第2章 §3 3.2 抛物线的简单几何性质 (课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 圆锥曲线 §3　抛物线 　3.2　抛物线的简单几何性质 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 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自主预习·明新知 3.2　抛物线的简单几何性质 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　一只很小的灯泡发出的光,会分散地射向各方,但 把它装在手电筒里,经过适当调节,就能射出一束较强的平行光,这是什么原因呢? 1.掌握抛物线的几何性质。 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题。 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题。 x轴 y轴 y轴 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 范围 x≥0，y∈R ，y∈R ，x∈R ，x∈R 对称轴 x轴 x≤0 y≥0 y≤0 －eq \f(p,2) eq \f(p,2) 1 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦点坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) 准线方程 x＝－eq \f(p,2) x＝ y＝ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) eq \f(p,2) 微思考 过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少？ 提示：这条线段是抛物线的通径，长度为2p，借助于通径可以画出较准确的抛物线。 类型一 由抛物线的几何性质求标准方程 【例1】　已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq \r(3)，求抛物线的方程。 解　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq \r(3)，即y1－y2＝2eq \r(3)。由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq \r(3)，把y1＝eq \r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，eq \r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq \r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq \f(3,2)。于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x。 求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程。 【变式训练】　边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x 解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)。又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x。故选C。 答案　C 答案与解析 类型二 抛物线的焦点弦问题 【例2】　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \a\vs4\al(\f(5,2)p)，求AB所在的直线方程。 解　由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设eq \a\vs4\al(Ax1，)y1)，B(x2，y2)。 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<eq \f(5,2)p，不满足题意。 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，k≠0。 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px))消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(k2p2,4)＝0。 由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋eq \f(2p,k2)。 所以|AB|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝2p＋eq \f(2p,k2)＝eq \f(5,2)p，解得k＝±2。 所以AB所在的直线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))， 即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0。 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解。 (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论。 【变式训练】　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点。 (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的eq \a\vs4\al(距离)。 解　(1)因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))。 所以直线l的方程为y＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))。联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，)) 消去y得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0。 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， 又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p， 所以|AB|＝5＋3＝8。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是x＝－eq \f(3,2)， 所以点M到准线的距离等于3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2)。 类型三 抛物线性质的应用 【例3】　已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线l与x轴相交于点K，BK与抛物线的焦点弦AB垂直，AH垂直于x轴，求证：|AH|＝|BH|。 证明　如图，记抛物线的焦点为F，过A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1。由抛物线的定义得|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|。连接AK，因为FK∥AA1∥BB1，所以eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|A1K|,|B1K|)，所以eq \f(|AA1|,|BB1|)＝eq \f(|A1K|,|B1K|)，所以Rt△AA1K∽Rt△BB1K，所以∠A1KA＝∠B1KB，所以∠1＝∠2。 又BK⊥AB，AH⊥KH，所以AHBK是圆内接四边形，其中AK为圆的直径。所以∠3＝∠2，∠1＝∠4，又∠1＝∠2，所以∠3＝∠4，所以|AH|＝|BH|。 这里充分利用了抛物线的定义、平面几何知识，并结合图形使问题得以顺利地解决。对于本例，使用几何方法比代数方法更为简捷。 【变式训练】　设直线l过抛物线y2＝4px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，设|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝_______。 解析　如图所示，连接RF，SF。 因为PR∥OF，所以∠PRF＝∠RFO。由抛物线的定义知|PR|＝|PF|，所以∠PRF＝∠PFR，所以∠PFR＝∠RFO。同理，∠SFO＝∠SFQ，从而∠RFS＝90°。由直角三角形的性质知|MF|＝eq \f(1,2)|RS|。又|RS|＝eq \r(a＋b2－a－b2)＝2eq \r(ab)，所以|MF|＝eq \r(ab)。 答案　eq \r(ab) 答案与解析 抛物线焦点弦常见性质 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l。 (1)以AB为直径的圆必与准线l相切。 (2)|AB|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))(焦点弦长与中点关系)。 (3)|AB|＝x1＋x2＋p。 (4)若直线AB的倾斜角为α，则|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，S△AOB＝eq \f(p2,2sin α)。 当α＝90°时，线段AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的。 (5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2。 对以上(1)～(5)证明如下： (1)分别过A，B，M作准线l的垂线AA1，BB1，MM1，垂足分别为A1，B1，M1，如图所示。 由抛物线的定义可知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，在直角梯形ABB1A1中，|MM1|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|， 故圆心M到准线l的距离等于半径，所以以AB为直径的圆必与准线l相切。 (2)由(1)知，|MM1|＝eq \f(1,2)|AB|，则|AB|＝2|MM1|， 因为|MM1|＝x0＋eq \f(p,2)，所以|AB|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))。 (3)因为|AF|＝|AA1|＝x1＋eq \f(p,2)， |BF|＝|BB1|＝x2＋eq \f(p,2)， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p。 (4)设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px， 可得y2－2pmy－p2＝0， 所以y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm， 所以x1＋x2＝my1＋eq \f(p,2)＋my2＋eq \f(p,2)＝m(y1＋y2)＋p＝2pm2＋p，当α＝90°时，m＝0，|AB|＝x1＋x2＋p＝2pm2＋p＋p＝2p＝eq \f(2p,sin2α)；当α≠90°时，m＝eq \f(1,tan α)，|AB|＝eq \f(2p,tan2α)＋2p＝eq \f(2p,sin2α)。 综上所述，|AB|＝eq \f(2p,sin2α)。 因为S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝eq \f(1,2)|OF|·y1＋eq \f(1,2)|OF|·(－y2)＝eq \f(1,2)|OF|·(y1－y2)＝eq \f(1,2)·eq \f(p,2)·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(p2,2)·eq \r(m2＋1)，当α＝90°时，m＝0，S△AOB＝eq \f(p2,2)＝eq \f(p2,2sin α)；当α≠90°时，m＝eq \f(1,tan α)，S△AOB＝eq \f(p2,2)· eq \r(\f(1,tan2α)＋1)＝eq \f(p2,2sin α)。 综上所述，S△AOB＝eq \f(p2,2sin α)。 又当α＝90°时，sin α取最大值，所以此时|AB|最短，即当α＝90°时，弦AB是所有焦点弦中最短的。 (5)由(4)得y1y2＝－p2，则x1x2＝eq \f(y\o\al(2,1),2p)·eq \f(y\o\al(2,2),2p)＝eq \f(y1y22,4p2)＝eq \f(－p22,4p2)＝eq \f(p2,4)。 【典例】　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A．eq \f(3\r(3),4) B．eq \f(9\r(3),8) C．eq \f(63,32) D．eq \f(9,4) (2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 【解析】　(1)解法一：由题意可知，直线AB的方程为eq \a\vs4\al(y＝) eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入抛物线的方程可得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3eq \r(3)，y1y2＝－eq \f(9,4)，故所求三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(9,4)。 解法二：运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S△OAB＝eq \f(p2,2sin α)＝eq \f(\f(9,4),2sin 30°)＝eq \f(9,4)。 答案与解析 (2)解法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0。不妨设直线l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq \f(1,k)(x－1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设eq \a\vs4\al(Ax1)，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝2＋eq \f(4,k2)，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋eq \f(4,k2)＋2＝4＋eq \f(4,k2)。同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝4＋eq \f(4,k2)＋4＋4k2＝8＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋8＝16，当且仅当eq \f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16。 解法二：运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，因此|AB|＋|DE|＝eq \f(2p,sin2α)＋eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq \f(4,sin2α)＋eq \f(4,cos2α)＝eq \f(4,sin2αcos2α)＝eq \f(16,sin22α)≥16。 【答案】　(1)D　(2)A 上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题。 【变式训练】　过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq \f(25,12)，|AF|<|BF|，则|AF|＝________。 解析　y2＝2x的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))。由题干知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，将y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))代入y2＝2x，得 k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＝2x，所以k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(k2,4)＝0。所以x1x2＝eq \f(1,4)。而|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝eq \f(25,12)，所以x1＋x2＝eq \f(13,12)。所以x1＝eq \f(1,3)，x2＝eq \f(3,4)。所以|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)。 答案　eq \f(5,6) 答案与解析 1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析　椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的焦点是(±eq \r(2p)，0)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以eq \r(2p)＝eq \f(p,2)，所以p＝8，故选D。 答案　D 答案与解析 2．若抛物线x2＝8y上一点P(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \r(2) C．1 D．2 解析　抛物线x2＝8y的准线为y＝－2，点P(x0，y0)到焦点的距离等于P到准线y＝－2的距离，所以y0＋2＝2y0，y0＝2，故选D。 答案　D 答案与解析 3．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________。 解析　双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝2，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x。又抛物线焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到y＝±eq \r(3)x的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2))),\r(\r(3)2＋12))＝eq \f(p,4)＝2，p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y。 答案　x2＝16y 答案与解析 4．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)。若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________。 解析　由抛物线y2＝2px(p>0)，得焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，则FA的中点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)，1))，代入抛物线方程得2p×eq \f(p,4)＝1，所以p＝eq \r(2)，所以B点到准线的距离为eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)p＝eq \f(3\r(2),4)。 答案　eq \f(3\r(2),4) 答案与解析 5．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴。l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程。 解　由题意知，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线l：x＝eq \f(p,2)，所以A，B两点的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，所以|AB|＝2|p|，因为△OAB的面积为4，所以eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))·2|p|＝4，所以p＝±2eq \r(2)。所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x。 $$