精品解析：上海市建平中学西校2024-2025学年下学期第一次月考九年级数学试卷

上海市建平西校2024-2025数学初三下第一次月考试卷 一、选择题（18分） 1. 下列语句中正确的是（　　） A. 直径是经过圆心的直线 B. 经过圆心的线段是半径 C. 半圆是弧 D. 以直径为弦的弓形是半圆 2. 下列命题中正确的是（　　） A. 垂直于弦的直线平分这条弦 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D. 平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弦相等 B. 相等弦所对的圆心角相等 C. 同圆中，相等弦所对的弧相等 D. 等弧所对的弦相等 4. 下列说法中正确是（　　） A. 经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B. 经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C 经过三个定点，只能作一个圆 D. 经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 5. 若⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是（ ）． A. d＞R B. d＜R C. d≥R D. d≤R 6. 如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 二、填空题（24分） 7. 在半径为圆中，的圆心角所对的弦长为______． 8. ⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ ________度． 9. 在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是______ 10. 在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，如果大圆的弦长为，那么这两个圆所形成的圆环面积为_____． 11. 在中．直径的长为12厘米，是弦的弦心距，与相交于E，那么的长为_____厘米 12. 已知弓形的弦长为30，半径为17，那么弓形的高为_______． 13. 已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 _________． 14. 如果与内切，的半径是、，那么的半径为________ 15. 已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是_________． 16. 已知与相交于点A、B，，，的半径为5，那么的半径为__________ 17. 如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径r的取值范围是_____． 18. 如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为__________． 三、解答题（58分） 19. 如图2，在中，，是高，，正切值为2．点E在以B为圆心为半径的弧上，，求的值． 20. 已知：如图，在中，弦，、分别是、的中点．求证：． 21. 已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P点，OD⊥AB于点，PE⊥AC于点E． （1）求的值： （2）如果⊙O和⊙P的半径比为3:5，求的值． 22. 如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米． （1）求桥拱所在圆的半径长； （2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度． 23. 已知：如图，、是的两条弦，且，D是延长线上一点，连接并延长交⊙O于点E，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是菱形． 24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 25. 在半径为4的中，点是以为直径的半圆的中点，，垂足为，点是射线上的任意一点，，与相交于点，设，． （1）如图1，当点在射线上时，求y关于x函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）如图2，当点在上时，求线段的长； （3）如果以点为圆心、为半径的圆与相切，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市建平西校2024-2025数学初三下第一次月考试卷 一、选择题（18分） 1. 下列语句中正确的是（　　） A. 直径是经过圆心的直线 B. 经过圆心的线段是半径 C. 半圆是弧 D. 以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关概念，掌握直径、半径、半圆和弧、弓形的定义是解题关键．由直径是线段不是直线，可判断A选项；根据经过圆心的线段两个端点不一定在圆和圆心上，可判断B选项；根据半圆是直径所对的弧，弓形是由弦及其所对的弧组成，可判断C、D选项． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误； B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误； C、半圆是弧，选项正确； D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误； 故选：C． 2. 下列命题中正确的是（　　） A. 垂直于弦的直线平分这条弦 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D. 平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，垂径定理的运用，理解垂径定理及其推论是解题关键．根据垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，逐项分析即可． 【详解】解：A、垂直于弦的直线不一定平分这条弦，原命题是假命题，不符合题意； B、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意； C、平分弧的直线不一定垂直于弧所对的弦，原命题是假命题，不符合题意； D、平分弦所对两条弧的直线平分这条弦，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弦相等 B. 相等弦所对的圆心角相等 C. 同圆中，相等弦所对的弧相等 D. 等弧所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，圆的基本性质，掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解题关键．根据圆心角和弦的关系需要在同圆或等圆的条件下成立，可判断A、B选项；根据同圆中，一条弦所对的弧有两条，可判断C选项；根据在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，可判断D选项． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原命题是假命题，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意； C、同圆中，相等弦所对的优弧和劣弧分别相等，原命题是假命题，不符合题意； D、等弧所对的弦相等，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 4. 下列说法中正确的是（　　） A. 经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B. 经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C. 经过三个定点，只能作一个圆 D. 经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 若⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是（ ）． A. d＞R B. d＜R C. d≥R D. d≤R 【答案】D 【解析】 【分析】直线l与⊙O有公共点，则可得圆与直线相交或相切，根据圆和直线的位置关系，可以得出d与R的大小关系. 【详解】∵直线l与⊙O有公共点， ∴直线l与⊙O相交或相切. ∵圆心到直线l的距离是d， ∴可得d≤R. 故选D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的知识，解决本题的关键是熟记位置关系及名称. 在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离d和圆的半径r，然后再利用d与r的大小关系进行判断.直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交. 6. 如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用两圆之和一定大于两圆的圆心距可判断这两个圆不可能外离． 【详解】解：∵r＞1， ∴2＜3＋r， ∴这两个圆的位置关系不可能外离． 故选C． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R＋r；②两圆外切⇔d＝R＋r；③两圆相交⇔R−r＜d＜R＋r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R−r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R−r（R＞r）． 二、填空题（24分） 7. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形性质、解直角三角形，解题的关键是掌握垂径定理．设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则由垂径定理得到，再利用等腰三角形的三线合一得到 ，在中，利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则， 由题意，，， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 8. ⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ ________度． 【答案】120 【解析】 【分析】设圆的半径为a，由AC＝3BC可求出OE=OB=2OC，因此∠OEC=30°；再根据垂径定理便可解答； 【详解】解：如图， 设圆半径为a，则2a=AC+BC=4BC，BC=a， ∴OC=BC=a， ∵OE=OB=2OC，∠OCE=90°， ∴∠OEC=30°， ∴∠COE=60°， 由垂径定理可得：∠EOF=2∠COE=120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形；垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；掌握垂径定理是解题关键． 9. 在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心，角平分线的判定定理，三角形内角和定理，根据题意得出点是的内心是解题关键．本题考查了点为与的交点，过点作，，，由题意可得，进而得出和分别平分和，再利用角平分线定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点为与的交点，过点作，，， 截三边所得的线段相等， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10. 在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，如果大圆的弦长为，那么这两个圆所形成的圆环面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线的性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．令大圆的弦与小圆相切于点，连接并延长交大圆于点，连接，由圆的切线的性质和垂径定理可得，设大圆的半径为，小圆的半径为，根据勾股定理，得到，再利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，令大圆的弦与小圆相切于点，连接并延长交大圆于点，连接， 与小圆相切于点， ， ， ， 设大圆的半径为，小圆的半径为， 由勾股定理得：， ， 圆环面积为， 故答案为：． 11. 在中．直径的长为12厘米，是弦的弦心距，与相交于E，那么的长为_____厘米 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．连接，利用垂径定理易证是的中位线，得到，，再证明，从而推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是弦的弦心距， ， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， 直径的长为12厘米， 厘米， 厘米， 故答案：4． 12. 已知弓形的弦长为30，半径为17，那么弓形的高为_______． 【答案】9或25##25或9 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确画出草图、根据垂径定理得到直角三角形是解题的关键． 先根据题意画出草图，则，再根据垂径定理求出、，再根据勾股定理求半出即可． 【详解】解：根据题意画草图如下：则， 过点O作的垂线，垂足为C，交于D，则． ∵， ∴． 在中，， 由勾股定理，得，即，解得：或25． ∴弓形的高为9或25． 故答案为：9或25． 13. 已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 _________． 【答案】6或30 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析判断是解题的关键． 如图，首先求出、的度数，进而求出的度数即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵是内接正十边形的一边， 是的内接正十五边形的一边， ∴，， 当点C在外时，； 当点C在上时，； 即以为边的内接正多边形的中心角的度数为或． ∴多边形的边数为6或30． 故答案为：6或30． 14. 