重点专题2.3 解三角形中的15类最值问题- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学·人教A版必修第二册·重难点专题突破

专题2-3 解三角形中的最值问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 模块一 利用基本不等式求最值（必会题型） 【题型1】求面积最值 【题型2】 周长相关最值问题 【题型3】中线相关最值 【题型4】角平分线相关最值问题 【题型5】定角定高型最值问题 模块二 利用函数模型求最值 【题型6】已知一角，求另外两角的最值 【题型7】角对边型最值 【题型8】一次比值型最值问题 【题型9】角对邻边型最值问题 【题型10】锐（钝）角限制的复杂型最值 模块三 其它最值问题 【题型11】二次比值型最值问题 【题型12】非常规型基本不等式求最值 【题型13】化为二次函数求最值 【题型14】复合图形中的最值问题 【题型15】实际问题中的最值问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 利用基本不等式求最值（必会题型） 最值范围问题常见处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 结合余弦定理求周长，面积，中线，角平分线，高线相关最值，对数式子来说适用于和，积，平方和相关 问题 涉及周长，面积，角平分线，中线的最值问题一般通过余弦定理得出等式，再采用常见不等式变形 常见不等式： 边对角型周长、面积最值二级结论：当三角形为等腰三角形时，周长和面积同时取到最大 2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 【题型1】求面积最值 基础知识 二级结论：在△ABC中，若已知A和a，则当三角形为等腰时，周长和面积同时取到最大值 典型例题 【例题 1】的内角所对的边分别是,且, 求的面积最大值及取值范围. 【例题2】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，角的对边分别是，且满足． (1)求；(2)若是边上的高，求的最大值． 【例题3】的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A；(2)若，求面积的最大值． 【巩固练习2】记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ；若，则面积的最大值为 ． 【巩固练习3】在中，角所对的边分别为，，，已知(1)求A；(2)若，求面积的最大值． 【巩固练习4】在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求；(2)若，求的最小值． 【题型2】 周长相关最值问题 典型例题 【例题1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且A＝，若a＝2，求△ABC的周长最大值及取值范围 【例题2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. (1)求角B；(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 【例题3】在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为　　，周长的取值范围为　　． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知的角对边分别为，. (1)求；(2)若，求的取值范围. 【巩固练习4】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求；(2)若，求内切圆半径的最大值. 【题型3】中线相关最值 典型例题 【例题1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D为的中点，求线段长度的取值范围． 【例题2】已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值. 【例题3】在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小；（2）设点是的中点，若，求的取值范围. 【例题4】（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：；(2)若，，求的最大值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为且与垂直. (1)求大小；(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值. 【巩固练习2】（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求；(2)若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小；(2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【巩固练习4】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角；(2)若，求边上的角平分线长；(3)求边上的中线的取值范围. 【题型4】角平分线相关最值问题 典型例题 【例题1】（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是2 C．的最小值是 D．的面积最小值是 【例题2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．4 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北·期末）在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小；(2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 【巩固练习2】在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________. (1)求A； (2)若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） 【题型5】定角定高型最值问题 基础知识 如图，在中，内角，，所对的边分别为，，， ，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值. 【简证】由等面积可得： 由余弦定理+可得： 得，即 典型例题 【例题1】（23-24高一下·重庆·期末）中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且 (1)求A；(2)若， 求BC边上高的最大值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小：(2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【巩固练习2】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小；(2)若边上的高为，求面积的最小值. 模块二 利用函数模型求最值 【题型6】已知一角，另外两角的函数最值 典型例题 【例题1】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【例题2】记锐角的内角为， (1)若，求角的最大值；(2)当角时，求的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【巩固练习2】记的内角的对边分别为，已知为钝角，. (1)若，求；(2)求的取值范围. 【题型7】角对边型最值 典型例题 【例题1】记△的内角的对边分别为，已知. (1)求；(2)若，求的范围. 【例题2】已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小；(2)求的最大值. 【例题3】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题. ①；②；③. (1)求；(2)若，求的取值范围. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8】一次比值型最值问题 典型例题 【例题1】(北京高考)若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 . 【例题2】在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【巩固练习3】（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角；(2)求的取值范围： 【题型9】角对邻边型最值问题 典型例题 【例题1】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求周长的取值范围． 【例题2】(高考真题)的内角的对边分别为，已知． （1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【例题3】（23-24高一下·湖南·期末）已知内角所对的边长分㓩为. (1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 【巩固练习2】（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知为锐角三角形，角的对边分别为，若，，则面积的取值范围为 ． 【巩固练习3】在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【巩固练习4】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知在中，角的对边分别为，且. (1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【巩固练习5】（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，. (1)求角； (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 【题型10】锐（钝）角限制的复杂型最值问题 典型例题 【例题1】在锐角中，内角的对边分别为，已知. (1)求；(2)若，求的取值范围. 【例题2】（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角；(2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 【例题3】在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，设角，，的对边长分别为，，，已知． （1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【巩固练习2】在锐角中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围. 【巩固练习3】锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求的取值范围． 模块三 其它最值问题 【题型11】二次比值型最值问题 典型例题 【例题1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 【例题2】（23-24高一下·湖南郴州·期末）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东广州·期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小；(2)若，的面积为，求a，b；(3)求的取值范围． 【巩固练习2】在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型12】非常规型基本不等式求最值 典型例题 【例题1】在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求；(2)求的取值范围． 【例题2】（23-24高一下·浙江金华·期末）已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高一下·福建厦门·期末）在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为 ，的最小值为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值；(2)求的最小值. 【巩固练习3】（23-24高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A的大小；(2)已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 【巩固练习4】（23-24高一下·江苏扬州·期中）若的角所对边，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型13】化为二次函数求最值 典型例题 【例题1】在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求；(2)若是锐角三角形，求的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏苏州·期末）锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】记锐角的内角的对边分别为，已知． (1)求证：；(2)若，求的最大值． 【题型14】复合图形中的最值问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长；(2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【例题2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积；(2)①求的值；②求的最大值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． (1)若，求的面积；(2)若，求的面积的取值范围． 【巩固练习2】（23-24高一下·重庆·期中）如图，在平面四边形中，，对任意实数都有，若为的面积，且，，则的最大值是 . 【巩固练习3】（23-24高一下·广东·期末）如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． (1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； (2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：；②求的最小值． 【题型15】实际问题中的最值问题 典型例题 【例题1】某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【例题2】（23-24高一下·重庆·期中）某公园湖心有一浮动观景亭，湖边一点到观景亭的一座桥长为米.现公园打算升级改造，在湖边选取两个点，，新建两座桥梁，，且.    (1)若为中点，且米，求两座桥梁长度之和的值； (2)若，已知玻璃桥的建设成本为2千元/米，普通桥的建设成本为1千元/米，若用玻璃桥，用普通桥梁，不考虑其他费用支出，请你帮公园规划部计算一下，建设这两座桥梁总预算成本的最大值（单位：千元） 【例题3】（23-24高一下·湖北武汉·期中）为提升城市景观面貌，改善市民生活环境，某市计划对一公园的一块四边形区域进行改造．如图，（百米），（百米），，，，，，分别为边，，的中点，所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道，，，以及两条主干道，．（单位：百米） (1)若，求主干道的长； (2)当变化时， ①证明运动健身区域的面积为定值，并求出该值；②求4条观景栈道总长度的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【巩固练习2】（23-24高一下·广东佛山·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设. (1)若，求边的长； (2)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； (3)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）. 