专题02 7.2随机变量的分布与特征（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题02 7.2随机变量的分布与特征 目录 【题型一 简单离散型随机变量分布列】 2 【题型二 利用随机变量分布列的性质解题】 4 【题型三 离散型随机变量的均值】 5 【题型四 离散型随机变量的方差】 7 【题型五 均值和方差的性质】 9 一、离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 二、离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【题型一 简单离散型随机变量分布列】 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 2．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 3．（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 4．（23-24高二下·云南玉溪·期末）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)求第6秒末粒子回到原点的概率； (3)设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 5．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； (2)设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【题型二 利用随机变量分布列的性质解题】 1．（23-24高二下·北京·期中）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 ①； ②当时，； ③若为等差数列，则； ④的通项公式可能为． 其由所有正确命题的序号是 ． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个随机变量的分布为：，且，则 3．（24-25高三·上海·随堂练习）随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ． 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知随机变量的分布列如图：若，则（ ） 0 1 A． B． C．或 D．或 5．（2024·广东·一模）已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型三 离散型随机变量的均值】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望． 2．（23-24高二下·上海·期中）小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二天不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，X表示他不交作业的次数. (1)若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率； (2)求X的分布列并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，Y表示小明这周的作业成绩，求. 3．（2024·上海金山·二模）有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 4．（2024·上海松江·二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. (1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 5．（2024·湖北·一模）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【题型四 离散型随机变量的方差】 1．（25-26高三上·上海·单元测试）已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 2．（2022高三·全国·专题练习）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 3．（2024·上海闵行·三模）设，，是不全相等的实数，随机变量取值为，，的概率都是，随机变量取值为，，的概率也都是，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高三·上海·课堂例题）已知随机变量的分布为． (1)求、、； (2)结合（1）的计算结果，能否写出一个更一般的结论，并证明． 5．（2024·北京东城·二模）某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）： 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83 90 75 95 93 61 76 (1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； (2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下： （i）求的分布列和数学期望； （ii）设随机变量，的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【题型五 均值和方差的性质】 1．（2024·辽宁·三模）在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（    ） A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.8 2．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知随机变量的分布列为 0 1 2 P a 若，则（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏镇江）设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二·全国·课后作业）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（    ） X 1 2 3 P a b 2b—a A． B．3 C．6 D．5 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 2．（2024·上海浦东新·三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 . 3．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ． 4．（2023·全国·模拟预测）在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是 （填标号）.① ；②；③. 5．（2024·山东临沂·二模）随机变量的分布列如下表： 1 2 3 其中，，成等差数列，若，则 ． 6．（2025·广东惠州·模拟预测）有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以、、、表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 . 7．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3， 5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲得3分的概率为 ；甲的总得分不小于2的概率为 ． 8．（2024·广东肇庆·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 . 9．（2024高三下·江西新余·专题练习）小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则 ， . 10．（23-24高二下·湖北武汉·期末）从这10个数中随机抽一个数记为，再从中随机抽一个数记为，则 . 