第09讲 8.5.2 直线与平面平行（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第09讲 8.5.2 直线与平面平行 课程标准 学习目标 ①掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题。 ②掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。 1.线面平行的判定定理中，包含要素:两线一面.两线一面的关系是:一线在面外一线在面内.结论是:线面平行. 线面平行的性质定理中，包含要素:两线两面.两线两面的关系是:一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线，结论是:两线平行。 2.熟记和理解直线和平面平行的判定定理和性质定理，就能灵活运用实现“线线”“线面”平行的转化 知识点01：直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即 线线平行 线面平行 【即学即练1】（24-25高二上·上海静安·阶段练习）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是 . (2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 简记：线线平行 线面平行 注意：①定理中三个条件缺一不可 ②简记：线面平行，则线线平行 ③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据 ④定理的关键：寻找平面与平面的交线 【即学即练2】（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 题型01 判断，证明线面平行 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【典例3】（24-25高二上·安徽淮南）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证: 直线平面; (2)求异面直线、所成角的大小. 【变式1】（24-25高三上·广西·阶段练习）在四棱锥中，“”是“平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在正方体中，E，F是对角线，的中点，则正方体六个面中与直线EF平行的面有 个． 【变式3】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 题型02 补全线面平行的条件 【典例1】（23-24高一下·北京西城）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件 时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可) 【典例2】（23-24高二上·四川成都）如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论. 题型03线面平行的性质 【典例1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.求证：.    【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，平面ABCD,，，．记平面与平面的交线为，证明：； 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，侧面为矩形. 记平面与平面交线为，证明：； 题型04 由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置 【典例1】（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且平面，则 .       【典例3】（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 【变式2】（24-25高一·全国·单元测试）A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时， ．    【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2．若点F在棱上，且平面，求； 题型05由线面平行求线段长度 【典例1】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【典例2】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，，，与，都平行的截面四边形的周长为，试确定的取值范围. 【变式1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，直线平面，点A在另一侧，点B，C，，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的长． 【变式3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）图1：平行四边形中，，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点M为侧棱的中点. （1）求证： （2）N为的角平分线上一点，若平面，求线段的长. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原）已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是（    ） A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（    ） A．4．5 B．5 C．5.4 D．5.5 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定 4．（24-25高一·全国·课后作业）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面与平面相交于直线m，直线直线m，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面β C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 6．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 7．（23-24高一下·江苏无锡）下列命题中正确的个数为（    ） ①如果直线，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么；③如果直线和平面满足，那么. A．0 B．1 C．2 D．3 8．（23-24高一下·四川宜宾·期末）已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（    ） A．   B．   C．   D．   10．（24-25高一·全国·课后作业）如图，下列正三棱柱中，若、、分别为其所在棱的中点，则能得出平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 11．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在由透明塑料盒制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜（不考虑水流出）.随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH的面积不改变；③棱始终与水面EFGH平行其中说法正确的是 （填序号） 12．（24-25高二·上海·随堂练习）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD， PC，PB的中点．在此几何体中，与直线EF平行的平面有 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形. (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．求证平面； B能力提升 15．（23-24高一下·山东青岛）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 16．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 8.5.2 直线与平面平行 课程标准 学习目标 ①掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题。 ②掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。 1.线面平行的判定定理中，包含要素:两线一面.两线一面的关系是:一线在面外一线在面内.结论是:线面平行. 线面平行的性质定理中，包含要素:两线两面.两线两面的关系是:一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线，结论是:两线平行。 2.熟记和理解直线和平面平行的判定定理和性质定理，就能灵活运用实现“线线”“线面”平行的转化 知识点01：直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即 线线平行 线面平行 【即学即练1】（24-25高二上·上海静安·阶段练习）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是 . 【答案】平行 【知识点】判断线面平行 【分析】由 ，可知四点共面，结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】由题意，则四点共面， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面. 故答案为：平行. (2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 简记：线线平行 线面平行 注意：①定理中三个条件缺一不可 ②简记：线面平行，则线线平行 ③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据 ④定理的关键：寻找平面与平面的交线 【即学即练2】（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，先根据线面平行的判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理即可证明. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为四边形是平行四边形， 所以O是AC的中点，又M是PC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 题型01 判断，证明线面平行 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断线面平行 【分析】根据线线平行证明线面平行. 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【答案】①③ 【知识点】证明线面平行、判断线面平行 【分析】利用线面平行的判定定理一一判定选项即可. 【详解】对于①，由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，取的中点G，连接， ∵E是的中点，， ∴， ∴四边形为梯形， ∴直线与直线相交， ∴与平面相交，故②错误； 对于③，连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故③正确． 故答案为：①③ 【典例3】（24-25高二上·安徽淮南）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证: 直线平面; (2)求异面直线、所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）设和交于点O，则O为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）由（1）知，，得到异面直线与所成的角就等于与所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）由题意得O为的中点， 连结，又因为P是的中点，故， 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2）由（1）知，， 所以异面直线与所成的角就等于与所成的角， 故即为所求；因为，为的中点，则， 则易知，因为为中点，则， 在直角中，可得， 又因为，所以. 【变式1】（24-25高三上·广西·阶段练习）在四棱锥中，“”是“平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】线面平行的性质、判断线面平行、充要条件的证明 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合充分、必要条件的定义进行判定. 【详解】    由，平面，平面，得平面. 由平面，平面，平面平面，得. 故“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 【变式2】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在正方体中，E，F是对角线，的中点，则正方体六个面中与直线EF平行的面有 个． 【答案】2 【知识点】证明线面平行、判断线面平行、棱柱的结构特征和分类 【分析】运用线面平行判定，结合正方体性质和三角形中位线性质可解. 【详解】连结，．因为F为的中点，所以F为的中点， 又E为的中点，所以． 又平面，平面 ，所以平面． 同理可证平面． 故正方体六个面中与直线平行的面有2个. 故答案为：2. 【变式3】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】棱台表面积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论； （2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积. 【详解】（1）连结，交于点，连结.    在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，    又为的中点， 又平面，平面，    平面. （2）由已知，梯形中，，，， 过作，交于点，    ，， 所以梯形的面积为 正四棱台的表面积为： . 题型02 补全线面平行的条件 【典例1】（23-24高一下·北京西城）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件 时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可) 【答案】P是CC1中点 【知识点】补全线面平行的条件 【分析】根据线面平行的性质，只需在侧面BCC1B1上找到一点，A1P平面BCD上的任一条线即可，可以取A1PCD，此时P是CC1中点. 【详解】取CC1中点P，连结A1P， ∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动， ∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1PCD， ∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P平面BCD 故答案为：P是CC1中点. 【典例2】（23-24高二上·四川成都）如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【知识点】求异面直线所成的角、补全线面平行的条件 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据正四棱柱的性质，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行求解即可. 【详解】（1）∵是正四棱柱， ∴，四边形是矩形，∴， ∴求异面直线与所成角的余弦值即是求与所成角的余弦值， 在中，，， ∴； （2）如图，当点为的三等分点（靠近点）时，使得平面， 作的中点，连接，，连接交于点，连接， 由棱柱的性质可知，∴四边形是平行四边形，∴， 又∵点，分别是，的中点，∴， 由平面公理4可得，又∵平面，平面， ∴平面，此时． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【答案】存在，为的中点，证明见解析 【知识点】补全线面平行的条件、证明线面平行 【分析】当为的中点时，取得中点，连接，，，先利用中位线及平行四边形的性质得出，再根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 【答案】存在，证明见解析. 【知识点】补全线面平行的条件 【分析】取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，根据条件，可证明四边形MDEO为平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证. 【详解】存在点M为线段AB的中点，使DE∥平面A1MC，证明如下： 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1， 设O为A1C与AC1的交点，由已知，O为AC1、A1C的中点． 连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以，， 所以. 所以四边形MDEO为平行四边形， 所以DE∥MO. 因为DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC， 所以DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使DE∥平面A1MC. 【点睛】本题考查线面平行的证明，解题的关键是选取合适的M点，做出平面，并利用线面平行的判定定理进行证明，解答时，应先判断是否存在，再证明，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论. 【答案】存在，证明见解析 【知识点】补全线面平行的条件 【分析】根据题意，先得到当是的中点时，直线平面；再连接，，，设为，的交点，连接，，，由线面平行的判定定理，即可证明结论成立. 【详解】存在.当是的中点时，直线平面.证明如下： 如图所示，连接，，，设为，的交点. 由已知得为的中点. 连接，，则，分别为，的中位线， 所以且，且， 因此且. 连接，则四边形为平行四边形，所以. 