【巩固练习3】（22-23高一下·辽宁锦州·阶段练习）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【巩固练习4】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ $$专题2-3 解三角形中的最值问题 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 68 / 87 学科网（北京）股份有限公司 模块一 利用基本不等式求最值（必会题型） 【题型1】求面积最值 【题型2】 周长相关最值问题 【题型3】中线相关最值 【题型4】角平分线相关最值问题 【题型5】定角定高型最值问题 模块二 利用函数模型求最值 【题型6】已知一角，求另外两角的最值 【题型7】角对边型最值 【题型8】一次比值型最值问题 【题型9】角对邻边型最值问题 【题型10】锐（钝）角限制的复杂型最值 模块三 其它最值问题 【题型11】二次比值型最值问题 【题型12】非常规型基本不等式求最值 【题型13】化为二次函数求最值 【题型14】复合图形中的最值问题 【题型15】实际问题中的最值问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 利用基本不等式求最值（必会题型） 最值范围问题常见处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 结合余弦定理求周长，面积，中线，角平分线，高线相关最值，对数式子来说适用于和，积，平方和相关 问题 涉及周长，面积，角平分线，中线的最值问题一般通过余弦定理得出等式，再采用常见不等式变形 常见不等式： 边对角型周长、面积最值二级结论：当三角形为等腰三角形时，周长和面积同时取到最大 2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 【题型1】求面积最值 基础知识 二级结论：在△ABC中，若已知A和a，则当三角形为等腰时，周长和面积同时取到最大值 典型例题 【例题 1】的内角所对的边分别是,且, 求的面积最大值及取值范围. 【答案】 法一:构造函数模型 (降幂) 面积的范围是 法二: 均值不等式 由余弦定理可得: : ,当且仅当 时取等号. 法三:几何法(圆) 如图,构造 ,显然点 在优弧 上运动,当 在弦 中垂线上时, 面积有最大值 的面积取值范围是 【例题2】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，角的对边分别是，且满足． (1)求；(2)若是边上的高，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理， 得，即， 因为，所以，所以，则． （2）因为，由余弦定理，即， 所以当且仅当时取等号， 所以，则，当且仅当时取等号， 所以，又， 所以， 故的最大值为． 【例题3】的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为 . 【答案】 【详解】，故， 又余弦定理可得， 因此， 由于，故， 故， 当且仅当时，等号成立， 结合，故，因此最大值为， 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A；(2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理得 ， 其中， 故， 故， 因为，所以，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 所以，解得； （2），， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得，仅当时取等， 故的面积，最大值为. 【巩固练习2】记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ；若，则面积的最大值为 ． 【答案】 / 【详解】因为，所以，即， 又，所以，则， 由余弦定理， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 故答案为：； 【巩固练习3】在中，角所对的边分别为，，，已知(1)求A；(2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式得到，求出； （2）由基本不等式求出，得到面积的最大值. 【详解】（1），由正弦定理得 ， 其中， 故， 故， 因为，所以，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 所以，解得； （2），， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得，仅当时取等， 故的面积，最大值为. 【巩固练习4】在中，角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求；(2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理， 所以， 则， 因为、，则，所以，，所以． （2）解：根据题意，，即， 由正弦定理得， 根据余弦定理可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 【题型2】 周长相关最值问题 典型例题 【例题1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且A＝，若a＝2，求△ABC的周长最大值及取值范围 【答案】6， 法一：构造函数模型 ∵，∴周长的范围是 法二：不等式 由余弦定理可得： 整理得：，当且仅当b＝c时取等号． ∴ 法三：几何法(圆) 如图，延长BA至E，使AE=AC，则∠E=30°， 作等边三角形OBC，以OC为半径作圆，显然E点在优弧BC上 AB+AC=BE，当BE过圆心O时取到最大值，∴2≤BE≤4 【例题2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. (1)求角B；(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据正弦定理，进行角化边的化简处理可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求B的值. （2）由正弦定理可得b，根据三角形任意两边和大于第三边的性质，可得，由余弦定理，结合基本不等式可求的最大值，进而可求的周长的范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，化简可得， 由余弦定理得， 因为B为三角形内角，，所以. （2）因为的外接圆周长为，故外接圆直径为， 因为，所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立. 又因为，所以，即的周长的取值范围为. 【例题3】在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为　　，周长的取值范围为　　． 【解答】解：因为，，解得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 又由， 由于， 可得，，当且仅当时等号成立， 所以周长的取值范围为，． 故答案为：，，． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简，利用三角恒等变换求出，再由余弦定理及均值不等式求的范围即可. 【详解】由三角形面积公式及余弦定理可得： ， 即，可得，由， 可知，所以， 所以，即， 由均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 即，解得，又，所以 【巩固练习2】在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，， 解得； ，由余弦定理得：， ， ． 【巩固练习3】已知的角对边分别为，. (1)求；(2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合，可求，结合范围，可得的值； （2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求，结合，即可求解的取值范围． 【详解】（1）， 由正弦定理可得：， ， , 即， ， ． （2），， 由余弦定理可得， 当且仅当时等号成立， ，，． 【巩固练习4】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，为角对应的边，为的面积.且. (1)求；(2)若，求内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）设内切圆的半径为， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为. 【题型3】中线相关最值 典型例题 【例题1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D为的中点，求线段长度的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为D为AC的中点，所以，则， 由基本不等式得，等号成立当且仅当， 所以，. 故答案为：；. 【例题2】已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角； (2)若在边上且，求面积的最大值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一为角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式可求得结果， （2）由已知可得为中点，则，两边平方化简得，再利用基本不等式可求得，从而可求出面积的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理得 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，得， （2）因为在边上且， 所以为中点，所以，两边平方得 ， 因为，所以得到， 由，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，即为等边三角形时面积的最大值为 【例题3】在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设点是的中点，若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由可得，由正弦定理得，从而得，化简可求得，进而可求出角； （2）如图，延长到，满足，连接，则为平行四边形，且，然后在中，利用余弦定理可得，再利用基本不等式可得，又由，即，从而可求出的取值范围 【详解】解：（1）在中， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以， 即，即，可得， 又因为，所以. （2）如图，延长到，满足，连接， 则为平行四边形，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得，即， 由基本不等式得：， 即，即，可得 （当且仅当取等号号） 又由，即， 故的取值范围是. 【例题4】（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案； （2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； （2），，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为且与垂直. (1)求大小；(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果； （2）利用余弦定理与边上的中线有进行化简，在利用基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）因为，垂直， 所以. 由正弦定理，得，因为， 所以，， 所以. （2）设边上的中线为， 在中，由余弦定理得：， 即①. 在和中，， 所以， 即，，， 化简得， 代入①式得，， 由基本不等式， ∴，当且仅当取到“”； 所以的面积最大值为. 【巩固练习2】（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为． ①已知为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角A的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD的最值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以； ②因为为角A的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求的大小； (2)若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又， 所以； （2）因为的面积为，即， 即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则， 所以，即. 【巩固练习4】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角；(2)若，求边上的角平分线长；(3)求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）依据余弦定理及已知求出，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以， 即； （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得， ， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即边上的中线的取值范围为. 【题型4】角平分线相关最值问题 典型例题 【例题1】（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是2 C．的最小值是 D．的面积最小值是 【答案】ABD 【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断． 【详解】解：由题意得：， 由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以，故A正确； ，当且仅当时取等号， ，， 所以，当且仅当时取等号，故D正确； 由余弦定理 所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确； 对于选项：由得：，， 当且仅当，即时取等号，故C错误 【例题2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知在中，满足，点在边上，且平分，，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解可得角；根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理，得， 由，得， 所以，即. 因为，所以，又， 所以，因为，所以.    由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北·期末）在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小； (2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 【答案】(1),(2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由（1），根据余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面积公式知当且仅当时满足题意，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）， 所以， 由正弦定理得， 即， 得，又， 所以，即，又， 所以； （2）由余弦定理得 即，而， ，即， .当且仅当取等号 此时，则， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 【巩固练习2】在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________. (1)求A； (2)若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） 【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①：根据余弦定理分析运算；对于②③：根据正弦定理结合三角恒等变换分析运算； （2）根据面积公式可得，再利用基本不等式可得，进而可得结果. 【详解】（1）若选①：因为，整理得， 由余弦定理可得， 因为，所以； 若选②：因为， 由正弦定理可得， 则， 因为，则，则， 可得，所以； 若选③：因为，由正弦定理可得， 则， 因为，则，则 可得，所以. （2）由题意可得：，且， 则， 即，且， 则，当且仅当时，等号成立， 可得， 所以， 故的面积的最小值为. 