专题01 第15章 概率（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题01 第15章 概率 题型1 古典概型概率 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”： ①A、B中相同的数字少于两个（如147和289） ②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174） 根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】先分析时，甲和乙“心有灵犀”的概率，然后根据互斥事件的概率加法公式可得. 【详解】由题知，当A、B中至少有两个数字相同，且在相同数位上时，甲和乙“心有灵犀”. 不妨记，当A、B中有三个数字相同时，有1种情况； 当A、B中只有两个数字相同时， 若百位和十位相同，有9种情况， 若百位和个位相同，有9种情况， 若十位和个位相同，有8种情况， 所以，当A、B中只有两个个数字相同时，有种情况. 综上，当时，有种情况使得甲和乙“心有灵犀”. 因为三位数共有个， 所以当时，甲和乙“心有灵犀”的概率为， 又因为甲写出每一个三位数且甲和乙“心有灵犀”的事件互斥， 例如：事件“且甲和乙“心有灵犀””和事件“且甲和乙“心有灵犀””互斥. 所以，甲和乙“心有灵犀”的概率为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 【答案】 【知识点】总体百分位数的估计、计算古典概型问题的概率 【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可． 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 3．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据已知条件联立两函数，解得，结合、的取值，根据古典概型求概率公式即可求解. 【详解】根据已知条件联立，即，整理有：， 因为两函数图象有交点，所以，即， 当时，无解；当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；综上，满足条件的、共对， 又根据已知条件、的所有取值情况为种， 所以两函数图象有交点的概率为. 故答案为： 4．（23-24高一下·江苏南通·期末）某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）先求出的值，再求平均数； （2）由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，再由古典概率求解. 【详解】（1）因为容量， 所以， 所以该班学生的平均日睡眠时间为 ； （2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人， 记中抽取的2人为，中抽取的3人为， 设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件， 则， ， 所以发生的概率， 所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为. 5．（23-24高一下·河南·开学考试）比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，某比亚迪新能源汽车销售部为了了解广大客户对新能源性能的需求，随机抽取200名用户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了频率分布直方图如图所示． (1)估计样本数据中用户年龄的中位数； (2)销售部从年龄在，内的样本中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率． 【答案】(1)中位数为45 (2)． 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计中位数 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合中位数的定义，可得答案； （2）根据分层抽样的概念，利用枚举法，结合古典概型的概率计算方法，可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄小于40岁的用户所占比例为， 年龄小于50岁的用户所占比例为， 所以中位数一定在内，由， 所以估计用户年龄的样本数据的中位数为45． （2）由分层抽样的方法可知，抽取的8人中，年龄在内的有3人，分别记为，，； 年龄在内的有5人，分别记为，，，，； 则从这8人中随机抽取2人的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种； 记这2人取自不同年龄区间为事件，其包含样本点有，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 故这2人取自不同年龄区间的概率为． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数； (2)若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率. 【答案】(1)，中位数约为，平均数约为75； (2). 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、补全频率分布直方图、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于 求出a的值，再估计中位数和平均数. （2）求出抽取的6人中在的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 成绩在的频率依次为， 显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得， 本次竞赛成绩的平均数为， 所以，中位数约为，平均数约为75. （2）由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取人，记为1，2，3，4，在中随机抽取人，记为a，b， 从6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点， 设事件“至少有1人的成绩在内”，则，有9个样本点， 因此， 所以至少有1人的成绩在内的概率. 题型2 判断互斥与对立事件 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 2．（多选）（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 【答案】ABD 【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、计算古典概型问题的概率 【分析】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【详解】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件也是对立事件 C． D． 【答案】BD 【知识点】确定所给事件的包含关系、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”， 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错； 事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B对； 由题意可知，，所以，C错； 事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 故和是互斥事件，所以，D对. 故选：BD. 4．（多选）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（   ） A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件 C． D．与互为对立事件 【答案】BD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】由互斥事件和对立事件的性质集合题意逐项分析即可； 【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误； 对于B，与不可能同时发生，故B正确； 对于C，为，的交事件，故C错误； 对于D，对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确. 故选：BD. 5．（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．若事件与事件是互斥事件，则 B．若事件与事件是对立事件，则 C．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 【答案】ABD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念一一判断即可. 【详解】对A，事件与事件互斥，则不可能同时发生，所以，故A正确； 对B，事件与事件是对立事件，则事件即为事件，所以，故B正确； 对C，“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生， 即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故C错误； 对D，事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，所以为对立事件，故D正确； 故选：ABD 题型3 概率加法公式 1．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 2．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、确定所给事件的对立关系 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 3．（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 【答案】AB 【知识点】事件的运算及其含义、利用对立事件的概率公式求概率、概率的基本性质 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 4．（多选）（2025·云南昆明·一模）设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】计算条件概率、概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据和事件的概率公式判断D. 