精品解析：安徽省淮南市部分学校2024-2025学年九年级下学期开学第一次联考数学试题

百校联赢·2025安徽名校大联考一 数 学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若收入200元记作元，则支出50元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果将收入200元记作元，则支出50元记作元． 故选：B． 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算，即可求解，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意； B、 ，故该选项不符合题意； C、 ，故该选项符合题意； D、 ，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 每年秋冬之际，流感病毒都会引起居民的呼吸道传染病，流感病毒的直径约为，米，则流感病毒的直径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 4. 如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图是从上面看到的图形求解即可，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题的关键． 【详解】解：从上面看，一共有两行，第一行有个正方形，第二行中间有个正方形， ∴几何体的俯视图是 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式列方程求解是解题的关键．因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解方程即得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得或． 故选：C． 6. 下列函数中随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的增减性，根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，故随的增大而减小，不符合题意； B、，，故随的增大而增大，符合题意； C、，在每一个象限内随的增大而增大，不符合题意； D、，在轴的左侧随的增大而减小，在轴的右侧随的增大而增大，不符合题意； 故选B． 7. 某文具店的老板以每个元的进价购进笔记本，每本笔记本按的利润率确定它的标价，为尽快售出该批笔记本，决定在标价的基础上降价确定该批笔记本的售价，则这批笔记本的售价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式，根据售价等于标价乘以折扣计算即可． 【详解】解：这批笔记本的标价为元，则这批笔记本的售价为元， 故选：D． 8. 如图，是四边形的对角线，点分别是的中点，点分别是的中点．下列说法中不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及三角形中位线定理；根据中位线的性质得出，，即可判断A，C，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质得出，即可判断D选项，B选项条件不能得出四边形是矩形，即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，点分别是的中点 ∴， ∴四边形一定是平行四边形，故A正确； 若，不能得出四边形是矩形，故B不正确； 若，则，则四边形菱形，故C正确； ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵ 若， ∴， 即，则四边形是矩形，故D正确； 故选：B． 9. 设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率，设最小的圆的半径为1，根据每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，结合圆的面积求出8环的面积，再乘以整个大圆的面积即可得出结果． 【详解】解：设最小的圆的半径为1，则从里到外，圆的半径依次为， ∴他射中8环的概率是； 故选B． 10. 如图，菱形的边长为，面积为，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿线段向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出菱形的高，再利用相似三角形的判定与性质表示出时的高后可得该时间段内关于的函数解析式，结合二次函数的图象与性质即可判断正确图象． 【详解】解：依题得：点和点同时达到终点， 作交于点， 菱形的边长为，面积为， ， 设运动时间为秒，则， 当时，点在上运动，此时， 作交于点， ， ， ， ， 即， 解得， 此时的面积， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 则选项、选项错误； 当时，， 即表示与函数关系的图象经过点， 选项错误，选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是正确表示出时关于的函数解析式． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查自变量有意义的条件，因函数表达式是二次根式，实质也是考查二次根式有意义的条件．因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以，可求x的范围． 【详解】解：∵ ∴ 解得： 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 13. 如图，点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交反比例函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，连接，若点坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正切的定义；根据题意可得得出，根据得，进而根据正切的定义得出，求得，则，即可求解，求得是解题的关键． 【详解】解：∵过点作平行轴交反比例函数的图象于点， ∴ ∵ ∴，则， ∵ ∴ ∴即， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）若点恰好是的中点，则_______； （2）若，则________． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键： （1）根据是的中点，结合折叠的性质，推出，得到，再根据折痕是角平分线求出的度数即可； （2）根据折叠的性质结合勾股定理求出的长，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠， ∴， ∴， ∵点恰好是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：30； （2）∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算零指数幂、特殊角三角函数值以及运用二次根式的性质进行化简，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 【答案】一共织了尺布 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设每天减少尺布，根据题意得出，解方程得出，进而根据题意根据列出算式进行计算即可求解． 【详解】解：设每天减少尺布， ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ∴，解得， ∴（尺）． 答：一共织了尺布． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据以上规律解答下面问题： （1）直接写出第4个等式：__________； （2）猜想出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2）第个等式是，见解析 【解析】 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题干几个等式，即可找到规律求解； （2）对等式左边进行分式的混合运算，化简求证即可． 【小问1详解】 解：由题意得，第4个等式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第个等式是，理由如下： 证明： ， ∴． 18. 如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点（格点为网格线的交点）． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）将向下平移4个单位长度得到，画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所示． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，斜坡的坡度，斜坡，在坡顶处建有一铅直的电视转播塔，点在同一水平线上，在点处测得电视转播塔的顶端的仰角为，在斜坡的底端处测得电视转播塔的顶端的仰角为． （1）求电视转播塔长； （2）求的长度（结果精确到米）．（参考数据：）． 【答案】（1）电视转播塔的长为 （2）的长度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形—坡度、仰角与俯角问题，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键． （1）延长交所在直线于点，则，根据已知得出，即可求解； （2）解，得出，解得出，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：延长交所在直线于点，则， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）， 答：电视转播塔的长为； 【小问2详解】 在中，∵， ∴（）， （）， 在中，（），， ∵， ∴（）， ∴（）． 