精品解析：2025届河北省秦皇岛市昌黎第一中学高三下学期英才班一轮中期检测（一模）数学试卷

数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中（ ） A. 前三项系数之和为112 B. 二项式系数最大的项是第3项 C. 常数项为240 D. 所有项的系数之和为1 10. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点中心对称 11. 已知椭圆为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，延长，交椭圆于点，且为椭圆的左顶点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若，则椭圆的离心率为 C. D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个. 13. 在 中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 14. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为__________；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 （1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性. （2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量； 参考数据：.参考公式：. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. （1）求双曲线的方程. （2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点. （i）证明：. （ii）求的取值范围. 19. 若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和. （1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到. （2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值. （3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由题意可知，故， 故选：A 2. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增， 故对称轴，则，解得， 故选：C 3. 已知单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得，，，再由夹角公式即可求解； 【详解】因为，，， 所以， ， ， 所以， 故选：D 4. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据调和数列的和的公式，利用对数的运算性质，代值估算即得. 【详解】因， 则得， 又因， 故， 于是， 故. 故选：D. 5. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移可得的表达式，进而利用整体法即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，， 由于，所以， 要使在上的值域为，则且， 解得， 故选：B 6. 已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆，即， 且圆与轴相切于点，故， 所以， 设动点，满足，则， 则，即， 故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上， 且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得：，即. 故选：C 7. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高，根据勾股定理求解，即可利用体积公式求解. 【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，设圆台的母线为，则侧面积为，故， 则圆台的高， 依题意画出轴截面， 记外接球球心到上底面的距离为， 则，解得， 故两个体积之比为 故选：D 8. 若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将恒成立和存在问题转化最值问题，然后对的范围分类讨论，结合函数的单调性和最值求解即可. 【详解】恒成立，即恒成立， ，设， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故， 当时，且， 由的单调性知，在上单调递减，上单调递增， ， 此时若存在正实数，，使恒成立， 即存在正实数，使，故. 当时，故恒成立，即恒成立， 因为，故此时不存在正实数满足条件. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于将不等式恒成立转化为正实数一直在两个函数值之间，即，然后结合两个函数的单调性求解即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中（ ） A. 前三项系数之和为112 B. 二项式系数最大的项是第3项 C. 常数项为240 D. 所有项的系数之和为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，根据选项要求逐一分析计算即得. 【详解】的展开式的通项为，， 对于A，由通项可得，前三项系数之和为，故A正确； 对于B，因二项展开式有7项，故二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误； 对于C，在通项中，使，解得，故常数项为，故C正确； 对于D，在中，令，即得所有项的系数之和为1，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用抽象函数的赋值法即可判断选项ABC,利用函数的值域和对称性即可判断选项D. 【详解】对于A，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故，故A错误； 对于B，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故， 令则，故，或， 因为的值域为，故，故，故B正确； 对于C，令则，故， 故C正确； 对于D，的值域为，故的图象不可能关于点中心对称，故D错误. 故选：BC 11. 已知椭圆为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，延长，交椭圆于点，且为椭圆的左顶点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若，则椭圆的离心率为 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，则，故，则利用与离心率公式即可得解；对于B，设，，接着利用和结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，根据三角形中位线即可得解；对于D，设，则，根据已知条件求出和中点，再利用点关于直线对称的理论列式求出即可得解. 【详解】因为， ，所以与全等， 所以，且为的中点， 连接，所以与全等， 所以，， 对于A，若，则， 所以，则，所以， 所以，故A错误； 对于B，设，则，且即， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由题意可知是的中位线，故，故C正确； 对于D，设点，则直线， 因为直线平行于x轴，所以点的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即， 因此，故D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个. 【答案】7 【解析】 【分析】结合子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 13. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得最小值，然后利用余弦定理得，由得，利用辅助角公式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由有 所以， 又由，所以， 因为， 所以 故答案为：. 14. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为__________；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________. 【答案】 ①. 64 ②. 【解析】 【分析】由题根据分步计数乘法原理，即可确定顶点个数；由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解． 【详解】（1）对于维坐标，， 所以共有种不同的点，即共有个顶点． （2）①对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种， 所以， 则的分布列为： 1 2 6 所以，， . 故答案为：64， 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 （1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性. （2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量； 参考数据：.参考公式：. 【答案】（1）可以用线性回归模型拟合与的关系. （2），估计该市2026年新增燃油车5.14万辆. 【解析】 【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数的性质分析理解； （2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：， 则 ， 因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 由题意可得：，， 则，当时，， 所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有2个零点，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由可得 由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则（，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间，即可根据极值求解. （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【小问1详解】 由可得， ，， 故切线方程为，即 【小问2详解】 函数定义域为，， 当时，，此时在上单调递减；此时至多有一个零点，不符合题意，舍去， 当时，令，得， 此时在上，在单调递增， 在上，在单调递减， 当， 故要使有两个零点，则需要，解得 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. （1）求双曲线的方程. （2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点. （i）证明：. （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （i）设， 联立，则， 所以，即， 且， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求出，进而得离心率； （2）（i）设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得的中点为，进而结合题意列出方程即可求证； （ii）由（i）易得，，，结合弦长公式、两点间距离公式及正切函数的定义可得的取值范围，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示，    则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，， 则，， 则，， 则，解得， 又 ， 则, 又， 则，即， 又，则的取值范围为. 19. 若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和. （1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到. （2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值. （3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有. 【答案】（1） 因数列为“2阶归化数列”，则， 则或， 因且欲使尽可能的大，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，此时， 故，且等号在时取到. （2）； （3） 因正项数列为“阶归化数列”，则，即， 现用数学归纳法证明：对于任意的，均有. 因，则 假设当时有， 则当时有， 故对于任意的，均有. 【解析】 【分析】(1)欲使，则只需找寻的最大值，故而选择即可； (2)因，故而数列不可能仅满足，因此先解决特殊情况，即数列仅满足，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生； (3)采用数学归纳法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因数列为“16阶归化数列”， 则， 则或， 若满足，则数列为递增数列； 若，则，则，则数列为周期数列， 即奇数项为，偶数项为. ①若对任意恒成立，则， 此时. ②存在为偶数且，使得，则第项之后的项 ， 其中，，值为或， 故. 存在为奇数且，使得，则 ， 其中，值为或， 故. 则若存在使得，则将变大或变小， 综上，的值只可能为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛： (1)抓住关键点，故而探寻的最大值； (2)由已知信息抓住关键点，数列不可能仅满足，因此考虑是否可以仅满足，得出满足题意的答案，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生； (3)正面证明无法说明任意性，故而采用数学归纳法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $