第2章 §2 2.1 双曲线及其标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 圆锥曲线 §2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 2.1　双曲线及其标准方程 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　做下面一个实验。(1)取一条拉链,拉开一部分。(2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点F1,F2上。 (3)把笔尖放在M处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线。试观察这是一条什么样的曲线?点M在运动过程中满足什么几何条件? 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程。 2.通过双曲线方程的学习进一步体会数形结合的思想。 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线。 这两个定点F1，F2叫作双曲线的 ，两个焦点间的距离叫作双曲线的 。 绝对值 焦点 焦距 2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) a，b，c的 关系式 F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2＋b2 类型一 双曲线定义的应用 【例1】　已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点。 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积。 解　(1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6，解得|MF2|＝10或|MF2|＝22。 (2)由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5。由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3)。 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间的距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)。 (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用。 【变式训练】　(1)(多选)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±2 B．|PF1|－|PF2|＝±3 C．|PF1|－|PF2|＝±4 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 解析　|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选AB。 答案　AB 答案与解析 (2)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________。 解析　在双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1中，a＝3，b＝4，c2＝a2＋b2＝25，所以c＝5，所以由条件知，|PF2|＝|F1F2|＝2c＝10。又因为P为双曲线C的右支上一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝16。 如图，过F2作F2T⊥PF1于T，则T为PF1的中点，且|PT|＝8，所以|F2T|＝6，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)×16×6＝48。 答案　48 答案与解析 类型二 求双曲线的标准方程 【例2】　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))； (2)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq \r(2)，2)； (3)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上。 解　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq \f(16,15)×eq \f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9。故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1。 (2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20　①。 因为双曲线经过点(3eq \r(2)，2)，所以eq \f(18,a2)－eq \f(4,b2)＝1　②。 由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1。 (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0。 因为点P，Q在双曲线上， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9)。)) 故双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1。 双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程。 (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可。 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0。 【变式训练】　求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)； (3)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，eq \r(10))。 解　(1)由题设知，a＝3，c＝4， 由c2＝a2＋b2， 得b2＝c2－a2＝42－32＝7。 因为双曲线的焦点在x轴上， 所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1。 (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上。 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以 2a＝|eq \r(－5－02＋6＋62)－　eq \r(－5－02＋6－62)| ＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20。 所以所求双曲线的标准方程是eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1。 (3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq \r(2)。设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5。 故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1。 类型三 表示双曲线方程的条件 【例3】　(1)已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为(　　) A．(－1,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋k>0，,1－k>0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k>－1，,k<1，))即－1<k<1。故选A。 答案　A 答案与解析 (2)若方程eq \f(x2,2－m)＋eq \f(y2,|m|－3)＝1表示双曲线，则m的取值范围是________。 解析　依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－m>0，,|m|－3<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－m<0，,|m|－3>0，))解得－3<m<2或m>3。所以m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)。 答案　(－3,2)∪(3，＋∞) 答案与解析 mx2＋ny2＝1表示双曲线的充要条件是mn<0。当焦点在x轴上时，m>0，n<0；当焦点在y轴上时，m<0，n>0。 【变式训练】　求满足下列条件的参数的值。 (1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值； (2)椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，求a的值。 解　(1)若焦点在x轴上，则方程可化为eq \f(x2,\f(k,2))－eq \f(y2,k)＝1，所以eq \f(k,2)＋k＝32，k＝6； 若焦点在y轴上，则方程可化为eq \f(y2,－k)－eq \f(x2,\f(－k,2))＝1， 所以－k＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＝32，即k＝－6。 综上所述，k的值为6或－6。 (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a>0)。由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)。因此a的值为1。 1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线 解析　因为|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，所以当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，为一条射线。 答案　D 答案与解析 2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0)) D. (eq \r(3)，0) 解析　将双曲线方程化为标准形式x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1，所以a2＝1，b2＝eq \f(1,2)，于是c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(6),2)，故右焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0))。 答案　C 答案与解析 3．“k>9”是“方程eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－4)＝1表示双曲线”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当k>9时，9－k<0，k－4>0。方程表示双曲线。当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线。所以“k>9”是“方程eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－4)＝1表示双曲线”的充分不必要条件。 答案　B 答案与解析 4．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,32)＝1(a>0)的一个焦点为F1(5,0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________。(用数值表示) 解析　由题意知，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,32)＝1(a>0)的一个焦点为F1(5, 0)，所以c＝5，又由a2＝c2－b2＝25－9＝16，得a＝4，因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1，故答案为17或1。 答案　17或1 答案与解析 5．设双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，求双曲线的标准方程。 解　由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(eq \r(15)，4)。 设所求的双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(15,b2)＋\f(16,a2)＝1，,a2＋b2＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5。))故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1。 $$