因为直线平面，平面， 所以直线平面. 即线段上存在一点（线段的中点），使直线平面. 【点睛】本题主要考查补全线面平行的条件，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型. 题型03线面平行的性质 【典例1】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.求证：.    【答案】证明见解析 【知识点】平行公理、线面平行的性质、证明线面平行 【分析】首先由线线平行证线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行. 【详解】取的中点，连接， 分别为的中点，，且， 为的中点，且为矩形，，且， ，且，四边形为平行四边形， ，又平面平面， 平面， 又平面，平面平面， .    【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质 【分析】根据∽，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】设与交于点，连接，如图所示，    因为为的中点，则， 由四边形是平行四边形，可得，则∽， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：D. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，平面ABCD,，，．记平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行. 【详解】 因为 平面，平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面，所以 . 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，侧面为矩形. 记平面与平面交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【知识点】线面平行的性质、证明线面平行 【分析】根据平面，进而根据线面平行的性质即可求解. 【详解】因为在三棱柱中，， 由于平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以 题型04 由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置 【典例1】（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间中的点（线）共面问题、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据平面的基本性质，确定点与直线所确定的平面，即直线所确定的平面，延长，交于点M，即得Q所在的平面. 【详解】如图，由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 故选：C. 【典例2】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且平面，则 .    【答案】3∶1/3 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】如图，连接交于点，连接交于点，由题意可得为的中点，作，即可求出答案． 【详解】如图，连接交于点，连接交于点， 由平面，可得， ，，为的中点， 作，， ，则 ， 故答案为：    【典例3】（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值 【答案】 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据题意，过点作交于点，连接，可证明四边形为平行四边形，得到，根据三角形相似可得，再根据相等关系得到，即可得到. 【详解】如图，过点作交于点，连接， ，，与确定一个平面， 平面，平面平面， ， 四边形为平行四边形，， 又，， ， . 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【详解】连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC， 则平面NAC即为平面α.因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝. 【变式2】（24-25高一·全国·单元测试）A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时， ．    【答案】4 【知识点】线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】先根据线面平行性质得出，再根据中位线从而求出，再由重心得到，计算求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面. 所以，M是的重心，N是的中线AF上的点， 所以E，F分别是BC，CD的中点，N是的重心, 所以， 又因为M，N分别是和的重心， 所以 且, 所以. 故答案为：4. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2．若点F在棱上，且平面，求； 【答案】 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】在上取点，使得，连接，，则可得，由已知线面平行可得，则四边形是平行四边形，从而可求得结果. 【详解】如图，在上取点，使得，连接，， 则． 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为，所以∽， 又因为， 所以． 题型05由线面平行求线段长度 【典例1】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【答案】 【知识点】由线面平行求线段长度、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可. 【详解】因为平面, 平面,平面平面， 所以, 又因为F为的中点，所以是的中点， . 【典例2】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【知识点】由线面平行求线段长度、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面平行的性质、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，，，与，都平行的截面四边形的周长为，试确定的取值范围. 【答案】 【知识点】由线面平行求线段长度 【解析】先由线面平行，得到，，；再由三角形相似，得到，，进而可表示出的周长，从而可求出其范围. 【详解】∵平面，平面，平面平面， ∴，同理，，，. ∴，，且四边形是平行四边形. ∴，， ∴四边形的周长 . 又，∴. 【点睛】本题主要考查线面平行的应用，熟记线面平行的性质定理即可，属于常考题型. 【变式1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.    【答案】 【知识点】判断线面平行、由线面平行求线段长度 【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，直线平面，点A在另一侧，点B，C，，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的长． 【答案】 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、由线面平行求线段长度 【分析】根据线面平行的性质定理可知，然后利用相似三角形知识可以得到，进而求出. 【详解】因为，所以点 与直线a可以确定一个平面，即平面． 因为，且平面，平面， 所以，即，所以． 于是． 【变式3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）图1：平行四边形中，，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点M为侧棱的中点. （1）求证： （2）N为的角平分线上一点，若平面，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【知识点】由线面平行求线段长度、证明异面直线垂直 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）通过线面平行的性质定理求得，且，由此求得的长. 【详解】（1）证明：折叠后： 因为，所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又M是的中点，所以， 又，所以平面， 又平面，所以. （2）取的中点E，连接， 因为所以在角的平分线上， 又点N为的角平分线上一点，所以共面， 又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理得，且， 由得，在中知， 所以，所以. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原）已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是（    ） A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D． 