第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力； 2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解； 3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用； 知识点01：棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点02：棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 题型01 棱柱的表面积 【典例1】1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要 铁板（精确到，）． 【答案】4.7 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】求六棱柱的表面积即可. 【详解】因为正六棱柱的底面棱长为0.4m，所以底面积为：， 棱柱的侧面积为：. 所以正六棱柱的表面积为：. 故答案为：4.7 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【答案】36 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正棱柱的侧面积公式求解. 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得， 故答案为：36 【变式2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【答案】/ 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】先计算正四棱锥的斜高，即可求得几何体的表面积. 【详解】题意得正四棱锥的斜高， 故几何体表面积为. 故答案为：. 题型02 棱柱的体积 【典例1】（2025·浙江·模拟预测）已知长方体中，，则四面体的体积是（    ） A． B．16 C． D．32 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】可知四面体即为长方体中去掉4个全等的三棱锥，结合棱柱、棱锥的体积公式运算求解. 【详解】如图所示： 可知四面体即为长方体中去掉4个全等的三棱锥， 所以四面体的体积为. 故选：A. 【典例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】借助棱柱的底面是边长为2的正三角形可得圆柱底面半径，结合圆柱体积可得圆柱的高，再利棱柱体积公式计算即可得解. 【详解】由棱柱的底面是边长为2的正三角形，则圆柱底面半径， 设圆柱的高为，则有，即， 故棱柱的体积为. 【变式1】（2024高二上·新疆）在长方体中，长，宽，高，则它的体积是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据长方体的几何结构特征，结合柱体的体积公式，即可求解. 【详解】在长方体中，因为， 由柱体的体积公式，可得长方体的体积为. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【答案】/ 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由题意，根据图乙将棱柱的体积用的面积表示出来，设出甲图中水面高度，利用放倒前后水的体积相等即可求得. 【详解】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 题型03 棱锥的表面积 【典例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算、棱锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧面积公式计算即可. 【详解】   如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意球O的半径， 所以，，则， 故中，边AB的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为. 故选：C 【典例2】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】相邻两个氟原子间的距离为2a， 故正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形， 故正八面体的表面积为：. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 题型04棱锥的体积 【典例1】（24-25高三上·福建南平·期中）已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【知识点】棱锥的结构特征和分类、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】作出组合体的截面，确定圆柱的高，利用圆柱的体积求得圆柱底面的半径，进而得到底面正方形的边长. 【详解】    如图四棱锥的底面四边形为正方形，高， 作截面（如下图）点，点分别为，的中点，点为是正方形的中心也是圆柱底面圆的圆心. 依题意可知， 所以 所以， 所以， 所以. 故选：A.    【典例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【分析】如图，将直三棱柱展开成矩形，连结交于，此时最小，则，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】将直三棱柱展开成矩形， 如下图，连接，交于，此时最小， ∵，则，而， 由且都在面，则面， 又，则面，即面， 点为侧棱上的动点，当最小时，即，得， 又为直角三角形，此时三棱锥的体积为： . 故选：C 【变式1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解. 【详解】    如图所示，正四棱柱为，正四棱锥， 设底边边长，高， 则， 又正四棱柱的侧面积， 正四棱锥的侧面积， 则，解得， 所以正四棱锥体积， 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用棱锥、棱柱的体积公式求、，即可得结果. 【详解】令，棱柱的高为， 由题意，， 所以. 故答案为： 题型05棱台的表面积 【典例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【答案】C 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 【典例2】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【答案】B 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算 【分析】利用正棱台的结构特征，求出其斜高，再求出表面积. 【详解】在正四棱台的侧面中，过点作，垂足为E， 则， 侧面的面积， 所以正四棱台的表面积． 故选：B 【变式1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（    ） A．72 B．82 C．92 D．112 【答案】C 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算 【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解. 【详解】因为正棱台的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为， 棱台的侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高， 所以一个侧面积， 棱台的上、下底面面积和为， 所以该棱台的表面积为. 故选:C． 【变式2】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的侧面积为 【答案】18 【知识点】棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱台内切球的性质及其一个轴截面示意图，求出上下底边长、斜高，进而求侧面积. 【详解】令上底面边长为，则下底面边长为，棱台高为2，其中一个轴截面示意图如下， 由图易知：侧面斜高为，则，可得， 所以，上下底面边长分别为，斜高为， 故该正四棱台的侧面积为. 故答案为： 题型06 棱台的体积 【典例1】（24-25高三上·江苏南通·期中）位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（    ）． A．31500 B．30000 C．10500 D．10000 【答案】C 【知识点】棱台中截面的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先根据侧面积求出斜高，然后求出侧棱长和棱台的高，最后由棱台的体积公式求解即可. 【详解】每个侧面面积，侧面的高，则 侧棱长，正四棱台的高， 故选：C． 【典例2】（23-24高二上·四川内江·阶段练习）若正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上、下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为 . 【答案】 【知识点】正棱台及其有关计算、台体体积的有关计算 【分析】根据棱台的体积公式可求得高，再设，分别是上，下底面的中心，连接，，，根据几何图形中的关系求解即可. 【详解】因为棱台的体积， 所以，解得， 又因为正三棱台上､下底面的面积分别是和，所以上下底面边长分别是2和4， 如图所示，，分别是上，下底面的中心，连接，，， 在平面内作于， ，， ， 在中，. 