精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州长顺县2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试卷

黔南州2024—2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择 题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 祥蛇纳福，瑞气盈堂．愿君新岁似灵蛇，身姿矫健跃高峰．祝福所有九年级学子6月勇夺桂冠．现将祥蛇纳福图绕某点旋转得到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 旭日东升 4. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，在矩形中，，以点为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确是( ) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 点在圆内 7. 抛物线与轴的交点情况为（ ） A. 没有交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能判断 8. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是的直径，平分弦，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 用一金属圆柱体材料切削加工成横截面是正六边形的螺帽，其形状和尺寸如图所示，则该金属圆柱体材料的底面直径长至少是（ ） A 2 B. C. D. 12. 在修建贵南高铁某路段时，需对铁路旁边某一斜坡进行加固，现用混凝土喷射机将混合料喷射到坡面，如图是喷射机工作时的截面图，以喷出口为原点建立平面直角坐标系，若混合料的喷出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，混合料的落点是，则点到喷出口所在水平面的垂直距离是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 12 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 14. 一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是，则的值为__________． 15. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 16. 如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针旋转得到的； （2）求中点经过的路径的长（结果保留）． 19. 已知抛物线经过点． （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）当时，的取值范围是___________． 20. 某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山．蜡炬成灰．物腐虫生．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是___________； （2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 2000 抽到卡片次数 30 70 126 251 500 抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于__________（精确到0.01），所以该同学的说法__________；（用“正确”或“错误”填空） （3）小娜随机抽取一张卡片记录后，放回并混在一起，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率． 21. 阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 22. 某种商品的销售单价（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）每件的成本（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低． （1）求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率； （2）求该商品销售单价关于销售月份的函数解析式； （3）在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润售价成本） 23. 某数学兴趣小组在学习了圆的切线判定定理后，讨论了过圆外一点，用尺规作的切线和的方法： ①连接，分别以点和点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点； ②作直线交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作圆，与相交于，两点； ④连接，． 和即是所求切线． （1）根据上述作法，求证：，是的切线； （2）若，，求的长． 24. 排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是． （1）求此时水面的最大高度； （2）若水面上升，则水面宽度将增加多少米？ 25. 如图1所示，在等腰三角形中，，边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接． （1）当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：； （2）当绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3． ①和还相等吗？___________（用“”或“”填空）； ②若，猜想的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黔南州2024—2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择 题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 祥蛇纳福，瑞气盈堂．愿君新岁似灵蛇，身姿矫健跃高峰．祝福所有九年级学子6月勇夺桂冠．现将祥蛇纳福图绕某点旋转得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意做即可． 【详解】解：将祥蛇纳福图绕某点旋转即可得到，大小不变， 故选：B． 2. 一元二次方程的一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用直接开平方法解方程即可解答． 【详解】解：， 则， 解得：，， 故选：A． 3. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质定理，熟练掌握圆内接四边形的性质定理是解题的关键：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；注意：①“内对角”是圆内接四边形的专用名词，圆内接四边形的某一外角的内对角是指与其相邻的内角的对角；②若四边形的一组对角互补，则这个四边形内接于圆；③若四边形的一个外角等于与其相邻的内角的对角，则这个四边形内接于圆． 根据圆内接四边形的性质定理即可直接得出答案． 【详解】解：四边形为的内接四边形，且， ， 故选：． 5. 若点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的增减性比大小，熟记二次函数图象性质是解决本题的关键． 首先确定抛物线的开口方向及对称轴，再根据二次函数的性质即可判断，的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，有最小值，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ， ∴； 故选：A． 6. 如图，在矩形中，，以点为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是( ) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 点在圆内 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与直线的三种位置关系，根据题意确定点与圆心之间的距离是解题的关键．根据点与直线的三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在圆内进行判断． 【详解】解：因为，，， 所以点在圆内； 因为在矩形中，，， 如图，连接 所以，，， 所以点在圆外； 因为，，， 所以点在圆上． 故选：A． 7. 抛物线与轴的交点情况为（ ） A. 没有交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据的情况，即可判断求解． 【详解】解： ∵， ∴抛物线与轴有两个交点， 故选：C． 8. 若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用一元二次方程根与系数关系得到，，然后直接代入求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解答本题的关键是明确函数图象与、的关系． 根据各个选项中的函数图象可以判断函数与中、的正负，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故A选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故B选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故C选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故D选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，已知是的直径，平分弦，交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由圆周角定理得，由垂径定理得，从而得，根据三角函数求出，再根据垂径定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 平分弦， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 11. 用一金属圆柱体材料切削加工成横截面是正六边形的螺帽，其形状和尺寸如图所示，则该金属圆柱体材料的底面直径长至少是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了圆与正六边形的相关知识，解直角三角形，掌握圆内接正六边形的相关性质是解题的关键． 根据如图所示的螺帽，可得到该螺帽的边心距，再通过构造直角三角形和利用正六边形的性质，求出半径的长，即可求出直径的长． 