【巩固练习3】 【题型5】定角定高型最值问题 基础知识 如图，在中，内角，，所对的边分别为，，， ，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值. 【简证】由等面积可得： 由余弦定理+可得： 得，即 典型例题 【例题1】（23-24高一下·重庆·期末）中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c，且 (1)求A；(2)若， 求BC边上高的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及辅助角公式求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出，再由面积公式求解. 【详解】（1）因为 由正弦定理得， 因为, 所以， 所以 因为， 所以， 所以，所以， 因为 所以，. （2）因为，， 由余弦定理得： ，即， 因为即，即， ， 设中BC边上高为，则，所以， 即BC边上高的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②，先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可； （3）利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可. 【详解】（1）选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以． 选择②：因为， 由正弦定理得，， 即，即， 即，即， 由余弦定理得，， 又，所以． （2）由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． （3）由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以， 所以面积的最小值为． 【巩固练习2】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小；(2)若边上的高为，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）选择①，由题意可得，边化角，利用三角恒等变换可求得，可求；选择②，角化边可得，化简可得，可求得，可求；选择③，边化角可得，利用三角恒等变换可求，可求； （2），可得，利用余弦定理可得，进而可求面积的最小值. 【详解】（1）选择①，因为向量，，且， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以； 选择②，由，得， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又，所以； 选择③，因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以，又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 所以，解得，所以，所以面积的最小值为. 模块二 利用函数模型求最值 【题型6】已知一角，另外两角的函数最值 典型例题 【例题1】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【例题2】记锐角的内角为， (1)若，求角的最大值；(2)当角时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 又，所以， 所以角的最大值为； （2）因为， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以, 所以，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【巩固练习2】记的内角的对边分别为，已知为钝角，. (1)若，求；(2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意及正弦定理得到，即，结合角的范围可得，又，即可求得； （2），令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由，根据正弦定理得：， 由于，可知，即， 因为为钝角，则为锐角，即， 则，则. 由，得. （2） . 因为为锐角，所以，即，则， 设，则， . 因为，则，从而. 由此可知，的取值范围是. 【题型7】角对边型最值 典型例题 【例题1】记△的内角的对边分别为，已知. (1)求；(2)若，求的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以， 所以，所以. （2）因为，则， 因为, 所以. 所以. 因为.所以.所以， 所以. 【例题2】已知的内角的对应边分别为，在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知 ． (1)求角大小； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）选①，， 由正弦定理得，即，，， 又，所以； 选②， 由正弦定理，及得，所以， 又三角形中，所以，而，所以，即； 选③， 由正弦定理得，即， 所以，又， 所以． （2），则，， ， 所以，即时，取得最大值． 【例题3】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的值；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)由题意知，则，根据正弦定理边角互化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解； (2)根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得的表达式，再根据三角函数积化和差，由角的取值范围可求得. 【详解】（1）因为，且， 所以 利用正弦定理化简得：即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形， 所以解之得：， 因为，由正弦定理得：， 所以， 所以 因为，所以， 所以，则的取值范围为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题. ①；②；③. (1)求；(2)若，求的取值范围. 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）若选①，由余弦定理化简可得，再根据正弦定理化简计算即可；若选②，由正弦定理化简即可；若选③，由正弦定理化简即可； （2）由余弦定理可得，根据正弦定理及两角差的余弦公式化简，再根据求解即可. 【详解】（1）若选①，根据余弦定理得， 由正弦定理可得，即. 因为，所以. 又，所以，又，所以. 若选②，因为，所以由正弦定理， 可得， 即，整理得， 因为，所以，可得，即， 因为，所以. 若选③，因为 所以由正弦定理可得：， 因为，所以； 可得. 又，故. （2）由（1）得，因，由正弦定理，， 则， ， 因为且， 所以，所以，所以的取值范围为. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD 【题型8】一次比值型最值问题 典型例题 【例题1】(北京高考)若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【例题2】在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是 【答案】 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，化简得， 在中，则，则, 所以锐角中，，解得， 所以， 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由结合题干中，得到，再由正弦定理得到，整理得，从而，由是锐角三角形得，由正弦定理，从而由的范围得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【巩固练习3】（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角；(2)求的取值范围： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数得，再根据即可求解； （2）由（1）知，，可得，由为锐角三角形，可求出角的范围，由正弦定理，可得，再利用两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系可得，最后结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 因为角，为锐角， 所以， 解得， 由正弦定理， 因为，所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 【题型9】角对邻边型最值问题 典型例题 【例题1】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求周长的取值范围． 