所以三棱台的侧棱长为. 故答案为：. 【变式1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中且. 由，可得， 又且，可得是长方形，则， 所以，， 则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积. 于是正四棱台的体积. 故该水库的最大蓄水量为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【详解】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 题型07求简单组合体的表面积和体积 【典例1】（23-24高一下·江西九江·期末）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【答案】40 【知识点】求组合体的体积 【分析】利用割补法求解几何体体积； 【详解】依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取 四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为 . 故答案为：40. 【典例2】（24-25高三上·北京·开学考试）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的体积为 . 【答案】/ 【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积、锥体体积的有关计算 【分析】过作平面，垂足为，取的中点，连结，过作，垂足为，连结，延长交于点，连接.把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱.再分别求出四棱锥和三棱柱的体积得解. 【详解】过作平面，垂足为，取的中点，连结，过作，垂足为， 连结，延长交于点，连接. 因为和都是边长为的等边三角形， 所以， 因为平面，平面, 所以, ， 如图，把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱. 因为，,平面, 所以平面 因为平面 所以, 所以四边形是矩形. . 故答案为：. 【变式1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .    【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为的圆柱和高为的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果. 【详解】作出几何体的轴截面如下图所示： 则所求几何体是由一个底面直径为，高为的圆柱与一个底面直径为，高为的圆柱的一半构成， 则所求几何体体积. 故答案为：.    【变式2】（23-24高一下·山东济南·期中）如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则 . 【答案】或 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】若为重合的底面连接、交于点，连接，设正四棱锥底面边长为，根据锥体的体积公式求出，再由勾股定理计算可得，若为重合的底面，类似计算可得. 【详解】依题意为正四棱锥的侧棱或底面上的棱， 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 所以， 所以. 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 即， 综上可得：或. 故答案为：或 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为.    故选：. 2．（23-24高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】先将数据统一单位，代入棱台体积计算公式，计算结果后再换算成即得. 【详解】因，而，设棱台的深度为， 由棱台的体积公式可得，，解得. 故选：B. 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 【答案】C 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，，，可得正四棱台的斜高为， 所以棱台的侧面积为． 故选：C． 4．（2024·云南大理·模拟预测）如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽，塔顶宽约，侧面面积为，据此计算该揽月阁模型体积为（    ） A．1400 B．2800 C． D．8400 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】设斜高，利用侧面积求出斜高，求出棱台的高，利用台体体积公式得到答案. 【详解】如图，正四棱台底面边长分别为和，侧面积为， 设为斜高，可得，解得，即， ∴棱台的高， ∴， 棱台的体积为. 故选：B. 5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0．5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱锥表面积的有关计算、求组合体的体积、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为， 长方体的体积为，则正四棱锥体积为， 所以正四棱锥的高为，所以正四棱锥斜面上的高， 所以正四棱锥的一个侧面积为， 所以组合体的表面积为，故B正确. 故选：B. 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图，边长为1的正方体中，为边任意一点，将正方体挖掉三棱锥后，余下部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用等体积法结合三棱锥与正方体的体积公式计算即可. 【详解】易知平面，则P到平面的距离始终为1， 由题意可知, 又易知正方体的体积为1，所以余下部分的体积为. 故选：D 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体． 中，点P在截面上（含边界），则线段AP的最小值等于 （     ） A．23 B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】利用等体积法求得正确答案. 【详解】设到平面的距离为， ， ， 解得，所以线段的最小值等于. 故选：B 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、正棱锥及其有关计算 【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积. 【详解】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以正四棱锥的体积为. 故选：. 二、多选题 9．（23-24高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 【答案】AC 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】运用台体体积公式,结合正三角形面积计算即可. 【详解】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 10．（23-24高一下·山西忻州）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则（    ）    A．水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积为定值 C．多面体的表面积不变 D．若，则是定值 【答案】AD 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱柱的结构特征和分类、棱柱及其有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据棱柱的几何结构特征，以及棱柱截面性质和柱体的表面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由于四边形与四边形全等，各条侧棱相互平行， 由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确； 对于B中，因为水面四边形为矩形，所以水面四边形的面积等于，因为水面四边形的边长不变，在变化，所以水面四边形的面积在变化，所以B错误； 对于D中，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度， 设，则，所以为定值， 所以当时，是定值，所以D正确； 对于C中，因为棱柱的体积不变，高为不变，故其底面积不变， 由D知，当时，是定值，但不是定值， 故底面周长不是定值，故侧面积不是定值，故表面积不是定值，所以C错误. 故选：AD. 三、填空题 11．（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 【答案】16 【知识点】基本不等式求积的最大值、多面体与球体内切外接问题、柱体体积的有关计算 【分析】将直三棱柱外补全成长方体，从而可得直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，从而可得，再根据重要不等式，即可求解． 【详解】如图，将直三棱柱外补全成长方体， 则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线， 设，，则，， 直三棱柱的体积为， 当且仅当时，等号成立， 该棱柱体积的最大值为16． 故答案为：16． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成，从而可求出其表面积. 