二、单选题 11．（24-25高三上·福建·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（    ） A．存在 B．对任意 C．存在 D．对任意 12．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（22-23高三上·浙江·开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 14．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）一盒子中共有7个大小质地相同的球，其中4个1号球，3个2号球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是2号球，则将它放回盒子中；如果取出的球是1号球，则不放回盒子中，另补一个2号球放入袋中．重复进行上述操作n次后，盒子中所有球的号码之和记为． (1)为何值的概率最大？ (2)求随机变量的分布列； (3)求随机变量的数学期望关于的表达式． 15．（24-25高三上·辽宁·期末）为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. (1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； (2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 7.2随机变量的分布与特征 目录 【题型一 简单离散型随机变量分布列】 2 【题型二 利用随机变量分布列的性质解题】 6 【题型三 离散型随机变量的均值】 9 【题型四 离散型随机变量的方差】 15 【题型五 均值和方差的性质】 21 一、离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 二、离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【题型一 简单离散型随机变量分布列】 1．（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 2．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析 【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【详解】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 3．（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”,利用条件概率公式能求出小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率 (2)X的可能所有取值为:1,2,3,4,5分别求出相应的概率,由此能求出的分布列即可. 【详解】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则 ．则小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为 . （2）X的可能所有取值为:1,2,3,4,5． ， ， ， ， ， 则X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 4．（23-24高二下·云南玉溪·期末）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)求第6秒末粒子回到原点的概率； (3)设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、实际问题中的组合计数问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分类讨论回到原点的可能性情况，结合古典概型分析求解； （3）分析可知的可能取值为，，1，3，结合题意求分布列. 【详解】（1）由题意得，粒子在第2秒末移动到点的概率. （2）粒子在第6秒后回到原点，分四种情况考虑： ①两上两下一左一右，共有种情形； ②两左两右一上一下，共有种情形； ③三上三下，共有种情形； ④三左三右，共有种情形； 所以. （3）粒子向右或向上则X的取值加1，粒子向左或向下则X的取值减1， 的可能取值为，，1，3，对应的概率分别为： ，，，， 所以X的分布列为： 1 3 5．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率； (2)设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【知识点】计数原理与概率综合、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）相当于比赛前刚好取到了一个新球，一个旧球，即可得答案； （2）由题意分析可知的可能值为0，1，2，3，4.后由题意可得相应概率，即可得分布列. 【详解】（1）因一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球. 因一共有6个球，则总情况数为，取到一个新球，一个旧球的情况数为， 则相应概率为： ； （2）设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为， 则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4. ； ； ； ； . 则分布列如下： 0 1 2 3 4 【题型二 利用随机变量分布列的性质解题】 1．（23-24高二下·北京·期中）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 ①； ②当时，； ③若为等差数列，则； ④的通项公式可能为． 其由所有正确命题的序号是 ． 【答案】①②③． 【知识点】裂项相消法求和、利用等差数列的性质计算、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】随机变量概率分布列与数列结合. 【详解】对于①，， ， ，故①正确； 对于②，当时，，故②正确； 对于③，若为等差数列，则，，故③正确； 对于④，当的通项公式为时， ，故④错误． 故答案为：①②③． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个随机变量的分布为：，且，则 【答案】/ 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为得到，再由数学期望的计算得到，联立解出、的值即可得到的值. 【详解】由得， 由，得， 联立，解得，所以. 故答案为：. 3．（24-25高三·上海·随堂练习）随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】等差中项的应用、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】因为a，b，c成等差数列，所以．结合分布列性质，及，求解，，，然后利用方差的计算公式计算即可. 【详解】因为a，b，c成等差数列，所以． 又由分布列性质知，所以． 又因为，所以，，， 所以． 故答案为：． 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知随机变量的分布列如图：若，则（ ） 0 1 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、均值的性质、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量的期望、方差的计算公式及其性质构造出与、有关方程组即可得解. 【详解】由题意可得，即， 则， 则， 化简得，即， 解得或，则或， 则或. 故选：C. 5．（2024·广东·一模）已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知， 若，则，得， 故充分性满足； 若，则，解得或. 当时，，此时， 当时，，此时， 则或，故必要性不满足. 故选：A. 【题型三 离散型随机变量的均值】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望． 