精品解析：湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二3月月考 数学试卷 一､单选题（每题5分共40分） 1. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ） A B. C. D. 4. 记等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 24 B. 28 C. 48 D. 84 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 6 已知，则 （ ） A. B. C. 1 D. 0 7. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分共18分） 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若数列等差数列且，，则当时，取得最大值 C. 若数列是等比数列，则，，成等比数列 D. 若数列是等差数列，则 10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 11. 设函数则下列说法正确的有（ ） A. 函数仅有1个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 三､填空题（每题5分共15分） 12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 13. 已知函数，，则的最小值为________________. 14. 已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________． 四､解答题 15 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 16. 求下列函数导数： （1）； （2）； （3）. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 18. 设 (1)求的极值点； (2)求的单调区间； (3)求在的最大值与最小值； (4)画的草图. 19. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，数列满足 （1）分别求数列、的通项公式； （2）设数列的前项和，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二3月月考 数学试卷 一､单选题（每题5分共40分） 1. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D. 【详解】因为所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：D. 3. 已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义及通项公式即可得. 【详解】，， 即，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 4. 记等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 24 B. 28 C. 48 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和的性质即可得解. 【详解】由等比数列的性质，得成等比数列， 所以， 又因为，， 即， 解得． 故选：D. 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，利用导数的几何意义可求的值. 【详解】由题意得，函数的定义域为，且， ∴， ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴，即，故. 故选：D. 6. 已知，则 （ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数定义可得，求得得解. 【详解】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 7. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用导数表示出在点处切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果. 【详解】设，由，得， 曲线在点处的切线方程为， 把代入切线方程，得， 化简得， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 都满足直线， 直线的方程为. 故选：A 8. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点， 而函数在上单调递增，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 二､多选题（每题6分共18分） 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值 C. 若数列是等比数列，则，，成等比数列 D. 若数列是等差数列，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用与间的关系，求出，即可求解；对于B，根据条件得，，即可求解；对于C，取，当为偶数时，，即可求解；对于D，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为①，当时，②， 由①②得到，又时，，不满足， 所以，则，数列不是等差数列，故选项A错误， 对于选项B，因为，且，则公差，由，得到， 所以，故当时，取得最大值，所以选项B正确， 对于选项C，取，为等比数列，且首项为，公比为， 当为偶数时，，此时，，不成等比数列，所以选项C错误， 对于选项D，因数列是等差数列，则，所以选项D正确， 故选：BD. 10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 11. 设函数则下列说法正确的有（ ） A. 函数仅有1个零点 B. 是的极小值点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作三条直线与的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D. 【详解】对AB，，， 当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以，，又， 所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误； 对C，由，得， 所以函数图象关于对称，故C正确； 对D，设切点为，则，故切线方程为， 又过点，所以，整理得， 即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题（每题5分共15分） 12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用来求得正确答案. 【详解】根据题意，数列满足， 当时，有； 当时，有，不符合， 故 故答案为： 13. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 14. 已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令函数，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出的单调性，再利用单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 又，，可得， 因此在上单调递增， 原不等式可化为，即， 可得，因此， 解得. 故答案为：. 四､解答题 15. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得 【小问1详解】 因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由复合函数的求导法则求解即可； 【小问1详解】 函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以； 【小问2详解】 函数可以看作函数和复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以 【小问3详解】 函数可以看作函数和的复合函数， ， 所以. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 18. 设 (1)求的极值点； (2)求的单调区间； (3)求在的最大值与最小值； (4)画的草图. 【答案】(1)极小值点，极大值点；(2)单调递增区间为，单调递减区间为和；(3)最大值为63，最小值为0；(4)草图见解析. 【解析】 【分析】对于(1)(2)(3)，首先对函数求导函数，再令，并求解，从而可得到与随的变化情况表，进而求解； 对于(4)，根据与随的变化情况表以及的极值作图即可. 【详解】由题意，，令，解得，，， 当变化是，，变化状态如下表： 极小值 极大值 (1)为为的极小值点，为的极大值点； (2) 的单调递增区间为，单调递减区间为和； (3)由表可知，的极小值为，的极大值为， 又因为， 故在上的最大值为63，最小值为0； (4) 的草图如下所示： 19. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，数列满足 （1）分别求数列、的通项公式； （2）设数列的前项和，求的最小值. 【答案】（1）；；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）根据是各项均为正数的等比数列，利用“ ”求解，然后利用数列通项公式与前n项和的关系求解. （2）利用错位相减法求，再利用作差法判断的增减性求最值. 【详解】（1）∵是各项均为正数的等比数列 ∴ ∵， ∴，∴ ∴ ∴∴ 又∵ ∴，时 ∴ 两式相减得： ∴ ∵不满足 ∴当 （2）当时， 当时， ∴ ∴ ∵满足 ∴ ∵ ∴数列为递增数列 ∴的最小值为2 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，数列通项公式与前n项和的关系以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$