【详解】解：如图，设点O为正六边形中心，过点O作垂直于正六边形的边，C为垂足，连接， 由题意得， ∴ ∴该金属圆柱体材料的底面直径长至少是， 故选：C． 12. 在修建贵南高铁某路段时，需对铁路旁边某一斜坡进行加固，现用混凝土喷射机将混合料喷射到坡面，如图是喷射机工作时截面图，以喷出口为原点建立平面直角坐标系，若混合料的喷出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，混合料的落点是，则点到喷出口所在水平面的垂直距离是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，联立两解析式，可求出交点的坐标；即可求解． 【详解】解：联立 解得：（舍去）或 ∴点到喷出口所在水平面的垂直距离是 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键． 14. 一个不透明袋子中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式和解分式方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：． 15. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列，根据增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列， 由题意得：． 故答案为：． 16. 如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，取的中点，连接，由可得点在上运动，即可得，据此解答即可求解，由得出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵， ∴点在上运动， ∵， ∴， ∵四边形矩形， ∴，， ∴， ∴， 即点共线时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了直接开方法、公式法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的解法． （1）根据直接开方法，即可求解， （2）根据公式法，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴，或， ∴； 【小问2详解】 解： ，。 方程有两个不等的实数根， 即． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针旋转得到的； （2）求中点经过的路径的长（结果保留）． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转、弧长公式、平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 分别作点、、绕点逆时针旋转得到的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； 根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式，得到，根据弧长公式计算出的长度即可． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别作点、、绕点逆时针旋转得到的对应点、、， 连接点、、，得到， 即为所作； 【小问2详解】 解：， 的长为． 19. 已知抛物线经过点． （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把已知点的坐标代入中求出a的值，从而得到抛物线解析式； （2）先利用配方法得到顶点式，则当时，y有最小值2，再分别计算出和对应的函数值，然后根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴这条抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为2， 当时，； 当时，， 当时，y的取值范围为． 故答案为：． 20. 某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山．蜡炬成灰．物腐虫生．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是___________； （2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 2000 抽到卡片次数 30 70 126 251 500 抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于__________（精确到0.01），所以该同学的说法__________；（用“正确”或“错误”填空） （3）小娜随机抽取一张卡片记录后，放回并混在一起，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率． 【答案】（1）； （2），错误； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键． （1）根据概率公式，即可求解， （2）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可， （3）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是； 【小问2详解】 解：表格中抽到的频率在0.25上下波动，且随着抽卡的次数增加，频率逐渐稳定于，所以该同学的说法错误 故答案为：；错误； 【小问3详解】 解：列表如下 小菲 小娜 A B C D A B C D 由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种， ∴（恰好在同一社团）． 21. 阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 22. 某种商品的销售单价（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）每件的成本（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低． （1）求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率； （2）求该商品销售单价关于销售月份的函数解析式； （3）在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润售价成本） 【答案】（1）5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为； （2）； （3）5月销售这种商品，每件获得的利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为x，根据题意得：，然后进行计算即可； （2）利用待定系数法求一次函数解析式，即可得出答案； （3）利用待定系数法求二次函数解析式，然后设销售这种商品每件获得的利润是w元．再根据利润=售价-成本进行计算，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为； 【小问2详解】 解：设关于的函数解析式为． 把点与点代入中，得， 解得 ∴关于的函数解析式为； 【小问3详解】 ∵抛物线的顶点坐标是， ∴设关于的函数解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴． 设销售这种商品每件获得的利润是元． 则． ∵该抛物线开口向下，对称轴是， ∴在对称轴的右侧，随的增大而减小． ∵， ∴当时，取最大值， ∴当时，取最大值， ∴5月销售这种商品，每件获得的利润最大． 23. 某数学兴趣小组在学习了圆的切线判定定理后，讨论了过圆外一点，用尺规作的切线和的方法： ①连接，分别以点和点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点； ②作直线交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作圆，与相交于，两点； ④连接，． 和即是所求的切线． （1）根据上述作法，求证：，是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，即，根据切线的判定定理得到结论； （2）由（1）知，根据勾股定理得到，根据切线的性质得到平分，再结合等积法求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线， 同理可得是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵，是的两条切线， ∴平分，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 24. 排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是． （1）求此时水面的最大高度； （2）若水面上升，则水面宽度将增加多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及解一元二次工程，解答本题的关键是熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）依据题意，由，可得点的横坐标是，从而点的纵坐标是，故，即可得解； （2）依据题意，由水面上升后，水面高度变为，由，故当时，，求出后即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，得点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， 水面的最大高度是； 【小问2详解】 解：水面上升后，水面高度变为， ， 当时，， 解得：， 此时的水面宽度是， 水面的宽度将增加． 25. 如图1所示，在等腰三角形中，，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接． （1）当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：； （2）当绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3． ①和还相等吗？___________（用“”或“”填空）； ②若，猜想的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析； （2）①；②结论：，见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握是解答本题的关键． （1）在图1中，可得，根据旋转可证，即可证明； （2）过点作于点，可得，，在直角中，，得到，通过得到，． 【小问1详解】 证明：在图1中，， ， ， ，， ， ， 由旋转的性质，在图2中仍有，，， ， ， 在和中， ， （SAS）， ； 【小问2详解】 解：①；②结论：，证明如下： 如图过点作于点， ，， ，， 在直角中，， ， ， ， 由（1）同理可证， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$