课时达标检测(17) 抛物线的简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十七) 抛物线的简单几何性质 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 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答案　B 答案与解析 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　) A．2 B．1 C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,4) 解析　曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，所以由抛物线的准线与圆相切得2＋eq \f(p,2)＝3，解得p＝2。 答案　A 答案与解析 6．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于M，N两点(M，N的横坐标不相等)，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|＝40，则|HF|＝(　　) A．14 B．16 C．18 D．20 解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点为G(x0，y0)，H(xH,0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2，))所以eq \f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x1－x2)＝2p，所以eq \f(y1－y2y1＋y2,x1－x2)＝2p，则kMN＝eq \f(2p,y1＋y2)＝eq \f(2p,2y0)＝eq \f(p,y0)，所以弦MN的垂直平分线为y－y0＝－eq \f(y0,p)(x－x0)。令y＝0，则xH＝x0＋p，所以|HF|＝x0＋eq \f(p,2)。又|MN|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p＝40，所以|HF|＝20。故选D。 答案　D 答案与解析 二、多项选择题 7．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标可以为(　　) A．(3,2eq \r(6)) B．(3，－2eq \r(6)) C．(－3,2eq \r(6)) D．(－3，－2eq \r(6)) 解析　设点P的坐标为(x，y)，因为|PF|＝5，所以x－(－2)＝5，所以x＝3。把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，所以y＝±2eq \r(6)。所以点P的坐标为(3，±2eq \r(6))。 答案　AB 答案与解析 8．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点(点A在第一象限)，则下列结论中正确的是(　　) A．x1x2＝eq \f(p2,4) B．eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(4,p) C．若直线l的倾斜角为eq \f(π,3)，则eq \f(|AF|,|BF|)＝3 D．若直线l的倾斜角为eq \f(π,6)，则|AB|＝4p 解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线为x＝－eq \f(p,2)，当斜率不存在时，过焦点的直线的方程为x＝eq \f(p,2)，eq \a\vs4\al(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，此时x1x2＝eq \f(p2,4)，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,p)＋eq \f(1,p)＝eq \f(2,p)，故B错误；当斜率存在时，设过焦点的直线方程为y＝eq \a\vs4\al(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))))，联立直线与抛物线方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，))消去y得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(k2p2,4)＝0，由根与系数的关系可得x1x2＝eq \f(p2,4)，x1＋x2＝eq \f(k2p＋2p,k2)，故A正确；若直线l的倾 答案与解析 斜角为eq \f(π,6)，则k＝eq \f(\r(3),3)，所以x1＋x2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2p＋2p,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝7p，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8p，故D错误；过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BE⊥AM，垂足为E，设|AF|＝m，eq \a\vs4\al(|BF|)＝n，则由抛物线的定义得eq \a\vs4\al(|AM|)＝|AF|＝m，|BN|＝|BF|＝n，|AB|＝m＋n，|AE|＝m－n，因为∠EAB＝60°，所以eq \f(m－n,n＋m)＝eq \f(1,2)，解得m＝3n，则eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(m,n)＝3，故C正确。综上，正确的有AC。 答案　AC 三、填空题 9．设焦点为F1，F2的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>0)上的一点P也在抛物线y2＝x上，抛物线的焦点为F3，若|PF3|＝eq \f(9,4)，则△PF1F2的面积是________。 解析　由对称性，不妨设点P在x轴的上方，|PF3|＝xP＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4)，所以xP＝2，即P(2，eq \r(2))，代入椭圆方程解得a2＝8，所以c2＝a2－b2＝8－4＝4，即c＝2，所以|F1F2|＝4，S△PF1F2＝eq \f(1,2)×4×eq \r(2)＝2eq \r(2)。 答案　2eq \r(2) 答案与解析 10．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴。若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________。 解析　由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2eq \r(a)，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4eq \r(a)＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)。 答案　(1,0) 答案与解析 11．F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点E，若|EF|＝4，则p＝________。 解析　因为F是抛物线y2＝2px的焦点，所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，因为直线过点F且倾斜角为60°，所以直线方程为y＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))整理得3x2－5px＋eq \f(3p2,4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(5p,3)，线段AB中点的横坐标为eq \f(5p,6)，纵坐标为eq \f(\r(3)p,3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－eq \f(\r(3)p,3)＝－eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5p,6)))，因为线段AB的垂直平分线交x轴于点E，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11p,6)，0))，因为|EF|＝4，所以eq \f(11p,6)－eq \f(p,2)＝4，解得p＝3。 答案　3 答案与解析 四、解答题 12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程。 解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，因为|AF|＝3，所以y0＋eq \f(p,2)＝3， 因为|AM|＝eq \r(17)，所以xeq \o\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))2＝17， 所以xeq \o\al(2,0)＝8代入方程xeq \o\al(2,0)＝2py0，得 8＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4。 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y。 13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程。 解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线方程为x＝－eq \f(p,2)。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AF|＋|BF|＝8， 所以x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝8。 即x1＋x2＝8－p。 因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上， 所以|QA|＝|QB|， 即eq \r(6－x12＋－y12)＝eq \r(6－x22＋－y22)， 又yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0。 因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2。 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4。 从而抛物线方程为y2＝8x。 素养升级 14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝________。 解析　因为|AF|＝|AM|，N为AM的中点，且FN⊥AM，所以∠AFN＝30°，所以直线AB的倾斜角为60°，斜率为eq \r(3)。由抛物线y2＝12x，得F(3,0)，则直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－3)。联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－3，,y2＝12x，))得x2－10x＋9＝0。则xA＋xB＝10，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝16。 答案　16 答案与解析 15．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，引两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值。 解　依题意，知直线AC的斜率存在且不为0，设为k，则直线AC的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))。 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去y， 得4k2x2－4p(k2＋2)x＋p2k2＝0。 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 由抛物线的定义，得|AC|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2pk2＋1,k2)。 同理(用－eq \f(1,k)替换k)， 可得|BD|＝2p(k2＋1)。 于是，四边形ABCD的面积S＝eq \f(1,2)|AC|·|BD|＝eq \f(2p2k2＋12,k2)＝2p2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋k2＋\f(1,k2)))≥8p2，当且仅当k2＝eq \f(1,k2)，即k＝±1时等号成立。 所以四边形ABCD面积的最小值是8p2。 $$