【答案】 【详解】，， 由于为锐角三角形，则，且，解得， （法一）周长 ，而，即， ∴，故的周长l的取值范围为． 【例题2】(高考真题)的内角的对边分别为，已知． （1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则 整理得． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是．      【例题3】（23-24高一下·湖南·期末）已知内角所对的边长分㓩为. (1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A； （2）先由（1）以及为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，则. （2）因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得，， 因为， 所以， 因为， 所以， 由为三角形内角得，； （2）由为锐角三角形，得，解得， 所以，， 由正弦定理得，， 所以． 故的范围． 【巩固练习2】（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知为锐角三角形，角的对边分别为，若，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形面积公式可得，由为锐角三角形，可得出的范围，进一步即可求解. 【详解】由正弦定理有，即， 所以， 所以面积的表达式为， 又已知为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围是，的取值范围是， 所以面积的取值范围为. 【巩固练习3】在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即可作答. （2）利用正弦定理把表示为角的函数，再利用三角函数的性质求解作答. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得：， ， 整理得，而，，于是， 所以. （2）在中，，，由正弦定理，得，同理， 因此 由锐角，得，解得，则，， 于是在上单调递增，则 【巩固练习4】（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知在中，角的对边分别为，且. (1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式和正弦定理再结合同角三角函数基本关系计算可得； （2）由正弦定理和同角三角函数关系得到，再由锐角三角形可得，从而得到，最后由三角形的面积公式求出结果即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即. 由正弦定理，得， 易知，所以，所以. 因为，所以. （2）由题设及（1）可知，的面积， . 为锐角三角形， ，解得， ， 又， . 【巩固练习5】（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，. (1)求角； (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）法一：利用余弦定理得到，再由余弦定理计算可得；法二：利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）利用正弦定理及角平分线的性质得到，设，，再在中利用余弦定理求出，即可得解； （3）首先得到，利用正弦定理得到，再根据的范围及正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）法一：在锐角中，， 由余弦定理得，化简得， 可得，又，得. 法二：在锐角中，，由正弦定理得， 即， 可得， 又，，得，又，得. （2）在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 因为是角的平分线，故， 又，故， 所以， 设，， 在中，由余弦定理，有， 解得，所以（负值舍去）， 所以，. （3）因为， 由正弦定理， 得， 在锐角中，，，， 即，可得， 则有，，，， 即，得， 所以面积的取值范围为. 【题型10】锐（钝）角限制的复杂型最值问题 典型例题 【例题1】在锐角中，内角的对边分别为，已知. (1)求；(2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解； （2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）根据题意，由正弦定理得 ， 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； （2）结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 所以 ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以， 故. 【例题2】（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解法一：根据可得利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而分析求解；解法二：由内角和定理结合正弦定理得出，再由三角恒等变换得出； （2）由正弦定理得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由可得，代入， 得，即， 则. 由正弦定理得， 即， 即，可得. 因为，则， 可知，解得. 解法二：因为，所以. 又因为，则. 即， 由正弦定理得. 且 ， 即有.解得. 由，可得. （2）由（1）可得， 由正弦定理得，① 由余弦定理得. 对①式进行变形可得， 所以. 因为为锐角三角形，所以即 解得，从而， 又，所以，即的取值范围为. 【例题3】在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可； （2）由（1）知，又是锐角三角形，可得，根据且其面积为可得，再设，根据角度关系化简可得，再根据求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 即， 得. 所以或（不成立，舍去）， 从而，又，所以. （2）由（1）知，又是锐角三角形，则，得. 因为， 所以. 设，因为， 所以 ， 因为，则，所以， 从而，即， 所以边的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，设角，，的对边长分别为，，，已知． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【解答】解：（1）由已知及正弦定理，得，即，即，即． 由余弦定理，得， 因为， 所以． （2）因为，，由正弦定理，得． 所以． 因为为锐角三角形，则，从而， 所以． 【巩固练习2】在锐角中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：； (2)设的周长为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析,(2) 【分析】（1）由余弦定理及正弦定理，结合角的范围即可得证； （2）先由角的关系得出，再结合正弦定理可得，最后结合二次函数值域得出范围. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，所以，， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即. （2）， 由，得， ，结合二次函数单调性易知， 即的取值范围为. 