【答案】(1) (2)的分布见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）趣味比赛班以比赢得最终胜利，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，根据独立重复试验的概率公式计算即可； （2）的可能取值为，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可． 【详解】（1）记班以比赢得最终胜利，为事件， 则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，此时班以比赢得最终胜利， 因此. （2）的可能取值为， 当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局、两个班级各胜一局， 则， 所以的分布为： 所以数学期望. 2．（23-24高二下·上海·期中）小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二天不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，X表示他不交作业的次数. (1)若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率； (2)求X的分布列并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，Y表示小明这周的作业成绩，求. 【答案】(1) (2)X的分布见解析，分 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用互斥事件的概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）写出X所有可能值并求概率，利用互斥事件概率得及格的概率； （2）由（1）得X的分布和，得到Y与X的线性关系并利用期望的性质求解. 【详解】（1）由题可知X的可能值为0,1,2,3,4 则, , , , , 若，小明作业成绩就不及格，故小明作业成绩及格的概率; （2）由（1）可知X的分布列为        X       0       1        2        3       4        P                               则， 若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5分，则， 故分. 3．（2024·上海金山·二模）有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 【答案】(1) (2)分布列见解析，．猜想 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式 【分析】（1）结合排列组合与概率公式计算即可得； （2）得出的所有取值及其概率，求得其概率分布，即可得其期望，列出号盒子与号盒子中的红球个数的关系，即可得， 【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取， ， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为： ； 猜想，理由如下： 当时，设号盒子里有3个红球的概率为，有2个红球的概率为， 则号盒子里有1个红球的概率为， 则， ， ， 则 ， 由每个盒子中原本的红球与白球个数相等， 故号盒子中红球个数为与白球个数为的概率相等， 即，即有， 故， 当时， 有，，， ， 故可得. 4．（2024·上海松江·二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. (1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 【答案】(1) (2) (3)先派出甲 【知识点】均值的实际应用、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为， 由（2）可知，， 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为， 则， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． 5．（2024·湖北·一模）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由离散型随机变量的均值求参数、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用独立重复实验的概率求解 （2）写出随机变量可能值，利用期望大于0解不等式求解. 【详解】（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次， 所求概率为：． （2）所有可能的取值为，且 ， ， ， ， 由，解得， 又因为，故的取值范围为． 【题型四 离散型随机变量的方差】 1．（25-26高三上·上海·单元测试）已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情况． 【详解】由题意得，， 所以当增大时，减小， ， 所以在上随的增大而增大. 故选：B． 2．（2022高三·全国·专题练习）设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，， 而，所以先减小后增大. 故选：D 3．（2024·上海闵行·三模）设，，是不全相等的实数，随机变量取值为，，的概率都是，随机变量取值为，，的概率也都是，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、作差法比较代数式的大小 【分析】首先求出，设，从而得到，、，再利用作差法判断与的大小关系，即可得解. 【详解】因为随机变量取值为，，的概率都是， ∴，设， 则 ； 随机变量取值为，，的概率都是， ∴， ； 由，，是不全相等的实数， ， ，∴； 综上，，. 故选：B. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）已知随机变量的分布为． (1)求、、； (2)结合（1）的计算结果，能否写出一个更一般的结论，并证明． 【答案】(1)1.56；6.24；； (2)答案见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、方差的性质、均值的性质 【分析】（1）由分布列计算数学期望及方差； （2）由方差公式进行证明． 【详解】（1）． ． 的分布为， 所以． 所以 ． 的分布为， 所以． 所以 ． （2）因为，， 猜想：若是一个随机变量，、是实数，则． 证明： ， 故得证． 5．（2024·北京东城·二模）某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）： 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83 90 75 95 93 61 76 (1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； (2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下： （i）求的分布列和数学期望； （ii）设随机变量，的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii）. 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）利用古典概型直接计算即可； （2）（i）列出变量X的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，利用公式直接求解数学期望即可；（ii）计算方差，利用方差的含义直接判断即可. 【详解】（1）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5， 则从数学学习小组7名学生中随机选取1名， 该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 （2）（i）随机变量可能的取值为0，1，2. 这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，. 