答：的长度约为米． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，过点作，垂足分别为点，点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆的切线的判定，全等三角形的判定和性质． （1）由圆内接四边形的性质得出，进而得，连接，得到，根据，得到，即可证明是的切线； （2）连接，先证明，得到，再证明，得到，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某校计划在七年级开展丰富多彩的课外活动，开设以下五个项目：（球类），（棋类），（绘画），（音乐），（舞蹈），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，制作成如下不完整的统计图： 根据上信息，解决下列问题： （1）本次调查的学生人数是_____人，将图中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图中项目对应的圆心角的度数为_____； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级名学生中选择项目（绘画）的人数． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）估计本校七年级名学生中选择项目（绘画）的人数为名． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是利用数形结合的思想解答． （1）利用项目人数除以所占百分比求出总人数，然后用利用项目选择人数所占百分比即可求出其选择人数，最后用总人数减去、、、项目的人数，最后完成条形图即可； （2）用乘以项目所占总人数的百分比即可； （3）用乘以项目所占百分比即可． 【小问1详解】 解：此次调查总人数为（人）， 项目的人数有（人）， 项目的人数有（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：图中项目对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计本校七年级名学生中选择项目（绘画）的人数为名． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在平行四边形中，过点作，，垂足分别为点，，，分别交于点，． （1）若，求的度数； （2）如图2，若四边形是菱形，延长，相交于点． ①求证：； ②当时，求证：． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）①首先由菱形得到，，，然后得到，进而求解即可； ②首先得到，然后得到是等边三角形，得到，推出，得到，连接，得到是等边三角形，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴是直角三角形斜边的中点， ∴， 由①知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形和平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）． （1）若抛物线经过点和点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点分别作轴的平行线，交抛物线于点，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）当时，点在轴上，且，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点．若的值为2，求的值． 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为 （2）四边形是菱形，见解析 （3）的值为1或2或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入解析式，根据题意，求出坐标，进而求出的长，得到，根据，即可得出结论； （3）求出函数解析式，根据题意，得到点坐标为，点坐标为，根据的值为2，分3种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把和点，代入函数解析式，得：， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 理由：∵， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，， 由题意，得：点坐标为，点坐标为，， 令，解得， 当时，，当时，， ∴直线与抛物线的交点坐标为和． 分三种情况：①当时，此时点在的上方，如图， ∴，解得； ②当时，，不合题意，舍去； ③当时，此时点在的上方，如图， ∴， 解得，（舍去）； 综上，的值为1或2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 百校联赢·2025安徽名校大联考一 数 学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若收入200元记作元，则支出50元记作（ ） A 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 每年秋冬之际，流感病毒都会引起居民的呼吸道传染病，流感病毒的直径约为，米，则流感病毒的直径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 下列函数中随增大而增大的是（ ） A B. C. D. 7. 某文具店的老板以每个元的进价购进笔记本，每本笔记本按的利润率确定它的标价，为尽快售出该批笔记本，决定在标价的基础上降价确定该批笔记本的售价，则这批笔记本的售价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 如图，是四边形的对角线，点分别是的中点，点分别是的中点．下列说法中不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 9. 设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的边长为，面积为，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿线段向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 12. 因式分解：______． 13. 如图，点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交反比例函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，连接，若点坐标为，则的值为______． 14. 如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）若点恰好是的中点，则_______； （2）若，则________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据以上规律解答下面问题： （1）直接写出第4个等式：__________； （2）猜想出第个等式（用含的式子表示），并证明． 18. 如图，由若干个小正方形组成的网格中，已知格点（格点为网格线的交点）． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）将向下平移4个单位长度得到，画出． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，斜坡的坡度，斜坡，在坡顶处建有一铅直的电视转播塔，点在同一水平线上，在点处测得电视转播塔的顶端的仰角为，在斜坡的底端处测得电视转播塔的顶端的仰角为． （1）求电视转播塔的长； （2）求的长度（结果精确到米）．（参考数据：）． 20. 如图，四边形内接于，为直径，过点作，垂足分别为点，点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校计划在七年级开展丰富多彩的课外活动，开设以下五个项目：（球类），（棋类），（绘画），（音乐），（舞蹈），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，制作成如下不完整的统计图： 根据上信息，解决下列问题： （1）本次调查的学生人数是_____人，将图中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图中项目对应的圆心角的度数为_____； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级名学生中选择项目（绘画）的人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在平行四边形中，过点作，，垂足分别为点，，，分别交于点，． （1）若，求的度数； （2）如图2，若四边形是菱形，延长，相交于点． ①求证：； ②当时，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）． （1）若抛物线经过点和点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点分别作轴的平行线，交抛物线于点，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）当时，点在轴上，且，过点作轴垂线交直线于点，交抛物线于点．若的值为2，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$