【巩固练习3】锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】先应用正弦定理边角互化，再结合二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据余弦型函数求值域可得. 【详解】由（1）得: ． 因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角， 即，，所以， 所以，， 所以的取值范围是． 模块三 其它最值问题 【题型11】二次比值型最值问题 典型例题 【例题1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出； （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为， 即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【例题2】（23-24高一下·湖南郴州·期末）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，由余弦定理得，， 由，得， 化简得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以，当且仅当时，即时取最小值， 由于，且函数在上单调递减，函数在上单调递增， 又，， 所以． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东广州·期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)． 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得答案； （2）由求出，再由余弦定理可得答案； （3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为，所以， 即，所以， 又因为，即， 所以； （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 由（1）知，由余弦定理， 得，， ， ， 当时，取最小值；时，取最大值． 所以的取值范围是． 【巩固练习2】在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得：， ， 即， 即，即， 即，所以或（舍去）， 所以，则， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得：， 因为在上单调递增， 由，可得，所以. 【题型12】非常规型基本不等式求最值 典型例题 【例题1】在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求；(2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题， 因为，所以． （2）由（1）， （当且仅当时取等号） 则，又，则． 【例题2】（23-24高一下·浙江金华·期末）已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，再利用两次基本不等式得到，从而得解. 【详解】因为，则，，即， 由余弦定理可得，又， 所以①，②， ①②可得， 又，即， 则 ， 即，即， 解得， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以面积的最大值为. 【例题3】（23-24高一下·福建厦门·期末）在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为 ，的最小值为 . 【答案】 6 【分析】利用角平分线定理结合给定条件得到边长的比例关系，进而求解第一空，利用三角形面积公式结合余弦定理把目标式表示为一元函数，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】在中，设对应的边分别为， 因为为的中点，所以. 因为为的平分线，， 所以， ，所以， 因为，所以. 在中，，所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立，所以，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由，可得，由余弦定理，再由正弦定理，则，由三角恒等变换可证结论； （2）利用，得出，则，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，则， 由余弦定理， 由正弦定理，则， 在中，， 所以， 则，则， 所以. （2）由（1），则， 则， 在锐角中，有， 故， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习3】（23-24高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A的大小； (2)已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出或； （2）由得到，故，以由（1）知，，且，由余弦定理，由基本不等式得，求出，得到面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，， 则有， 因为在△ABC中，， 所以化简得：， 又，解得：或； （2）由得：， 则，从而， 因为A为钝角，所以由（1）知，，且， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 又b，c可以无限接近0，所以， 从而， 故△ABD面积的取值范围为． 【巩固练习4】（23-24高一下·江苏扬州·期中）若的角所对边，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首项由诱导公式二倍角公式得，进一步结合正弦定理以及两角和正弦公式有，在这里进一步有，注意到，假设，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，即， ，即， 从而，即， 所以， 显然，这意味着不能都同时等于0， 否则与三角形内角和矛盾， 从而有， 注意到， 要求的最大值，我们不妨设， 从而，等号成立当且仅当，此时满足题意； 综上所述，的最大值为. 【题型13】化为二次函数求最值 典型例题 【例题1】在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，求；(2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理得， 又，所以，得． 又，所以； （2），由余弦定理得 所以或， 当时，， 解得，则，与已知矛盾， 故， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 由于在上单调递减，故， 所以， ． 所以的取值范围为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏苏州·期末）锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式可得，再由锐角三角形可得，将化简再利用二次函数取得最值条件可得当时，可取得最大值，即可求得结果. 【详解】由利用正弦定理可得， 即可得，又，可得； 又， 所以；因此，即，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， ， 因为，则，由二次函数性质可得，若存在最大值， 则，解得． 【巩固练习2】记锐角的内角的对边分别为，已知． (1)求证：；(2)若，求的最大值． 【答案】(1)见解析；(2). 【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得，然后等量代换出，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【详解】（1）证明：由题知， 所以， 所以, 所以 因为 为锐角，即 ， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）知：， 所以， 因为， 所以， 因为由正弦定理得：， 所以, 所以， 因为 ， 所以， 所以 因为是锐角三角形，且， 所以 ， 所以， 所以， 当时，取最大值为 ， 所以最大值为： . 