【答案】A 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意可知， 而，所以没有公共点， 与可能异面、平行、垂直， 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 2．（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（    ） A．4．5 B．5 C．5.4 D．5.5 【答案】B 【知识点】线面平行的性质 【分析】利用线面平行的性质得到，利用中位线的性质得到答案. 【详解】因为平面，平面，平面平面， 所以. 又M是的中点，所以是梯形的中位线， 故. 故选：B 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断线面平行 【分析】由线面平行的判定定理判断 【详解】因为，所以． 又平面平面，所以平面． 故选：A 4．（24-25高一·全国·课后作业）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据线面平行可得线线平行，从而可求. 【详解】∵，平面，平面， ∴，∴，即，∴. 故选：B. 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面与平面相交于直线m，直线直线m，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面β C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理，结合反例，可得答案. 【详解】当时，此时，由，，则； 当时，此时，由，，则； 当，且时，此时由和得；且由和得； 所以直线平面和直线平面至少有一个成立. 故选：D. 6．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【知识点】线面平行的性质 【分析】由三角形的中位线及线面平行的性质定理即可选出答案. 【详解】因为分别为的中点， 所以, 因为平面,平面平面,平面, 所以, 由平行的传递性可知. 故选：A. 7．（23-24高一下·江苏无锡）下列命题中正确的个数为（    ） ①如果直线，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么；③如果直线和平面满足，那么. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判断线面平行、线面平行的性质 【分析】根据题意，结合线面位置的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，如果直线，那么平行于经过的任何平面或在此平面内，所以①错误； 对于②中，如果直线和平面满足，在与平行、相交或异面，所以②错误； 对于③中，过直线作平面，交平面于直线，根据线面平行的性质，可得， 因为，可得，又因为，所以，所以③正确. 故选：B.    8．（23-24高一下·四川宜宾·期末）已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】重心、线面平行的性质 【分析】连接，交于点，连接，再利用线面平行的性质、三角形重心的性质以及三角形一边的平行线性质定理即可求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 又因为，分别为，的中点， 所以点为的重心， 所以， 在中，，根据三角形一边的平行线性质定理， 有. 故选：B. 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【知识点】判断线面平行 【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项． 【详解】对于A，连接,由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确．   对于B，设是的中点，是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，，，故六边形为正六边形，所以，，，，，六点共面，B错误．   对于C，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面，所以C错误．   对于D，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以， 由于平面，平面，所以平面，D正确．   故选：AD． 10．（24-25高一·全国·课后作业）如图，下列正三棱柱中，若、、分别为其所在棱的中点，则能得出平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【知识点】判断线面平行、证明线面平行 【分析】根据直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质对各选项中平面是否成立进行判断. 【详解】在A、B选项中，、分别为、的中点，则， 在正三棱柱中，，， 平面，平面，则平面，故A、B选项正确； 在C选项中，如下图所示： 取的中点，连接、，、分别为、的中点，则，同理可证， 在正三棱柱中，，，同理可证， 则四边形为平行四边形，则与平面相交，C选项错误； 在D选项中，在正三棱柱中，且， 且、分别为、的中点，且，则四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在由透明塑料盒制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜（不考虑水流出）.随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH的面积不改变；③棱始终与水面EFGH平行其中说法正确的是 （填序号） 【答案】①③ 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断线面平行 【分析】由棱柱的结构特征即可判断①；水面EFGH为平行四边形，因为EF的长度是变化的，所以水面EFGH的面积是改变的即可判断②，由线面平行的判定定理即可判断③. 【详解】根据题意，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有， 且平面平面DHGC，故水的形状成棱柱形，故①正确； 水面EFGH的面积是改变的，因为EF的长度是变化的，而EH的长度是不变的， 所以水面EFGH的面积是改变的，故②错误； 因为水面EFGH，水面EFGH， 所以水面EFGH，故③正确. 故答案为：①③ 12．（24-25高二·上海·随堂练习）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD， PC，PB的中点．在此几何体中，与直线EF平行的平面有 ． 【答案】平面PBC，平面ABCD． 【知识点】判断线面平行 【分析】作出立体图形，利用线面平行的判定定理即可判断 【详解】 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， ，，所以 平面，平面， 所以平面， 故答案为：平面，平面 四、解答题 13．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形. (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】（1）由题意可得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）取中点，连接，利用平行四边形的性质和中位线定理可得或其补角为直线与所成的角，求出的各边长结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：在正六边形中，， 所以在五面体中，， 平面，平面， 平面. （2）取中点，连接， 由题意得，且， 四边形为平行四边形， ， 又分别为的中点， ， ， 或其补角为直线与所成的角， 在中，，，， ， ， 同理， 又， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．求证平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】根据线线平行，即可由线面平行的判定求证. 【详解】取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； B能力提升 15．（23-24高一下·山东青岛）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 16．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）取中点，连接，只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）首先证明平面，然后结合线面平行的性质、平行线的传递性即可得证. 【详解】（1）如图，取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）为的中点， 因为且，故为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 又平面，平面平面，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以点为的中点. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$