河南省信阳高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期03月测试（一） 数学试题 命题人： 审题人： 一、单选题（此题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设，是平面内所有向量的一个基底，期下面四组向量中，不能作为基底的是 A．与 B．与 C．与 D．与 2．“”是“函数在上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为    A． B． C． D． 4．在中，是上一点，，是线段上一点，，则 A． B． C． D． 5．已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点 A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 6． A．2 B．4 C． D． 7．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为 A． B． C． D． 9．已知向量满足，则下列结论正确的有 A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 二、多选题（此题共3小题，每小题6分，共18分） 10．已知函数，则 A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．是的一个周期 D．的最小值为 11．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是 A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根 B．当时，恒有 C．若当时，的最小值为1，则 D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则 三、填空题（此题共3小题，每小题6分，共18分） 12．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为 ． 13．若“关于的方程在内都有解”是真命题，则的取值范围是 ． 14．若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（此题共5小题，共77分） 15．（13分）设是不共线的两个非零向量． （1)若，求证：三点共线； （2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 16．（15分）已知的内角的对边分别为，点在边上，且满足． （1)若，证明：； （2)若，求． 17．（15分）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. （1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； （2)求修建道路的总费用的最小值. 18．（17分）已知函数是奇函数． （1)求实数的值； （2)判断的单调性（不要求证明）； （3)对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 19．（17分）设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1)若，求的“准不动点”： （2)若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3)设函数若使得成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期03月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C B D A ABD BC AC 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得， ， 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，因此， 解得，或， 实数k的值是. 当时，与反向共线 16．(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据正弦定理，在中，由得，在中，由得，结合可得结论； （2）方法一：由条件结合正弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，结合可得关系式，由余弦定理可得答案． 方法二：因为，所以，平方可得．由余弦定理得，整理得．因为，由正弦定理得，从而可得关系式，由余弦定理可得答案． 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由正弦定理得， 由题意得，所以． 因为，所以由正弦定理，得， 所以    （2）方法一：因为，所以由正弦定理得． 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得． 因为，所以． 所以，整理得， 所以，解得或． 当时，，所以； 当时，，所以． 所以或． 方法二：因为， 所以． 因为，所以， 即①． 由余弦定理，得②， 由①②整理得． 因为，所以由正弦定理，得． 所以，解得或． 当时，，所以； 当时，，所以． 综上所述，或． 17．(1) (2)80万元 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 18．(1) (2)函数是增函数 (3) 【分析】（1）利用可求出，再验证即可； （2）根据复合函数单调性的判断方法可得答案； （3）整理得，令，转化为利用单调性求可得答案． 【详解】（1）函数是奇函数， ，即， ，所以，且， ，即是奇函数； （2）函数是增函数，理由如下， 时，因为、是单调递增函数， 根据复合函数单调性的判断方法可得函数是增函数， 又因为是奇函数，所以函数在上是增函数； （3）函数是增函数也是奇函数，则， ，即时恒成立， 所以，即，整理得， 令，根据指数函数单调性得，与都是减函数，所以也是减函数， 原问题等价于在上恒成立， 所以，只需． 即实数的取值范围是． 19．(1)0或1； (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【详解】（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. $$