【题型14】复合图形中的最值问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理解方程可得； （2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 【例题2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. (1)若，求的面积； (2)①求的值；②求的最大值. 【答案】(1) (2)①27；②. 【分析】（1）利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可； （2）①利用余弦定理求解即可； ②在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理得，结合三角函数求解最值即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，， 且是等腰直角三角形，则 （2）①设，因为，由余弦定理可得，， ，即； ②在中，， 由正弦定理可得，则， ，又， 在中，由余弦定理得 （其中为锐角，且）， 由可得， 所以当时，即时，取得最大值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理与勾股定理可得，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，再根据正弦定理可得，进而可得，再结合求解即可. 【详解】（1）在中由余弦定理， 故，则，所以. 又为等边三角形，故，且， 故. （2）不妨设，在中，由余弦定理 ， . 在中，由正弦定理，即，所以. 故 ， 又，所以，所以， 即的面积的取值范围为. 【巩固练习2】（23-24高一下·重庆·期中）如图，在平面四边形中，，对任意实数都有，若为的面积，且，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】要运用向量的平方运算来求最小值，然后得到相等关系，再结合正弦定理可得，利用面积公式可得，由于题目中是求最值，需要引入变量，然后通过正弦定理解二次三角形，就可以得到，再运用三角恒等变换来求出最大值即可. 【详解】， 根据二次函数的最小值为可得： ， 代入和可得： ， 再由正弦定理可得：， 由上面两个式子可得：，即， 又由的面积公式可得：，代入可得， ，可得， 又因为，所以， 设，由可得： ， 在中，由正弦定理可得：， 又在中，由正弦定理可得： ， 代入得： 利用积化和差公式可得：， 当时，即，， 故答案为：. 【巩固练习3】（23-24高一下·广东·期末）如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD． (1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值； (2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足 ①求证：； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可； （2）①应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设, 在中，由余弦定理得, ， 当时，. （2）①在中，由余弦定理, 所以， 再由正弦定理得, , , , , 所以，. ②设，则 由正弦定理可得,所以, 所以 . 当时，的最小值为. 【题型15】实际问题中的最值问题 典型例题 【例题1】某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】(1)10米 (2)ND为米 【详解】（1）由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 【例题2】（23-24高一下·重庆·期中）某公园湖心有一浮动观景亭，湖边一点到观景亭的一座桥长为米.现公园打算升级改造，在湖边选取两个点，，新建两座桥梁，，且.    (1)若为中点，且米，求两座桥梁长度之和的值； (2)若，已知玻璃桥的建设成本为2千元/米，普通桥的建设成本为1千元/米，若用玻璃桥，用普通桥梁，不考虑其他费用支出，请你帮公园规划部计算一下，建设这两座桥梁总预算成本的最大值（单位：千元） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的中线表示，以及余弦定理表示，建立方程，即可求解； （2）根据向量表示，并将预算成本设为，再结合数量积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1） 即得：① 且 得：② 联立①②得：可得： （2）桥梁预算总成本为：，令， ，平方得： 可得：， 由基本不等式，则 所以建设这两座桥梁总预算成本的最大值为千元. 【例题3】（23-24高一下·湖北武汉·期中）为提升城市景观面貌，改善市民生活环境，某市计划对一公园的一块四边形区域进行改造．如图，（百米），（百米），，，，，，分别为边，，的中点，所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道，，，以及两条主干道，．（单位：百米） (1)若，求主干道的长； (2)当变化时， ①证明运动健身区域的面积为定值，并求出该值； ②求4条观景栈道总长度的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析，定值；② 【分析】（1）利用勾股定理得到，根据两角和的余弦公式和余弦定理即可求解； （2）①设，由为中点，易知，利用余弦定理和三角形的面积公式即可求解；②设，，，利用正弦定理、余弦定理和换元法即可求解． 【详解】（1）因为， 所以在直角中，， 所以， 又因为， 所以在等腰直角中，， 所以 ， 所以在中， ， 所以，即主干道的长为百米； （2）①设，由为中点，得， 故， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，所以， 所以， 所以 ，为定值； ②设，，， 因为，，分别为边，，的中点， 所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 由正弦定理， 得， 因为，，为边的中点，所以， 在中，， 由余弦定理得 ， 在中，， 由余弦定理得 ， 令， 因为，，， 所以， 令，在上单调递增，， ， 所以的取值范围为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【答案】 【详解】如图所示： 由题意知：，，设， 则，， 所以， 由于，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 所以当时，可以获得观看的最佳视野. 【巩固练习2】（23-24高一下·广东佛山·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设. (1)若，求边的长； (2)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； (3)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）由余弦定理得出的长. （2）四边形，得出，进而求出结果. （3）分别在和中，用角θ表示出线段和线段的长度，求出最值，即可解出． 【详解】（1）由题意知,,在中，由余弦定理：，解得. （2）由题意可知四边形面积 ，当时，四边形面积最大. （3）在三角形中，由余弦定理可得，， ∴， 在中，， ， ∴当时，取最大值（百米）． 【巩固练习3】（22-23高一下·辽宁锦州·阶段练习）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出， （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值， 此时， ， 故当时，取最大值. 【巩固练习4】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【答案】(1)千米 (2) 【分析】（1）根据题意在由余弦定理可求出AC，再在中由正弦定理求DC即可. （2）根据已知条件、两个三角形和边角的联系建立需求量之间的等量关系，再由面积公式进行推算即可. 【详解】（1），则， 在中，，即， 在中，， 由正弦定理知；，即， 则千米. （2）设，则，在中：， 在中：， 则，得， 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故，故， 故，故， 所以 ， 当等号成立时，，， 此时，故此时为锐角三角形， 即圆心在的内部或边界， 所以. $$