第2章 §4 直线与圆锥曲线的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 圆锥曲线 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 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设直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线l的斜率k存在，则 |AB|＝eq \r(x2－x12\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2－y1,x2－x1)))2))) ＝eq \r(1＋k2)|x2－x1| ＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])； 线段 当直线l的斜率存在且不为零时， |AB|＝eq \r(y2－y12\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x1,y2－y1)))2＋1))) ＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1| ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])。 即|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]) ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k≠0)， 我们称上式为弦长公式。 特别地，当直线l的斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|。 3．中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率。 (2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解。 微思考 直线和圆锥曲线只有一个公共点，是否可以说直线与圆锥曲线相切？ 提示：不可以。因为当直线与椭圆只有一个公共点时，直线与椭圆相切；而当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，但不是相切。 类型一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】　若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，求m的取值范围。 解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,5)＋\f(y2,m)＝1))消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0， 所以Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)。 因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k∈R都成立。 因为m>0，所以5k2≥1－m恒成立， 所以1－m≤0，即m≥1。 又椭圆的焦点在x轴上，所以1≤m<5。 直线与椭圆的位置关系可类比直线与圆的位置关系来判断，一般用Δ法判别，其步骤是：(1)联立方程组；(2)消元，转化为一元二次方程；(3)计算Δ＝b2－4ac，当Δ>0时，直线和椭圆有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线和椭圆有且只有一个公共点(相切)；当Δ<0时，直线和椭圆没有公共点(相离)。 【变式训练】　已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4。当k为何值时： (1)l与C无公共点； (2)l与C有唯一公共点； (3)l与C有两个不同的公共点。 解　将直线方程与双曲线方程联立，消去y得 (1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0　①。 (1)要使l与C无公共点，即方程无实数解， 当1－4k2＝0时，方程有解，不满足条件； 当1－4k2≠0时，Δ<0， 即64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)<0， 解得k<eq \f(－2－\r(19),3)或k>eq \f(－2＋\r(19),3)。 故当k<eq \f(－2－\r(19),3)或k>eq \f(－2＋\r(19),3)时，l与C无公共点。 (2)当1－4k2＝0，即k＝±eq \f(1,2)时，显然方程①只有一个解，l与C有唯一公共点； 当1－4k2≠0时，Δ＝0，得k＝eq \f(－2±\r(19),3)时，l与C有唯一公共点。 (3)当1－4k2≠0且Δ>0时，方程①有两个不同的解，即l与C有两个公共点，即eq \f(－2－\r(19),3)<k<eq \f(－2＋\r(19),3)且k≠±eq \f(1,2)。 类型二 弦长问题 【例2】　已知动点P与平面上两定点A(－eq \r(2)，0)，B(eq \r(2)，0)连线的斜率的积为定值－eq \f(1,2)。 (1)试求动点P的轨迹方程C； (2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝eq \f(4\r(2),3)时，求直线l的方程。 解　(1)设动点P的坐标是(x，y)， 由题意得kPA·kPB＝－eq \f(1,2)。 所以eq \f(y,x＋\r(2))·eq \f(y,x－\r(2))＝－eq \f(1,2)， 化简整理得eq \f(x2,2)＋y2＝1。 故P点的轨迹方程C是eq \f(x2,2)＋y2＝1(x≠±eq \r(2))。 (2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4kx＝0。 Δ＝16k2－4(1＋2k2)·0＝16k2>0，所以k≠0， 所以x1＋x2＝eq \f(－4k,1＋2k2)，x1x2＝0。 |MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(4\r(2),3)，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1。 所以k＝±1，经检验符合题意。 所以直线l的方程是y＝±x＋1， 即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0。 求弦长的两种方法 (1)求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长。 (2)联立直线与圆锥曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))·\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长。 【变式训练】　已知抛物线x2＝4y被直线y＝2x＋k截得的弦AB长为20，求实数k的值。 解　将y＝2x＋k代入x2＝4y得x2－8x－4k＝0，由Δ＝64＋16k>0可知k>－4， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，x1x2＝－4k， 由|AB|＝eq \r(5)|x1－x2|＝eq \r(5)×eq \r(64＋16k)＝20，解得k＝1，满足条件。 故k＝1。 类型三 中点弦问题 【例3】　已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1，是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由。 解　解法一：设被B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－eq \f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，解得k<eq \f(3,2)，且x1＋x2＝eq \f(2kk－1,k2－2)。 因为B(1,1)是弦的中点，所以eq \f(kk－1,k2－2)＝1，所以k＝2>eq \f(3,2)。 故不存在被点B(1,1)平分的弦。 解法二：设存在被点B平分的弦MN，M(x1，y1)，N(x2，y2)。 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1　①，,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1　②。)) ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－eq \f(1,2)(y1＋y2)×(y1－y2)＝0。 所以kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，故直线MN的方程为y－1＝2(x－1)。 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1))消去y，得2x2－4x＋3＝0，Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0。 这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在。 中点弦问题的求法 (1)可联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解。 (2)可以用点差法和中点坐标公式求解。 【变式训练】　已知椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点。 (1)当直线l的斜率为eq \f(1,2)时，求线段AB的长度； (2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程。 解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－4)，即y＝eq \f(1,2)x。 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3\r(2)，,y＝\f(3\r(2),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3\r(2)，,y＝\f(－3\r(2),2)，)) 所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(3\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\r(2)，－\f(3\r(2),2)))， |AB|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\r(2)－－3\r(2)))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2),2)))2) ＝3eq \r(10)。 所以线段AB的长度为3eq \r(10)。 (2)当直线l的斜率不存在时，不符合题意。 设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)。 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－2＝kx－4，,\f(x2,36)＋\f(y2,9)＝1，))消去y并整理， 得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0。 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(32k2－16k,1＋4k2)， 由于AB的中点恰好为P(4,2)， 所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(16k2－8k,1＋4k2)＝4，解得k＝－eq \f(1,2)，且满足Δ>0。 这时直线的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0。 1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 C 2．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(　　) A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,2) D．1 解析　将y＝x代入y＝ax2＋1得ax2－x＋1＝0，因为相切，所以Δ＝1－4a＝0，所以a＝eq \f(1,4)。故选B。 答案　B 答案与解析 3．已知抛物线y2＝8x，直线AB的斜率为2，且过抛物线的焦点，则|AB|＝________。 解析　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，则直线AB的方程为y＝2(x－2)。 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2x－2))得x2－6x＋4＝0。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，故|AB|＝x1＋x2＋4＝10。 答案　10 答案与解析 4．双曲线x2－y2＝9被直线x－2y＋1＝0截得的弦长为________。 解析　联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝9，,x－2y＋1＝0，))得3y2－4y－8＝0。y1y2＝－eq \f(8,3)，y1＋y2＝eq \f(4,3)。则弦长l＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \r(5)×eq \r(\f(16,9)＋\f(32,3))＝eq \f(4\r(35),3)。 答案　eq \f(4\r(35),3) 答案与解析 $$