6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（导学案)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 导学案 1、 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 4.能用坐标表示平面向量垂直的条件． 2、 重点难点 学习重点： 平面向量数量积的坐标表示 学习难点： 向量的模和夹角的坐标表示 3、 导入新知 （一）问题引入、知识回顾 【问题引入】 问题1：设，，求及的坐标 问题2：改变问题 设，，求. 那么这三个量又如何用向量的坐标来表示，这就是本节课要学习的内容。 【知识回顾2】教师通过填空的形式带领学生回顾向量数量积运算的一些知识 （1） （2） （3）或 （4） （二）探索新知 1、平面向量数量积的坐标表示 【提出问题】已知，，怎样用与的坐标表示呢? 2、向量的模和夹角的坐标表示 【提出问题】通过平面向量坐标表示的公式，我们还能够得到什么其他的信息？ 例10 若点，，，则是什么形状？证明你的猜想． 【变式】在四边形中，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．30 D．15 4、 应用新知 例11 设， ，求及， 的夹角(精确到)． 【变式】为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 ． 【变式】已知为坐标原点，点，，，，则（   ） A． B． C． D． 5、 能力提升 题型一、平面向量数量积的坐标运算 【练习1】已知向量，若，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 题型二、平面向量的模 【练习2】已知，，则（    ） A． B．1 C． D． 题型三、平面向量的夹角、垂直问题 【练习3】已知=（1，2）， =（-2，4）， (1)//（+），求 (2)⊥，求与夹角的余弦值 6、 课堂总结 1. 知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. 若与的夹角为,则 ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. ,或 (4)若a,b为非零向量，则 [点拨] 公式与都是用来求两向量的数量积的没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导. 若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式求解. 2.平面向量的模． 3.平面向量的夹角、垂直问题． 4．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． 练习（第36页） 1．已知， ，求，，． 2．已知， ，．求， ， ，． 3．已知， ，利用计算工具，求与的夹角（精确到）． 习题6.3（第36页） 1．如图，在中，，点是的中点．设，，用，表示，． 2．已知作用在坐标原点的三个力分别为，，，求作用在原点的合力的坐标． 3．在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点的坐标，求终点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 4．已知平行四边形的顶点， ， ，求顶点的坐标． 5．已知点，，，，，求点，及向量的坐标． 6．已知点， ，，，，求点，，的坐标． 7．你认为下列各组点具有什么样的位置关系?证明你的猜想． （1），，； （2），，； （3），，． 8．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以，，为顶点的三角形的形状，然后给出证明： （1），，； （2），，； （3），，． 9．已知， ，且，求的坐标． 10．已知，求与垂直的单位向量的坐标． 11．如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点．设，， （1）用，表示，． （2）如果，，有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 12． 已知点， ， ，．当，，，2时，分别求点的坐标． 13．已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 14．求证：以，，，为顶点的四边形是一个矩形． 15．如图，设， 是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． ， （1）计算的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理． 16．用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 导学案 1、 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 4.能用坐标表示平面向量垂直的条件． 2、 重点难点 学习重点： 平面向量数量积的坐标表示 学习难点： 向量的模和夹角的坐标表示 3、 导入新知 （一）问题引入、知识回顾 【问题引入】 问题1：设，，求及的坐标 【预设答案】 通过之前学习的向量加减法的坐标表示和向量数乘的坐标表示，可以得到答案 问题2：改变问题 设，，求. 根据向量数量积的知识可以想到要求、和 那么这三个量又如何用向量的坐标来表示，这就是本节课要学习的内容。 【知识回顾2】教师通过填空的形式带领学生回顾向量数量积运算的一些知识 （1） （2） （3）或 （4） （二）探索新知 1、平面向量数量积的坐标表示 【提出问题】已知，，怎样用与的坐标表示呢? 先引领学生对前面向量加减法和数乘运算的坐标表示的推导方法进行回顾，思考能否类比用同样的方法解决不同的问题，想到用平面向量基本定理。 因为， 所以． 又， ， ，所以． 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2、向量的模和夹角的坐标表示 【提出问题】通过平面向量坐标表示的公式，我们还能够得到什么其他的信息？ 【预设答案】结合之前回顾的内容，还可以得到和的坐标公式，以及的充要条件：由此可得 （1）若，则，或． 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么 ，． （2）设，，则． 例10 若点，，，则是什么形状？证明你的猜想． 解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点，，，我们发现是直角三角形．证明如下． 因为，，所以． 于是．因此，是直角三角形． 设，都是非零向量，， ，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得． 【变式】在四边形中，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．30 D．15 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及坐标求模，再列式求出四边形面积. 【详解】在四边形中，，， 即，又， 所以四边形的面积. 故选：D 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角． 4、 应用新知 例11 设， ，求及， 的夹角(精确到)． 解：． 因为，，所以用计算器计算可得 ． 利用计算器中的“”键，得． 【变式】为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由平面向量夹角公式的坐标运算即可得到答案. 【详解】设向量的夹角为θ，则. 故选：A. 