【详解】因为，，， 所以，故A正确； ，故B正确； 因为， 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 5．（多选）（24-25高二上·湖南怀化·期末）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、概率的基本性质、独立事件的判断 【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确； 对于B：因为，，， 所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选:AB 6．（多选）（24-25高二上·湖北·期末）已知事件与事件相互独立，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、概率的基本性质 【分析】根据相互独立事件，对立事件和概率加法公式逐一计算判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为事件与相互独立，所以，故B正确； 对于C，因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 题型4 互斥对立与独立事件的综合辨析 1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【知识点】独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 2．（2024·广东·模拟预测）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C． D． 【答案】C 【知识点】相互独立事件与互斥事件、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得. 【详解】对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故B错误； 对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种， 其中，事件发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，所以， 因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以，， 所以，故C正确； 对于D，事件表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误. 故选：C． 3．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据对立事件的概念判断C；根据古典概型的概率公式判断BD. 【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有12个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 对于A，， 则事件，所以事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，， 则，且，所以事件与事件对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误， 故选：C. 4．（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 【答案】AD 【知识点】独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解. 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确. 故选：AD 5．（多选）（23-24高二上·安徽·开学考试）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则（    ） A．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件 B．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立 C．若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率 D．若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是 【答案】AD 【知识点】有放回与无放回问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、相互独立事件与互斥事件 【分析】对于A，根据互斥事件概念判断；对于B，互斥事件不可能是相互独立事件；对于C，有放回地抽取每次抽到红球的概率均相等；对于D，使用对立事件计算概率. 【详解】对于A，若不放回地抽取两次，则取到的球不可能是2个红球和2个白球，所以“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件，故A正确； 对于B，若不放回地抽取两次，记事件A：“取到2个红球”，记事件B：“取到2个白球”，则A与B是互斥事件，所以，而，所以，所以A与B不是相互独立事件，故B错误； 对于C，若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率为，第2次取到红球的概率为，所以第1次取到红球的概率等于第2次取到红球的概率，故C错误； 对于D，若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是，故D正确. 故选：AD. 6．（多选）（浙江省舟山市2024-2025学年高二上学期期末数学试题）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 【答案】ACD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件的概率性质即可求解AB，根据独立事件的性质以及公式即可求解CD. 【详解】对于A，若为互斥事件，则,A正确， 对于B，若为互斥事件， 则,故B错误， 对于C, ,故,C正确， 对于D，相互独立，则也相互独立，故，D正确， 故选：ACD 7．（多选）（24-25高一上·江西·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D．与是对立事件 【答案】BC 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、确定所给事件的对立关系、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件判断A，应用概率的乘法公式计算判断B，应用互斥事件结合概率性质计算判断C，根据对立事件定义判断D. 【详解】事件与事件能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误； 因为，，，所以，故与互不影响，故B正确； 事件，事件， 不可能同时发生，故事件与互斥，故，故C正确； 表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”， ，， 事件与事件不是对立事件，故D错误． 故选:BC． 题型5 独立事件的乘法公式 1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）甲、乙两人组队参加猜歌活动，每轮活动由甲、乙各猜一首，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则该队在两轮活动中共猜对3首的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】记，分别表示甲两轮猜对首，首歌曲的事件，，分别表示乙两轮猜对首，首歌曲的事件，求出事件，，，发生的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率即可. 【详解】设、分别表示甲两轮猜对首，首歌曲的事件， 、分别表示乙两轮猜对首，首歌曲的事件， 根据独立事件的性质可得，， ，， 设两轮活动该队猜对首歌曲，则， 且与互斥，与、与分别相互独立， 所以， 因此，该队在两轮活动中猜对首歌曲的概率是，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件、独立事件的实际应用 【分析】游戏结束时，有可能是甲到达第3格，也有可能是乙到达第3格，根据每一步的情况，结合独立事件和互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为， 则， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 故选：D 3．（23-24高一下·江苏淮安·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的乘法公式、确定所给事件的对立关系 【分析】列出基本事件，由互斥事件、对立事件与独立事件的概念逐项判断即可． 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2种结果， 对于A选项，事件A与事件B可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，错误； 对于B选项，，，，则A与D相互独立，正确； 对于C选项，，，则A与C不独立，错误； 对于D选项，C和D互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，错误． 故选:B. 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（    ） A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，根据相互独立事件的判断公式判断CD. 【详解】对于A，A与B有可能同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，除了B，C以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误； 第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3，包含的样本点为，故， 两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4，包含的样本点为， 故， 同时发生的事件包含样本点为，故， 所以，即不相互独立，故C错误； 两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7，包含的样本点为，故， 同时发生的事件包含的样本点为，故， 所以，即A与C相互独立，故D正确. 故选：D 5．