时，若，有，，共3种， 若，有，共2种， 若，有，，，共4种， 故； 时，若，有，，共3种， 若，有，，共3种， 故； 时，若，有，，，共4种， 若，有共1种， 若，有共1种， 故. 则随机变量的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望. （ii）由（i）知， 这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，. 随机变量可能的取值为0，1，2，3. 时，若，有，，共3种， 若，有，共2种， 故； 时，若，有，，，共4种， 故； 时，若，有，，共3种， 若，有，，共3种， 故； 时，若，有，，，共4种， 若，有共1种， 若，有共1种， 故. 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. 所以， 因为，所以. 【题型五 均值和方差的性质】 1．（2024·辽宁·三模）在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（    ） A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.8 【答案】C 【知识点】方差的性质、二项分布的方差 【分析】由二项分布的方差公式求出，再根据求出结果即可. 【详解】由题意可知，随机变量服从二项分布，即， 则， 又， 则， 故选：C. 2．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知随机变量的分布列为 0 1 2 P a 若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】由概率和为1可确定，即可确定，后由方差性质可得答案. 【详解】由，得，则，．因为，所以． 故选： 3．（23-24高二下·江苏镇江）设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、方差的性质 【分析】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据方差的性质可判断C，根据期望公式可判断D. 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误； ， 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高二·全国·课后作业）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可. 【详解】由题意，得，则， 所以，， 所以，， 所以，， 即最大， 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（    ） X 1 2 3 P a b 2b—a A． B．3 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质 【分析】根据概率和为得到求得，根据分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可. 【详解】因为分布列中概率和为，故可得，解得， 又， 则， 又，故可得， 则当时，的最大值为， 又，故的最大值为. 故选：C. 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 2．（2024·上海浦东新·三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 . 【答案】/ 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 故答案为：. 3．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、基本不等式求和的最小值 【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得. 【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，， ，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故最大值为． 故答案为：. 4．（2023·全国·模拟预测）在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是 （填标号）.① ；②；③. 【答案】① ② ③ 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】计算，得到①正确；，②正确；的可能取值为，计算概率再计算数学期望得到③正确，得到答案. 【详解】对选项①：，，故，①正确； 对选项②：，② 正确； 对选项③：的可能取值为， ；；； ；， ， ，③正确. 故答案为：① ② ③ 5．（2024·山东临沂·二模）随机变量的分布列如下表： 1 2 3 其中，，成等差数列，若，则 ． 【答案】 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、等差中项的应用 【分析】根据等差中项性质可得，再根据期望分别得到，代入方差公式，即可得答案； 【详解】，，成等差数列，， ，则，， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，求解时注意概率和为1和等差中项性质的运用. 6．（2025·广东惠州·模拟预测）有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以、、、表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 . 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理和分步计数乘法原理，求得时，样本空间中样本点的数量，再根据古典概率模型计算概率，写出分布列，即可求数学期望. 【详解】当时，按顺时针方向把人标记为，，，，，，用表示和握手. 若1和2握手，共有两种方法：，和， 若1和6握手，共有两种方法：，和， 若1和4握手，共有1种方法：，，所以一共有5种方法。 当时， 若1和2握手，剩下6个人，情况同，共5种方法， 若1和8握手，剩下6个人，情况同，共5种方法， 若1和4握手，则2和3握手，5，6，7，8之间握手情况同，一共2种，从而种方法； 若1和6握手，由对称性，情况同1和4握手，共2种方法； 所以，一共有种方法. 其中，共2种方法使得（相邻两人按顺时针或逆时针方向依次握手）， 共4种方法使得（类似，，，等）， 共8种方法使得（类似，，，等）， 的分布列如下： 2 3 4 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，先分时的情况，再分析时所有适合的情况，从而得解. 7．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3， 5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲得3分的概率为 ；甲的总得分不小于2的概率为 ． 【答案】 / 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数、计算古典概型问题的概率、均值的性质 【分析】设甲在四轮的总得分为，分析可知，记，结合组合数求，进而根据分布列性质以及期望公式求即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种， 从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 8．（2024·广东肇庆·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是 ；的数学期望是 . 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、构造法求数列通项 【分析】利用全概率公式求出；利用期望的计算公式求出有关的递推式，然后构造等比数列求通项即可. 【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得； 记取0，1，2，3的概率分别为，，，， 推导的分布列： ，，， 则 ， 则， 故 给合，可知. 