2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《平行四边形》18.1.2平行四边形的判定十大题型

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.1.2平行四边形的判定十大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1、用边、角对角线三个方面判定平行四边形 从边上判定： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义） 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 从角上判定： 4 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从对角线上判定 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 知识点2、三角形的中位线 1. 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 （1）.三角形的中位线是三角形内部的一条线段，它的两个端点是三角形两边的中点。 （2）.三角形的中位线定理是证明线段平行或相等的常用方法之一，解答题目时注意其应用。 （3）.中点三角形①中点三角形的周长是原三角形周长的一半，②中点三角形的面积是原三角形面积的. 题型归纳 【题型1 判断是否能构成平行四边形】 【题型2 添加探究构成平行四边形】 【题型3 求与已知三点构成平行四边形的个数】 【题型4 证明四边形是平行四边形】 【题型5 利用平行四边形的性质判定求解】 【题型6 利用平行四边形的性质和判定证明】 【题型7 平行四边形的性质判定的应用】 【题型8与三角形中位线有关的计算】 【题型9与三角形中位线有关的证明】 【题型10三角形中位线有关的实际应用】 典例精析专练 【题型1 判断是否能构成平行四边形】 【典例1-1】．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 跟踪训练1 1．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 2．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 3．如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意； B.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项B错误，不符合题意； C.若，且，则四边形是平行四边形，故选项C正确，符合题意； D.综上所述，选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 【题型2 添加探究构成平行四边形】 【典例2-1】．在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，或两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形；故选项B符合题意； 当时，四边形是平行四边形； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当，则：，无法判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选B 跟踪训练2 1．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【题型3 求与已知三点构成平行四边形的个数】 【典例3-1】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 跟踪训练3 1．如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题考查平行四边形的判定，线段的平移． 作出图形，结合图形分析即可解答． 【详解】在平面直角坐标系中， 如图，将线段向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，得到，    此时，点C的坐标为； 如图，将线段向下平移2个单位长度，得到，    此时，点D的坐标为； 如图，将线段向上平移2个单位长度，得到，    此时，点E的坐标为． 综上所述，可以作为第四个顶点的是或，． 故选：ABD． 2．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，若建立平面直角坐标系，则图中点A、B的坐标分别为，． (1)请在图中建立满足条件的平面直角坐标系，并写出点C关于x轴对称的点的坐标； (2)你认为是直角三角形吗？并说明理由； (3)网格内是否存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请在网格内画出图形并直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)不是，理由见解析 (3)存在，图见解析， 【分析】本题考查了图形与坐标，涉及根据坐标建立直角坐标系，关于x轴对称的点的特征，勾股定理逆定理，平行四边形的判定，熟练掌握这些方法是解题的关键． （1）根据两点坐标建立坐标系即可，再利用关于x轴对称的点的特征求点的坐标； （2）分别求出，，，利用勾股定理逆定理判定方法判定即可； （3）图中只有以为对角线时，点A、B、C、D为顶点的平行四边形才能在网格内，画出图形即可得． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图： 由图知：， 则点C关于x轴对称的点的坐标为； （2）解：不是直角三角形，理由如下： ， ， ， ∵， ∴不是直角三角形； （3）存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 当以和为对角线时，以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，此时点不在网格内； 当以为对角线时，如图， 此时． 3．如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三个顶点都在网格中的格点上． (1)求 的周长； (2)判断 的形状，并求 边上的高； (3)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1) (2)直角三角形，2 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理求出每条边的长度即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解，再根据等面积法即可求出 上的高； （3）根据平行四边形的定义，画出图形即可． 【详解】（1）解：，， 的周长， （2）解：，，， 故是直角三角形， 设边上的高为h， 即 解得：， 则边 上的高为2； （3）解：D点的位置如下图所示： 【题型4 证明四边形是平行四边形】 【典例4-1】．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到，进而得到，结合，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 跟踪训练4 1．如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质推出，再证出，由即可得出，由全等三角形的性质得出，结合，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ， ， ， 在和中， ； ， ， 四边形是平行四边形． 2．如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ，， ， 在和和中， ， ； （2）因为， 所以， 因为，（或因为，所以）， 所以， 四边形是平行四边形． 3．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型5 利用平行四边形的性质判定求解】 【典例5-1】．如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 跟踪训练5 1．如图，线段与线段交于点O，且，，，连接，．若的最小值是，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．