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）甲、乙两名儿童玩剪刀、石头、布游戏，每次从开始到确定胜负为1次游戏，且甲或乙连续胜2次时结束游戏，若每次游戏甲胜的概率为，且各次游戏之间相互独立，则玩5次游戏后结束的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】设“玩5次游戏后甲获胜”为事件，“玩5次游戏后乙获胜”为事件，“玩5次游戏后结束”为事件，根据求解即可. 【详解】设“玩5次游戏后甲获胜”为事件，“玩5次游戏后乙获胜"为事件， “玩5次游戏后结束”为事件， 依题意得：事件即第2，4，5次游戏甲获胜，第1，3次游戏乙获胜， 事件即第2，4，5次游戏乙获胜，第1，3次游戏甲获胜， 所以， ， 因为事件与互斥， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. (1)求的值； (2)求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 【答案】(1) (2). 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可. （2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 解得. （2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为. 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为， 相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且彼此互斥. 易得. ， 所以 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 7．（23-24高一下·江苏无锡·期末）省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. (1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率. (2)甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 【答案】(1)0.48 (2)详解见解析 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】（1）直接由相互独立事件的概率公式求解； （2）分别求出甲乙两同学获奖的概率，比较大小得结论． 【详解】（1）因为甲同学回答出每个问题的概率均为0.4， 所以甲同学在第一轮得分为20分的概率为． （2）乙同学获得奖品的概率更大． 甲获奖总得分达到80分分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 甲第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 甲同学获奖的概率为． 设乙同学能答出生物问题中的3道题分别为，，，不能答出的为，， 则乙同学从5个生物问题中任选两题作答，所有情况为： ，，，，，，，，，， 其中获20分的概率为，获50分的概率为． 乙获奖总得分达到80分分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 乙第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 乙同学获奖的概率为：， ， 乙同学获得奖品的概率更大． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 第15章 概率 题型1 古典概型概率 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”： ①A、B中相同的数字少于两个（如147和289） ②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174） 根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为 ． 2．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 3．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 . 4．（23-24高一下·江苏南通·期末）某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 5．（23-24高一下·河南·开学考试）比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，某比亚迪新能源汽车销售部为了了解广大客户对新能源性能的需求，随机抽取200名用户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了频率分布直方图如图所示． (1)估计样本数据中用户年龄的中位数； (2)销售部从年龄在，内的样本中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率． 6．（2024·江苏徐州·模拟预测）某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数； (2)若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在内的概率. 题型2 判断互斥与对立事件 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 2．（多选）（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 3．（多选）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件也是对立事件 C． D． 4．（多选）（24-25高二上·河南·阶段练习）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（   ） A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件 C． D．与互为对立事件 5．（多选）（24-25高二上·吉林·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．若事件与事件是互斥事件，则 B．若事件与事件是对立事件，则 C．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 题型3 概率加法公式 1．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 3．（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 4．（多选）（2025·云南昆明·一模）设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·湖南怀化·期末）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（   ） A． B．事件A与事件B为独立事件 C． D．事件B与事件C为互斥事件 6．（多选）（24-25高二上·湖北·期末）已知事件与事件相互独立，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 互斥对立与独立事件的综合辨析 1．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 2．（2024·广东·模拟预测）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C． D． 3．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 4．（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 5．（多选）（23-24高二上·安徽·开学考试）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则（    ） A．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件 B．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立 C．若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率 D．若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是 6．（多选）（浙江省舟山市2024-2025学年高二上学期期末数学试题）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 7．（多选）（24-25高一上·江西·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D．与是对立事件 题型5 独立事件的乘法公式 1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）甲、乙两人组队参加猜歌活动，每轮活动由甲、乙各猜一首，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则该队在两轮活动中共猜对3首的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏淮安·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（    ） A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立 5．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）甲、乙两名儿童玩剪刀、石头、布游戏，每次从开始到确定胜负为1次游戏，且甲或乙连续胜2次时结束游戏，若每次游戏甲胜的概率为，且各次游戏之间相互独立，则玩5次游戏后结束的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. (1)求的值； (2)求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 7．（23-24高一下·江苏无锡·期末）省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. (1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率. (2)甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$