析　依题意，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(22,b2)＝1，,a2－b2＝15，)) 解得a2＝20，b2＝5，因此所求椭圆的方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,5)＝1，故选C。 答案　C 答案与解析 4．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且直线l经过抛物线的焦点F及A(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离为(　　) A．eq \f(25,4) B．eq \f(25,2) C．eq \f(25,8) D．25 解析　抛物线的焦点为F(2,0)，则直线l的方程为y＝eq \f(4,3)(x－2)。 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－2，,y2＝8x，))解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))。所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋eq \f(1,2)＝eq \f(25,2)，所以线段AB的中点到准线的距离为eq \f(25,4)。 答案　A 答案与解析 5．直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,4))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，\f(17,2))) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得3x2＋4x－2＝0。x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝－eq \f(2,3)，y0＝x0＋1＝eq \f(1,3)，所以中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3)))。 答案　C 答案与解析 6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点。若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(2),3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(2\r(2),3) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4　①，因为|FA|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2　②。由①②得x2＝1，所以 B(1，2eq \r(2))，代入y＝k(x＋2)，得k＝eq \f(2\r(2),3)。故选D。 答案　D 答案与解析 二、多项选择题 7．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　要使过右焦点F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点则直线l应平行于双曲线的渐近线。因为双曲线的渐近线为y＝±x，所以kl＝±1，故选AB。 答案　AB 答案与解析 8．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，以下结论，正确的是(　　) A．△ABF2的周长为8 B．原点到l的距离为1 C．|AB|＝eq \f(8,3) D．△AOB的面积为eq \f(8,3) 解析　对于A，由椭圆的定义，得eq \a\vs4\al(|AF1|)＋|AF2|＝4，|BF1|＋|BF2|＝4，又eq \a\vs4\al(|AF1|)＋|BF1|＝|AB|，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，A正确；对于B，由题意得F1 (－eq \r(2)，0)，因为过F1且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，故直线l的方程为y＝x＋eq \r(2)，原点到l的距离d＝eq \f(|\r(2)|,\r(2))＝1，故B正确；对于C，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(2)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得3x2＋4eq \r(2)x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＋x2＝－eq \f(4\r(2),3)，x1x2＝0，所以|AB|＝eq \r(1＋1)×eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(8,3)，故C正确；由B，C两项知S△AOB＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \f(4,3)，故D错误。故选ABC。 答案　ABC 答案与解析 三、填空题 9．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦长为________。 解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))消去y并化简得x2＋2x－6＝0。设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6。所以弦长|MN|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\f(5,4)×4＋24)＝eq \r(35)。 答案　eq \r(35) 答案与解析 10．双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(eq \r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－eq \f(2,3)，则双曲线的方程为________。 解析　由题意知中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(5,3)))，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,7－a2)＝1，M(x1，y1)， N(x2，y2)，则eq \f(x\o\al(2,1),a2)－eq \f(y\o\al(2,1),7－a2)＝1①，eq \f(x\o\al(2,2),a2)－eq \f(y\o\al(2,2),7－a2)＝1②，①－②得eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＝eq \f(y1＋y2y1－y2,7－a2)，即eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq \f(a2,7－a2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)，所以eq \f(－\f(4,3),－\f(10,3))＝eq \f(a2,7－a2)，解得a2＝2，故双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,5)＝1。 答案　eq \f(x2,2)－eq \f(y2,5)＝1 答案与解析 11．直线y＝2x＋b截抛物线y2＝4x得弦AB，若|AB|＝3eq \r(5)，F是抛物线的焦点，则b＝________，△FAB的周长等于________。 解析　联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x＋b，))消去y得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0。由弦长公式得|AB|＝eq \r(5)·eq \r(b－12－b2)＝3eq \r(5)，解得b＝－4，△FAB的周长为|FA|＋|FB|＋|AB|＝x1＋x2＋p＋3eq \r(5)＝7＋3eq \r(5)。 答案　－4　7＋3eq \r(5) 答案与解析 四、解答题 12．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，离心率为eq \f(1,2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点。 (1)求椭圆C的方程； (2)当△F2AB的面积为eq \f(12\r(2),7)时，求直线的方程。 解　(1)因为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))， 所以eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1　①。 又因为离心率为eq \f(1,2)， 所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)　②。 解①②得a2＝4，b2＝3。 所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1。 (2)当直线的倾斜角为eq \f(π,2)时， Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))， S△ABF2＝eq \f(1,2)|AB|×|F1F2|＝eq \f(1,2)×3×2＝3≠eq \f(12\r(2),7)，不符合题意。 当直线的倾斜角不为eq \f(π,2)时，设直线方程为y＝k(x＋1)， 代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－eq \f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq \f(4k2－12,4k2＋3)， 所以S△ABF2＝eq \f(1,2)|y1－y2|·|F1F2| ＝|k|eq \r(x1＋x22－4x1x2) ＝|k| eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,4k2＋3)))2－4·\f(4k2－12,4k2＋3)) ＝eq \f(12|k|\r(k2＋1),4k2＋3)＝eq \f(12\r(2),7)， 所以17k4＋k2－18＝0，解得k2＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＝－\f(18,17)舍去))， 所以k＝±1， 所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0。 13．已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)。 (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长。 解　(1)设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1， 又c＝2，所以b＝eq \r(3)， 所以双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1。 (2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2， 联立双曲线及直线方程，消去y得2x2＋4x－7＝0， 设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－eq \f(7,2)， 由弦长公式得|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝6。 　 素养升级　 14．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥eq \f(4,5)c，则双曲线的离心率e的取值范围是________。 解析　直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0。由点到直线的距离公式及a>1，b>0，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝eq \f(ba－1,\r(a2＋b2))。同理得到点(－1，0)到直线l的距离d2＝eq \f(ba＋1,\r(a2＋b2))，所以s＝d1＋d2＝eq \f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(2ab,c)。由s≥eq \f(4,5)c，得eq \f(2ab,c)≥eq \f(4,5)c，即5aeq \r(c2－a2)≥2c2，于是得5eq \r(e2－1)≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0。解不等式，得eq \f(5,4)≤e2≤5。由于e>1，所以e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5)))。 答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5))) 答案与解析 15．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点。 (1)若|AF|＝4，求点A的坐标； (2)求线段AB的长的最小值。 解　由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)。 (1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，从而x1＝4－1＝3，代入y2＝4x，解得y1＝±2eq \r(3)。 所以点A的坐标为(3,2eq \r(3))或(3，－2eq \r(3))。 (2)当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝k(x－1)。 与抛物线方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，)) 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0。 因为直线与抛物线相交于A，B两点， 则k≠0， 所以x1＋x2＝2＋eq \f(4,k2)。 由抛物线的定义可知， |AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq \f(4,k2)>4。 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4。 所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4。 $$