过点A作，且，连接，过点B作于点F，连接，则四边形是平行四边形，进而得，，，，是等腰直角三角形，设，则，根据“两点之间线段最短”得当点B，D，E在同一条直线上时，为最小，最小值为，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，且，连接，过点B作于点F，连接，如图所示： ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， 设， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：当点B，D，E在同一条直线上时，为最小，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 2．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【答案】/7.2 【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质． 【题型6 利用平行四边形的性质和判定证明】 【典例6-1】．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 跟踪训练6 1．已知：互不重合的点、、、按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角． (1)求证：； (2)连接、，若，求证：与互相平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． （1）由可得，再利用即可证得； （2）连接，，，只要证得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ； （2）证明：如图，连接，，， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 2．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接交于点，根据平行四边形对角线互相平分，得到与的数量关系即可证明，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明． （2）根据勾股定理可求出的长度，则可得到和．最后求出的长度即可． 【详解】（1）证明：连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识正确的识别图形是解题的关键． （1）由证明得出， ，由平行线的性质得出，得出，证出，得出，即可得出结论； （2）由（1）得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 平行四边形的性质判定的应用】 【典例7-1】．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 跟踪训练7 1．在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，从而可求出答案； （2）延长到，使得，连接．根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到，，再利用四边形是平行四边形可推出，从而得到四边形是平行四边形，得到，最后根据即可证明． 【详解】（1）解：是等边三角形 ， 又，分别是，的平分线 ，，， 在中，， ， ∴ ∴ 的面积为． （2）证明：如图，延长到点，使，连接 是等腰直角三角形，且，，分别是，的平分线 ， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并正确的作出辅助线是解题关键． 2．如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，先判定四边形是平行四边形．过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质可得出，进而可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理， 得， ∴， 即这个四边形停车位的面积是． 3．如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由． 【答案】图见解析，理由见解析． 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的判定和中点的定义，连接交于点，则点即为所求，再通过平行四边形的判定即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图：连接交于点， ∴点即为所求； 证明：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即点是中点． 【题型8与三角形中位线有关的计算】 【典例8-1】．如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．如图，延长交于点G，根据角平分线和垂线证得，进而得到，，再利用中位线的性质得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴E是的中点， ∵F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 跟踪训练8 1．如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点，    ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 2．在中，点为的中点，过点作于点，若点为的中点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查中位线有关的计算，勾股定理，取中点，连接，，则是中位线，是中位线，得到，，，最后在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，取中点，连接，， ∵点为的中点， ∴是中位线， ∵，， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴是中位线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是， 的中点， ，分别是与的中位线， ，， ， ， ． 【题型9与三角形中位线有关的证明】 【典例9-1】．知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论； 知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论． 【详解】解：知识回顾：由题意可得：与的关系为：，； 知识应用： ，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，      ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴． 跟踪训练9 1．（1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）． （2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线构造全等三角形求解． （1）根据证明，推出，，同理，，然后根据中位线的性质即可得出答案； （2）延长，，与直线分别交于点，，与（1）类似可以证出答案； （3）延长，，与直线分别交于点，，与（1）方法类同即可证出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （2）解：． 证明：如图2，延长，，与直线分别交于点，．    ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （3）解： 如图3，延长，，与直线分别交于点，．    ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． 2．【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）①证明，即可得出结论； ②由得，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）①，，， ， ； ②由①知，， ， ； （2），证明如下： 连接，取的中点，连接， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． （1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证； （2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 【题型10三角形中位线有关的实际应用】 【典例10-1】．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 跟踪训练10 1．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图，先画线段的中点，是上一点．