故答案为： ;. 9．（2024高三下·江西新余·专题练习）小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则 ， . 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值、方差的期望表示 【分析】先求出离散型随机变量的分布列，由离散型随机变量的数学期望与方差公式计算即可. 【详解】的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 的分布列为： 1 4 9 16 25 同理：，故：， 当时，的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 当时，的分布列为： 15 所以， 当时：的分布列为： 3 4 5 6 7 8 9 ， 当时：的分布列为： 6 7 8 9 10 11 12 ， 当时：的分布列为： 10 11 12 13 14 ， 所以：. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：方差可以用数学期望来计算，将离散型随机变量取值进行分类求数学期望，最后求加权平均即可. 10．（23-24高二下·湖北武汉·期末）从这10个数中随机抽一个数记为，再从中随机抽一个数记为，则 . 【答案】/ 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、求等差数列前n项和 【分析】由题意得到，根据全概率公式求得，结合数学期望的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，可得， 根据全概率公式知 ， ， ， ， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于全概率，通常把事件，看成导致事件发生的一组原因， 利用全概率公式求解是应注意几点： 1、何时用全概率公式：事件是由多种原因导致事件发生的； 2、如何使用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥的事件的和； 3、从本质上讲，全概率公式由加法公式和乘法公式的结合； 4、利用全概率公式求解的基本过程：①按照确定的标准，将一个事件分解为若干个互斥事件；②求解和；③代入全概率公式计算. 二、单选题 11．（24-25高三上·福建·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（    ） A．存在 B．对任意 C．存在 D．对任意 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小、离散型随机变量的方差与标准差、求二次函数的值域或最值 【分析】对于A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对于C：先求，利用作差法比较大小；对于D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，， 12．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据已知条件求得，然后由来求得正确答案. 【详解】首先，根据随机变量的概率分布性质，， 即，所以. 已知期望. 将代入期望公式可得： . 因为，所以. 然后求： . 同样将代入可得： . 已知，且，即. 用减去可得： . ，即. 又因为，两式相减得： ，即. 所以，则， 把变形为， 将和代入得：，则， 所以. 根据方差公式. 故选：D 13．（22-23高三上·浙江·开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解. 【详解】解：因为随机变量满足： 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 所以X，Y的分布列为： X 2 3 P Y 2 3 P 所以， ， 所以， 故选：C 三、解答题 14．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）一盒子中共有7个大小质地相同的球，其中4个1号球，3个2号球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是2号球，则将它放回盒子中；如果取出的球是1号球，则不放回盒子中，另补一个2号球放入袋中．重复进行上述操作n次后，盒子中所有球的号码之和记为． (1)为何值的概率最大？ (2)求随机变量的分布列； (3)求随机变量的数学期望关于的表达式． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）操作1次后，的可能取值为10，11，12，利用古典概率公式求得对应概率可得结论． （2）操作2次后，的可能取值为10，11，12，13，14，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得分布列； （3）法一：记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数为，，，进而可得，构造等比数列，进而可得.法二：记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数的数学期望为，则1号球有个，由已知可得，，进而可得，可求结论. 【详解】（1）操作1次后，的可能取值为10，11，12． ，，， 所以时的概率最大； （2）操作2次后，的可能取值为10，11，12，13，14， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 10 11 12 13 14 P （3）记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数为， 设，， 则，， 则， ， ， 则． 所以， 又由（1）可得，所以． 因为， 所以． 法二：记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数的数学期望为，则1号球有个，则， 整理得：，所以， 又由（1）可得， 所以． 因为， 所以． 【点睛】关键点点睛：求得是解题的关键，对学生的计算能力和综合应用能力要求较高. 15．（24-25高三上·辽宁·期末）为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. (1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； (2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 【答案】(1)分布列见解析，6，4 (2)①分布列见解析；② 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出的期望. （2）①求出选手乙得分的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列；②求出总得分为的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列，再求出总得分的期望. 【详解】（1）同学参赛得分所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 . （2）①设乙选手在三次测试中得分为，则所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 ②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为， 则所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32， 在甲选手已通过测试的条件下概率如下： ，， ，， ，， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 14 18 22 24 28 32 由于甲选手通过测试的概率为，所以总得分的期望为. 【点睛】关键点点睛：第3问求总得分的期望，先求出在甲选手通过测试的条件下，乙丙得分的期望是求解的关键. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$