【详解】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成， 则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和． 又四棱锥的侧棱长为， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 【答案】(1) (2)元 【知识点】求组合多面体的表面积、求组合体的体积、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积； （2）根据石凳表面的构成，求出其表面积，进而求粉刷一个石凳的价格. 【详解】（1）正方体体积为，石凳体积为正方体体积减去8个正三棱锥体积， 其一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，则一个小正三棱锥体积为， 故石凳体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳表面积为， 则粉刷一个石登需要元. 14．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在三棱柱的侧棱和上分别取P、Q两点，使PQ平分侧面的面积．求平面PQC把棱柱所分成的两部分的体积之比． 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】利用锥体体积公式及同底等高的锥体与柱体的体积比即可求解. 【详解】由题意，平面PQC把棱柱分为棱锥与几何体， 连接，因为PQ平分侧面的面积， 所以 ， 所以，. B能力提升 15．（23-24高二·上海·课堂例题）将一块边长为的正方形铁片裁下如图所示的阴影部分，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无盖的正四棱锥形容器罩． (1)试把容器罩的表面积表示为的函数； (2)试把容器罩的体积表示为的函数． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）表示出、，再由锥体的侧面积公式计算可得； （2）依题意可得平面，利用勾股定理求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）由题意，，，， 所以容器罩的表面积，． （2）由题意，平面，平面，所以， 又，，，， 在中，， 所以容器罩的体积，． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 【答案】(1)； (2)时，V最大，最大值为立方米. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【详解】（1）连接AC，BD，交点为O，则PO即为正四棱锥的高， 取CD的中点E，连接OE，PE，则， 由勾股定理得：， 由题意得：， 整理得：，即. （2）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即棱锥的高为1米，底面边长为米时，V的最大值为立方米. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力； 2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解； 3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用； 知识点01：棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点02：棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 题型01 棱柱的表面积 【典例1】1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要 铁板（精确到，）． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【变式2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 题型02 棱柱的体积 【典例1】（2025·浙江·模拟预测）已知长方体中，，则四面体的体积是（    ） A． B．16 C． D．32 【典例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 【变式1】（2024高二上·新疆）在长方体中，长，宽，高，则它的体积是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 【变式2】（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 题型03 棱锥的表面积 【典例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 【典例2】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【变式1】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 题型04棱锥的体积 【典例1】（24-25高三上·福建南平·期中）已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（    ） A． B．6 C． D．9 【典例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 题型05棱台的表面积 【典例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【典例2】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【变式1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（    ） A．72 B．82 C．92 D．112 【变式2】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的侧面积为 题型06 棱台的体积 【典例1】（24-25高三上·江苏南通·期中）位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（    ）． A．31500 B．30000 C．10500 D．10000 【典例2】（23-24高二上·四川内江·阶段练习）若正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上、下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为 . 【变式1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型07求简单组合体的表面积和体积 【典例1】（23-24高一下·江西九江·期末）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【典例2】（24-25高三上·北京·开学考试）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的体积为 . 【变式1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .    【变式2】（23-24高一下·山东济南·期中）如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则 . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 4．（2024·云南大理·模拟预测）如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽，塔顶宽约，侧面面积为，据此计算该揽月阁模型体积为（    ） A．1400 B．2800 C． D．8400 5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0．5长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图，边长为1的正方体中，为边任意一点，将正方体挖掉三棱锥后，余下部分的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为2的正方体． 中，点P在截面上（含边界），则线段AP的最小值等于 （     ） A．23 B． C． D． 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 10．（23-24高一下·山西忻州）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则（    ）    A．水的部分始终呈棱柱状 B．水面四边形EFGH的面积为定值 C．多面体的表面积不变 D．若，则是定值 三、填空题 11．（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 14．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在三棱柱的侧棱和上分别取P、Q两点，使PQ平分侧面的面积．求平面PQC把棱柱所分成的两部分的体积之比． B能力提升 15．（23-24高二·上海·课堂例题）将一块边长为的正方形铁片裁下如图所示的阴影部分，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无盖的正四棱锥形容器罩． (1)试把容器罩的表面积表示为的函数； (2)试把容器罩的体积表示为的函数． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$