精品解析：河北省张家口市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

张家口市第一中学高二剪辑下学期3月月考试卷 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a=（ ） A 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或－1 5. 已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 判断圆与圆的位置关系为（ ） A 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 7. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 与a值有关 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（ ） A. 的中点坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于原点对称的点的坐标为 D. 点关于面对称的点的坐标为 10. 已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. D. 面积的最大值是2 11. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为________ 13. 两圆与的公共弦所在直线的方程为______. 14. 点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知直线与直线． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行，并求与的距离；. 16. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 17. 如图所示，在三棱柱中，和都是边长为2的正方形，平面平面，点G、M分别是线段AD、BF的中点. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若求椭圆离心率的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口市第一中学高二剪辑下学期3月月考试卷 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率和倾斜角关系可直接得到结果. 【详解】由题意知：直线的斜率. 故选：A. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方程，先求斜率，结合直线的方向向量的定义，即可得到答案． 【详解】解：因为的斜率， 结合选项可知直线的一个方向向量为． 故选：． 3. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得. 【详解】 如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点， 所以， 所以. 故选：C 4. 已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a=（ ） A 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或－1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：两直线互相垂直，满足，整理为，解得或，故选C. 考点：直线的位置关系 5. 已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义直接计算求解． 【详解】解： 向量在向量上的投影向量为 ． 故选：B． 6. 判断圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程分别求出两圆的圆心、半径及圆心距，再判断圆心距与两圆的半径和(差)之间的关系即可得结论. 【详解】解：因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 圆心距为， 所以两圆内切. 故选：B. 7. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 8. 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 与a值有关 【答案】B 【解析】 【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解 【详解】建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（ ） A. 的中点坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于原点对称的点的坐标为 D. 点关于面对称的点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合中点坐标公式可判断A正确；结合空间点对称特点依次判断BCD的正确性即可 【详解】利用中点公式可得的中点坐标为，A对； 点关于轴对称的点的坐标为，B错； 点关于原点对称的点的坐标为，C对； 点关于面对称的点的坐标为，D对； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：本题考查空间中中点坐标公式的应用，空间中对称点的判断，可熟记以下结论： （1）若空间中的点为，则的中点坐标为； （2）若空间中的点为，则点关于轴对称的点的坐标为， 关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为； （3）若空间中的点为，点关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为； （4）若空间中的点为，点关于原点对称的点的坐标为 10. 已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. D. 的面积的最大值是2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC，由椭圆的标准方程求得，再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D，由椭圆的几何性质与的面积公式即可判断． 【详解】对于A，因为椭圆，所以知， 所以椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C，由椭圆的定义可得，故C正确； 对于D，设，由椭圆的几何性质可知， 所以， 即的面积的最大值是2，故D正确. 故选：BCD． 11. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心到直线的距离判断；对于B，由于直线恒过定点，所以当时，圆心到直线的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断. 【详解】对于A，圆心到直线的距离为， 当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确； 对于B，因为直线，即，所以直线过定点， 当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确； 对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误； 对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为， 所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为________ 【答案】或 【解析】 【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出关于的方程，解方程即可求出实数的值. 【详解】根据题意，令，得到直线在轴上的截距是， 令，得到直线在轴上的截距是， 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，所以，即， 解得或. ∴或 故答案：或 【点睛】本题主要考查了直线的截距及其应用，其中熟记直线方程的截距的概念和准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 13. 两圆与的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】要求公共弦所在直线的方程只需要将相交两圆的方程相减即可求出结果. 【详解】，即①，② ①②可得，两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了求公共弦所在直线的方程，解题方法是将相交两圆的方程相减求得结果，需要掌握解题方法，较为基础. 14. 点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点____________ 【答案】和 【解析】 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）当时与相交，即可求出的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出的值，再由距离公式计算可得. 【小问1详解】 因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. 【小问2详解】 由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 16. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 17. 如图所示，在三棱柱中，和都是边长为2的正方形，平面平面，点G、M分别是线段AD、BF的中点. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）找到的中点，构造平行四边形，通过线线平行证明线面平行； （2）建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴的A-xyz空间直角坐标系，找到对应面的法向量代入面面角公式计算公式计算即可. 【小问1详解】 如图作线段的中点H，连接，， 是的中位线，且， 点G是线段AD的中点，且， ，四边形是平行四边形， ，且平面，平面， 平面. 【小问2详解】 如图建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴的A-xyz空间直角坐标系. 设平面的法向量为， ， ， 设平面的法向量为，可得， 令，则，故， ， 综上：平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，且，由此可构造方程求得圆心坐标和半径，进而得到圆方程； （2）设圆心关于直线的对称点为，根据连线与直线垂直、中点在直线上可构造方程组求得点坐标，又半径不变，由此可得对称的圆的方程. 【小问1详解】 由题意可设圆的圆心为， 圆与直线相切，且过点， ，解得：，圆心， 半径，圆的方程为：. 【小问2详解】 设圆心关于直线对称点为， 则，解得：，即， 圆关于直线对称的圆的方程为：. 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程； （2）若求椭圆离心率的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义，建立方程的关系式，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）求出点的坐标，利用建立斜率之间的关系，解方程即可求出的值. 试题解析：设椭圆的焦距为，则. （1），又,故, 点在椭圆上，，解得,故所求椭圆的方程为. （2）在直线上，直线的方程为, 解方程组得点的坐标为, 又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的斜率为，且，,又， 整理得,故，因此. 考点：椭圆的定义及标准方程；椭圆的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程、椭圆的简单的几何性质的求解，熟练掌握椭圆的标准方程的求解及直线垂直和斜率间的关系是解答问题的关键，试题运算量大，需要认真、细致运算，平时注意积累和总结，属于中档试题，本题的解答中，把直线的方程为，与椭圆的方程联立，求解点的坐标是试题的一个难点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $