课时达标检测(14) 双曲线及其标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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双曲线及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十四) 双曲线及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十四) 双曲线及其标准方程 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 课时达标检测(十四) 双曲线及其标准方程 基础达标　 一、单项选择题 1．双曲线eq \f(x2,10)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为(　　) A．3eq \r(2) B．4eq \r(2) C．2eq \r(3) D．4eq \r(3) 解析　由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2，于是有c2＝a2＋b2＝12，则c＝2eq \r(3)，2c＝4eq \r(3)。故选D。 答案　D 答案与解析 2．已知双曲线eq \f(x2,a－3)＋eq \f(y2,1－a)＝1的焦点在x轴上，若该双曲线的焦距为4，则a等于(　　) A．1 B．eq \f(3,2) C．4 D．10 解析　根据题意可知，双曲线的标准方程为eq \f(x2,a－3)－eq \f(y2,a－1)＝1。由双曲线的焦距为4，得c＝2，则有c2＝a－3＋a－1＝4，解得a＝4。 答案　C 答案与解析 3．半径不等的两定圆O1，O2无公共点(O1，O2是两个不同的点)，动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．椭圆或圆 C．双曲线的一支或椭圆或圆 D．双曲线的一支或椭圆 解析　两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含。设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2(r1>r2)，圆O的半径为R。又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，所以|OO2|－|OO1|＝r1－r2<|O1O2|，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，所以|OO2|＋|OO1|＝r1－r2>|O1O2|，此时圆心O的轨迹是椭圆。故选D。 答案　D 答案与解析 4．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，则eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．9 解析　易知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的焦点在x轴上，且c2＝5－4＝1。因为双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，所以m＋n＝1(m>n>0)，所以eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝5＋eq \f(4n,m)＋eq \f(m,n)≥5＋2eq \r(\f(4n,m)·\f(m,n))＝9，当且仅当eq \f(4n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝eq \f(2,3)，n＝eq \f(1,3)时取等号。所以eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为9。故选D。 答案　D 答案与解析 5．已知在双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O为坐标原点，则|ON|等于(　　) A．4 B．2 C．1 D.eq \f(2,3) 解析　如图，设双曲线的左焦点为F1，连接MF1。因为O，N分别是线段F1F2，MF2的中点，所以|ON|＝eq \f(1,2)|MF1|。又|MF2|－|MF1|＝2a＝10，所以|MF1|＝|MF2|－10＝18－10＝8，所以|ON|＝4。故选A。 答案　A 答案与解析 6．已知椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1和双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4) 解析　不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(6)。又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2eq \r(3)，两式联立，得|PF1|＝eq \r(6)＋eq \r(3)，|PF2|＝eq \r(6)－eq \r(3)。又|F1F2|＝4，所以根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝eq \f(1,3)。故选A。 答案　A 答案与解析 二、多项选择题 7．双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离可能是(　　) A．7 B．17 C．22 D．2 解析　因为a2＝25，所以a＝5。设该点为P，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝10。由题意设|PF1|＝12，则|PF1|－|PF2|＝±10，解得|PF2|＝22或2。故选CD。 答案　CD 答案与解析 8．已知方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示的曲线为C。给出以下判断，其中正确的是(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<eq \f(5,2) D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 解析　A错误，当t＝eq \f(5,2)时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，所以t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，所以1<t<eq \f(5,2)；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－t<0，,t－1>0，))所以t>4。故选BCD。 答案　BCD 答案与解析 三、填空题 9．若曲线eq \f(x2,k)＋eq \f(y2,k－1)＝1表示双曲线，则k的取值范围是________。 解析　依题意应有k(k－1)<0，解得0<k<1。 答案　(0,1) 答案与解析 10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1。设F是C的左焦点，M是C右支上一点。若|MF|＝2eq \r(2)，则点M的坐标为________。 解析　双曲线C：eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1，a2＝eq \f(1,2)，b2＝1，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(6),2)，故双曲线的左焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))。设点M的坐标为(x，y)， 则|MF|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(6),2)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(6),2)))2＋2x2－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(\r(2),2)))2。 由点M是双曲线C右支上的一点，知x>0， 所以|MF|＝eq \r(3)x＋eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，解得x＝eq \f(\r(6),2)，y＝±eq \r(2x2－1)＝±eq \r(2)， 所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，±\r(2)))。 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，±\r(2))) 答案与解析 11．已知动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4。设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为______________。 解析　设点M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在。于是x≠1且x≠－1。此时，直线MA的斜率为eq \f(y,x＋1)，直线MB的斜率为eq \f(y,x－1)。由题意有eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝4，化简得x2－eq \f(y2,4)＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1(y≠0)。 答案　x2－eq \f(y2,4)＝1(y≠0) 答案与解析 四、解答题 12．已知双曲线的标准方程中，a＝2eq \r(5)，且双曲线经过点A(2，－5)，焦点在y轴上，求双曲线的标准方程。 解　因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)。由题设知a＝2eq \r(5)，且点A(2，－5)在双曲线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2\r(5)，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝20，,b2＝16。))故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1。 13．已知椭圆C1：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,14)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与C1共焦点，点A(3，eq \r(7))在双曲线C2上。 (1)求双曲线C2的方程； (2)已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积。 解　(1)由椭圆方程可知c2＝18－14＝4， 所以F1(－2,0)，F2(2,0)， 因为A(3，eq \r(7))在双曲线C2上， 所以2a＝||AF1|－|AF2|| ＝|eq \r(3＋22＋\r(7)2)－eq \r(3－22＋\r(7)2)| ＝2eq \r(2) ， 所以a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2， 所以双曲线C2的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1。 (2)设点P在双曲线的右支上，并且设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－n＝2\r(2)，,2c2＝16＝m2＋n2－2mn·cos 60°，)) 变形为(m－n)2＋mn＝16⇒8＋mn＝16⇒mn＝8， 所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝2eq \r(3)。 　素养升级　 14.已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，如图，点A的坐标为(－eq \r(5)，0)，B是圆C：x2＋(y－eq \r(5))2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________。 解析　设点D的坐标为(eq \r(5)，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2。所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆C：x2＋(y－eq \r(5))2＝1上的点，圆C的圆心为C(0，eq \r(5))，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝eq \r(10)－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥eq \r(10)＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为eq \r(10)＋1。 答案　eq \r(10)＋1 答案与解析 15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段的长为2eq \r(2)，在y轴上截得线段的长为2eq \r(3)。 (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若点P到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆P的方程。 解　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r。 由题意及勾股定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋3＝r2，,y2＋2＝r2，))从而y2＋2＝x2＋3。 故圆心P的轨迹方程为y2－x2＝1。 (2)设P(x0，y0)，由已知得eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)。 又P点在双曲线y2－x2＝1上， 从而得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1。)) 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1，)) 此时圆P的半径r＝eq \r(3)； 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，)) 此时圆P的半径r＝eq \r(3)； 故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3。 $$