6.4.2 向量在物理中的应用举例（导学案)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.4.2 向量在物理中的应用举例 导学案 1、 学习目标 1.通过解决平面几何问题的过程,使学生理解。平面几何与向量之间存在着密切的联系,提升学生的逻辑推理、直观想象素养. 2.通过运用向量的有关知识(向量加、减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题的过程,提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 3.掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤. 2、 重点难点 学习重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题． 学习难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题． 3、 导入新知 下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用． 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗? 【变式】在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．当角越大时，用力越省 D．当时， 探究 （1）当为何值时，最小?最小值是多少? （2）能等于吗?为什么? 4、 应用新知 例4 如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)? 【变式】一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5、 能力提升 题型一、平面向量在物理中的应用--速度、位移的合成 【练习1】一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为(　　) A．2  km B．6 km C．2 km D．8 km 题型二、平面向量在物理中的应用--力的合成、已知数量积求模 【练习2】体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，）（    ）    A． B． C． D． 　 题型三、平面向量在物理中的应用--力的合成 【练习3】如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6、 课堂总结 1.向量在物理中的应用 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． 2.利用向量方法解决物理问题的基本步骤 2.利用向量方法解决物理问题的步骤. ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 练习（第41页） 1．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，求对该物体所做的功． 2．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小． 3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求： （1） 的大小； ． （2）与夹角的大小． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.2 向量在物理中的应用举例 导学案 1、 学习目标 1.通过解决平面几何问题的过程,使学生理解。平面几何与向量之间存在着密切的联系,提升学生的逻辑推理、直观想象素养. 2.通过运用向量的有关知识(向量加、减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题的过程,提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 3.掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤. 2、 重点难点 学习重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题． 学习难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题． 3、 导入新知 下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用． 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗? 分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释． 解：先来看共提旅行包的情况．如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设．另设，的夹角为，旅行包所受的重力为． 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道 这里，为定值．分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大； 反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小．这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力． 同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力． 【变式】在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（    ） A． B．当时， C．当角越大时，用力越省 D．当时， 【答案】B 【知识点】力的合成、已知数量积求模 【分析】根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得：， 则， 当时，，故A错误； 当时，，及，故B正确； ，因为在上递减， 又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误； 当时，即，解得， 又因，所以，故D错误. 故选：B. 探究 （1）当为何值时，最小?最小值是多少? （2）能等于吗?为什么? 事实上，要使最小，只需最大，此时，可得．于是的最小值为．若要使，只需，此时，即 4、 应用新知 例4 如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)? 分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的．考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸． 解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短． 如图6.4-7，设，则 此时，船的航行时间 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min 思考:“航程最短”是什么意思?怎样才能使航程最短? 【变式】一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，    由图可知，，所以，故， 所以又因为，所以， 所以（），故. 故选：B 5、 能力提升 题型一、平面向量在物理中的应用--速度、位移的合成 【练习1】一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为(　　) A．2  km B．6 km C．2 km D．8 km 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】可先求船速与水速的合速度，再计算实际航程． 【详解】设船的速度为，水的速度为，则船的实际航行速度为，于是有 = =12 = 船实际航程为=6．答案B． 【点睛】本题考查向量在实际生活中的应用，此问题含有明显的物理意义，理解其物理含义并用向量进行表示是解题的关键．通常学科含义与数学的结合是解决跨学科问题关键，重点在于考查学生的转化能力与创新能力． 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 　 题型二、平面向量在物理中的应用--力的合成、已知数量积求模 【练习2】体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，）（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】力的合成、已知数量积求模 【分析】设两只胳膊的拉力分别为，结合，即可求解. 【详解】设两只胳膊的拉力分别为，且， 则， 所以学生体重. 故选：A. 　 题型三、平面向量在物理中的应用--力的合成 【练习3】如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】力的合成 【分析】设两根绳子的拉力分别为，，作，根据题意得到其为矩形求解. 【详解】解：如图所示： 设两根绳子的拉力分别为，. 作，使，. 在中，， 所以， 所以，， 所以， 故两根绳子拉力的大小分别为，. 故选：C. 【感悟提升】　向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题，同时正确作图是前提． 6、 课堂总结 1.向量在物理中的应用 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． 2.利用向量方法解决物理问题的基本步骤 2.利用向量方法解决物理问题的步骤. ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 练习（第41页） 1．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，求对该物体所做的功． 1．解析：， 2．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小． 2．解析：如图，把，两点处的重物对点的作用力看作两个拉力，分别设为，，用，表示，又设点受到的重力为，用表示，则，．由于整个系统处于平衡状态，所以，即，以，为邻边作平行四边形，由知，四边形为菱形，过点作，垂足为，则，． 设，则 所以，因此． 3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，求： （1） 的大小； ． （2）与夹角的大小． 3．解析：如图，设，的合力为，与的夹角为，用，，表示，，．过点作的垂线，与的延长线相交于点． 在中，，，所以． 在中，．所以．从而得． 所以．于是，与的夹角为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$