连接，再画的中点； (2)如图，若是线段上一点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再画点，使得四边形为平行四边形． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）根据三角形三条中线交于一点即可画出点，连接，，再根据三角形的中位线性质，即可得出点； （2）取点，连接，，，可得垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接，交于点，根据全等三角形性质，可在连接并延长，交于点，在根据平行四边形的性质，连接并延长交的延长线于点． 【详解】（1）解：如图，根据直线与网格的交点，可得的中点为，的中点为，连接交于点， ∵三角形三条中线交于一点，连接，并延长交于点， ∴点为线段的中点， 连接， ∵的中点为，的中点为， ∴连接交于点，即为的中位线，点为的中点． （2）解：如图，取点，连接，，， 结合网格可得：，， ∴， ∵， ∴结合网格可得垂直平分，交于点， 连接并延长，交于点，连接，交于点，再连接并延长，交于点， 易证， ∴， ∵垂直平分，点为上的点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 连接并延长交的延长线于点， ∵结合网格易得，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.1.2平行四边形的判定十大题型 知识要点归纳 知识点1、用边、角对角线三个方面判定平行四边形 从边上判定： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义） 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 从角上判定： 4 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从对角线上判定 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 知识点2、三角形的中位线 1. 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 （1）.三角形的中位线是三角形内部的一条线段，它的两个端点是三角形两边的中点。 （2）.三角形的中位线定理是证明线段平行或相等的常用方法之一，解答题目时注意其应用。 （3）.中点三角形①中点三角形的周长是原三角形周长的一半，②中点三角形的面积是原三角形面积的. 题型归纳 【题型1 判断是否能构成平行四边形】 【题型2 添加探究构成平行四边形】 【题型3 求与已知三点构成平行四边形的个数】 【题型4 证明四边形是平行四边形】 【题型5 利用平行四边形的性质判定求解】 【题型6 利用平行四边形的性质和判定证明】 【题型7 平行四边形的性质判定的应用】 【题型8与三角形中位线有关的计算】 【题型9与三角形中位线有关的证明】 【题型10三角形中位线有关的实际应用】 典例精析专练 【题型1 判断是否能构成平行四边形】 【典例1-1】．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【题型2 添加探究构成平行四边形】 【典例2-1】．在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 3．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【题型3 求与已知三点构成平行四边形的个数】 【典例3-1】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 跟踪训练3 1．如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，若建立平面直角坐标系，则图中点A、B的坐标分别为，． (1)请在图中建立满足条件的平面直角坐标系，并写出点C关于x轴对称的点的坐标； (2)你认为是直角三角形吗？并说明理由； (3)网格内是否存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请在网格内画出图形并直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三个顶点都在网格中的格点上． (1)求 的周长； (2)判断 的形状，并求 边上的高； (3)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【题型4 证明四边形是平行四边形】 【典例4-1】．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 跟踪训练4 1．如图，与的边，在同一条直线上，，且，求证：四边形是平行四边形． 2．如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 3．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【题型5 利用平行四边形的性质判定求解】 【典例5-1】．如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．如图，线段与线段交于点O，且，，，连接，．若的最小值是，则线段的长是 ． 2．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 3．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【题型6 利用平行四边形的性质和判定证明】 【典例6-1】．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 跟踪训练6 1．已知：互不重合的点、、、按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角． (1)求证：； (2)连接、，若，求证：与互相平分 2．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段长． 3．如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【题型7 平行四边形的性质判定的应用】 【典例7-1】．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 跟踪训练7 1．在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 2．如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 3．如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由． 【题型8与三角形中位线有关的计算】 【典例8-1】．如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 跟踪训练8 1．如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 2．在中，点为的中点，过点作于点，若点为的中点，，，则的长为 ． 3．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【题型9与三角形中位线有关的证明】 【典例9-1】．知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 跟踪训练9 1．（1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）． （2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． 2．【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 3．[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【题型10三角形中位线有关的实际应用】 【典例10-1】．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（      ） A． B． C． D． 跟踪训练10 1．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图，先画线段的中点，是上一点．连接，再画的中点； (2)如图，若是线段上一点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再画点，使得四边形为平行四边形． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$