反思感悟　 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 ． 证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，．则，． 由向量数量积的坐标表示，有． 设与的夹角为，则， 所以． 另一方面，由图6.3-20 (1)可知，；由图6.3-20 (2)可知，． 于是，所以．于是． 运用向量工具进行探索，过程多么简洁啊！ 【变式】已知为坐标原点，点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据数量积的坐标运算逐一求解，即可求解. 【详解】由题意可得，，，， 故， ， ， , ， 因此， 故选：A 反思感悟　 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． 5、 能力提升 题型一、平面向量数量积的坐标运算 【练习1】已知向量，若，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直关系可得向量积为0，然后用向量的坐标运算即可求得结果. 【详解】,, 由得：， 则，所以， 故选：B. 反思感悟　平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．　 题型二、平面向量的模 【练习2】已知，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量模的坐标表示、已知模求数量积 【分析】根据，利用求出，根据即可求解. 【详解】∵， 所以， 由， 所以. 故选：B. 反思感悟　求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　 （3）此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 题型三、平面向量的夹角、垂直问题 【练习3】已知=（1，2）， =（-2，4）， (1)//（+），求 (2)⊥，求与夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）求出+和的坐标，根据//（+）可得方程，求出m,继而求出，即可求得答案； （2）根据⊥，求得，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）由=（1，2），=（-2，4），可得+， , 故由//（+），可得 ，解得 ； 故，则； （2）由⊥可得： ， 则 ， 故， ， ，， 故 . 反思感悟　利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； (2)利用|a|＝计算出这两个向量的模； (3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值； (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　　 6、 课堂总结 1. 知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. 若与的夹角为,则 ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. ,或 (4)若a,b为非零向量，则 [点拨] 公式与都是用来求两向量的数量积的没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导. 若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式求解. 2.平面向量的模． 3.平面向量的夹角、垂直问题． 4．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． 练习（第36页） 1．已知， ，求，，． 1．解析：，，． 2．已知， ，．求， ， ，． 2．解析：， ，．，， ，， ，，，． 3．已知， ，利用计算工具，求与的夹角（精确到）． 3．解析：， ，， ，，． 习题6.3（第36页） 1．如图，在中，，点是的中点．设，，用，表示，． 1．解析：， ． 2．已知作用在坐标原点的三个力分别为，，，求作用在原点的合力的坐标． 2．解析：． 3．在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点的坐标，求终点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 3．解析：设向量的终点的坐标为． （1）由，得点的坐标为； （2）由，得点的坐标为； （3）由，得点的坐标为． 4．已知平行四边形的顶点， ， ，求顶点的坐标． 4．解析：由题意知，设，则 ，解得，所以点的坐标为． 5．已知点，，，，，求点，及向量的坐标． 5．解析：设， ，则，， 由，得，所以点的坐标为． 由，得，所以点的坐标为． 所以． 6．已知点， ，，，，求点，，的坐标． 6．解析：由题意得，所以，， ，又（为坐标原点），则， 所以点的坐标为；，所以点的坐标为， ，所以点的坐标为． 7．你认为下列各组点具有什么样的位置关系?证明你的猜想． （1），，； （2），，； （3），，． 7．解析：（1）、、三点共线．证明：因为，，所以，因为直线与直线有公共点，所以、、三点共线． （2）、、三点共线．证明：因为，，所以．因为直线与直线有公共点，所以、、三点共线． （3）、、三点共线．证明：因为，，所以．因为直线与直线有公共点，所以、、三点共线． 8．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以，，为顶点的三角形的形状，然后给出证明： （1），，； （2），，； （3），，． 8．解析：（1）是直角三角形，为直角， 证明：，，由，得，为直角，为直角三角形． （2）是直角三角形，为直角，证明：，，由， 得，为直角，为直角三角形． （3）是直角三角形，为直角，证明：，，由 ， 得，为直角，为直角三角形． 9．已知， ，且，求的坐标． 9．解析：设，则由题意得，解得 或 ， 于是 或． 10．已知，求与垂直的单位向量的坐标． 10．解析：设与垂直的单位向量为，则， 解得 或， 或． 11．如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点．设，， （1）用，表示，． （2）如果，，有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 11．解析：（1）． ． （2） 证明：． ， 即． 12． 已知点， ， ，．当，，，2时，分别求点的坐标． 12．解析：由题意得，． 当时，，所以点的坐标为； 当时，，所以点的坐标为． 当时，，所以点的坐标为； 当时，，所以点的坐标为． 13．已知，，点在线段的延长线上，且，求点的坐标． 13．解析：设点的坐标为．由点在线段的延长线上，且，得， 即，所以，解得， 所以点的坐标为． 14．求证：以，，，为顶点的四边形是一个矩形． 14．证明：因为，，，所以，． 所以，，所以以，，，为顶点的四边形是一个矩形． 15．如图，设， 是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． ， （1）计算的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理． 15．解析：（1），，， ，． （2）对于任意向量 都存在唯一一对实数，，使 ，所以本题中对向量坐标的规定合理． 16．用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式． 16．证明 ：构造向量，， 因为（其中为向量，的夹角），所以， ． 不等式中等号成立的条件是，即． 证法二： ， 所以，当且仅当时等号成立． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$