课时达标检测(4) 直线方程的一般式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

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\f(A,B)<0，所以AB>0。故选D。 答案　D 答案与解析 二、多项选择题 7．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m可以取下列哪些值(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，两式同时成立时解得m＝1，所以m≠1。故选ACD。 答案　ACD 答案与解析 8.已知直线l1，l2的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b>0，d<0 B．b<0，d>0 C．a>c D．a<c 解析　由题图，可知直线l1的斜率大于0，其在y轴上的截距小于0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)>0，,－\f(b,a)<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0。))直线l2的斜率大于0，其在y轴上的截距大于0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,c)>0，,－\f(d,c)>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c<0，,d>0。))又直线l1的斜率大于直线l2的斜率，即－eq \f(1,a)>－eq \f(1,c)>0，所以c<a<0。故选BC。 答案　BC 答案与解析 三、填空题 9．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的eq \f(1,2)，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为______________。 解析　由2x－3y＋12＝0知，斜率为eq \f(2,3)，在y轴上截距为4。根据题意，直线l的斜率为eq \f(1,3)，在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0。 答案　x－3y＋24＝0 答案与解析 10．已知直线l的方程为eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0，则直线l的倾斜角为________，在y轴上的截距为________。 解析　将直线方程eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0化为斜截式方程得y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)，故直线l的斜率为－eq \r(3)，倾斜角为120°，在y轴上的截距为eq \r(3)。 答案　120°　eq \r(3) 答案与解析 11．若直线的截距式eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，且a>0，则a＋b＝________。 解析　由eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，得y＝－eq \f(b,a)x＋b，一般式为bx＋ay－ab＝0，所以－eq \f(b,a)＝－2，－ab＝－8，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝2a，,ab＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－4。))因为a>0，所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6。 答案　6 答案与解析 四、解答题 12．求满足下列条件的直线方程。 (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍； (2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12。 解　(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－eq \f(3,8)x＋eq \f(1,8)， 所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－eq \f(3,8)。 则所求直线的斜率k＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＝－eq \f(3,4)。又直线经过点(－1，－3)，所以所求直线的方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0。 (2)设直线与x轴的交点为(a,0)，因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意得4＋eq \r(a2＋42)＋|a|＝12，解得a＝±3，所以所求直线的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1或eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1，即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0。 13．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程。 (1)斜率是eq \f(3,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A(1,0)，B(m,1)； (3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等。 解　(1)设直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b。令x＝0，得y＝b。令y＝0，得x＝－eq \f(4,3)b， 所以eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))))＝6，解得b＝±3。 所以直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x±3， 化为一般式为3x－4y±12＝0。 (2)当m≠1时，直线l的方程是eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即y＝eq \f(1,m－1)(x－1)； 当m＝1时，直线l的方程是x＝1。 综上，所求直线l的方程是x－(m－1)y－1＝0。 (3)设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b。 当a≠0，b≠0时，直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1。 因为直线过点(4，－3)，所以eq \f(4,a)－eq \f(3,b)＝1。 又因为|a|＝|b|，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a)－\f(3,b)＝1，,a＝±b。))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝－7。)) 当a＝b＝0时，直线l过原点且过点(4，－3)， 所以直线l的方程为y＝－eq \f(3,4)x。 综上所述，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0。 14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)。 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围。 解　(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为eq \f(a－2,a＋1)，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以eq \f(a－2,a＋1)＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0。 (2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋1>0，,a－2≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0，))解得a≤－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1]。 　素养升级　 15．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．2y－x－4＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋y－5＝0 D．2x＋y－7＝0 解析　由x－y＋1＝0得A(－1,0)，又P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，所以P为线段AB中垂线上的点，且B(5,0)。PB的倾斜角与PA的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB的斜率kPB＝－1，则直线PB的方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0。 答案　C 答案与解析 16．已知直线l过点P(－2,1)且斜率为k(k>1)，将直线l绕P点按逆时针方向旋转45°得到直线m，若直线l和m分别与y轴交于Q，R两点。 (1)用k表示直线m的斜率； (2)当k为何值时，△PQR的面积最小？并求出此时直线l的方程。 解　(1)设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为α＋45°，所以直线m的斜率为km＝tan(45°＋α)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋k,1－k)。 (2)易得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，直线m的方程为y－1＝eq \f(1＋k,1－k)(x＋2)。令x＝0，得yQ＝2k＋1，yR＝eq \f(3＋k,1－k)， 所以△PQR的面积S△PQR＝eq \f(1,2)|yQ－yR|·|xP|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k2＋1,k－1)))。 因为k>1，所以S△PQR＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k2＋1,k－1)))＝2·eq \f(k2＋1,k－1)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k－1＋\f(2,k－1)＋2))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k－1)－\f(\r(2),\r(k－1))))2＋4eq \r(2)＋4≥4(eq \r(2)＋1)，当且仅当eq \r(k－1)＝eq \f(\r(2),\r(k－1))时等号成立，即k＝eq \r(2)＋1时等号成立， 所以当k＝eq \r(2)＋1时，△PQR的面积最小，最小值为4(eq \r(2)＋1)，此时直线l的方程是(eq \r(2)＋1)x－y＋2eq \r(2)＋3＝0。 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