如果与内切，的半径是、，那么的半径为________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据与的位置关系分两种情况讨论：当在内部时；当在内部时，利用两圆内切时，圆心距等于两圆半径差分别求解即可． 【详解】解：设的半径为， 当在内部时，，解得：； 当在内部时，，解得：； 综上可知，的半径为或， 故答案为：或． 15. 已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是_________． 【答案】15°或75° 【解析】 【分析】分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别D、E，根据垂径定理和勾股定理可得． 【详解】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E． ∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得 , 根据特殊角的三角函数值可得∠AOE＝60°，∠AOD＝45°， ∴∠BAO＝45°，∠CAO＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BAC＝45°+30°＝75°， 或∠BAC′＝45°﹣30°＝15°． 故答案为：15°或75°． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况． 16. 已知与相交于点A、B，，，的半径为5，那么的半径为__________ 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了两圆的位置关系，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键．分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在左侧时，连接，，，，延长交于点C，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为； 当在右侧时，连接，，，，延长交于点C，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为； 综上分析可知：的半径为或． 故答案为：或． 17. 如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径r的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，⊙O1与⊙O2内含，则可知两圆圆心距，据此代入数值求解即可． 【详解】解：根据题意，两圆内含， 故， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键． 18. 如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AD，AC，BO，则AD过B，AC过O，得出等边三角形ABO，求出∠A、∠DBO、∠COB的度数，根据弧长公式求出三段弧的长，相加即可. 【详解】如图所示：设三个圆的圆心为A，B，O，连接AD，AC，BO， 则AD过B，AC过O 且AB= BO= AO= 2，即三角形ABO是等边三角形，∠A=∠ABO=∠ AOB = 60°， ∴∠OBD=∠BOC = 120°， 两个小弧长是：， 弧DC长是 阴影部分的周长是:π+2× 故答案为： 【点睛】本题考查了相切两圆的性质，等边三角形的性质和判定，弧长的计算等知识点的运用，关键是构造扇形后能根据弧长公式求出每段弧的长，主要培养了学生的计算能力，题型较好. 三、解答题（58分） 19. 如图2，在中，，是高，，的正切值为2．点E在以B为圆心为半径的弧上，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质、矩形的判定与性质，先根据同角的余角相等得到，利用正切定义得到，，进而可得，过B作交延长线于O，证明，四边形是矩形，得到，在中，求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，是高， ∴， ∴， 在中，，的正切值为2， ∴，则， 在中，由得， ∴， ∵点E在以B为圆心为半径的弧上， ∴， 过B作交延长线于O， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 20. 已知：如图，在中，弦，、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是正确的将证明弦心距转化为证明两弦相等．利用同圆或等圆中相等的弦相等证明可得，进而得到，从而可得，进而得到；即可得证． 【详解】证明：连接，，，， 点、是、的中点， ，， ， 又， ， ， 即． 21. 已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P点，OD⊥AB于点，PE⊥AC于点E． （1）求的值： （2）如果⊙O和⊙P的半径比为3:5，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得AD=AB、AE=AC，然后根据线段的和差求得DE和BC并代入即可解答； （2）连接OP、 OB、CP，然后说明一系列角相等，证明OB//PC，然后判定△BOA∽△CPA，最后利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC， ∴AD=AB， AE=AC， ∴； （2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP， ∵OB=OA，PA=PC ∴∠OBA=∠OAB=∠PAC=∠PCA， ∴OB//PC， ∴△BOA∽△CPA， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理和相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理和相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 22. 如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米． （1）求桥拱所在圆的半径长； （2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度． 【答案】（1）桥拱所在圆的半径长为5米；（2）水面上升的高度为1米 【解析】 【分析】（1）根据点D是 中点， 知C为AB中点，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半径． （2） 设OD与EF相交于点G，联结OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，进而找出EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根据勾股定理求出x即可． 【详解】解：（1）∵点D是 中点，， ∴AC＝BC，DC经过圆心， 设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O， ∵AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2， ∵OD⊥AB， ∴∠ACO＝90°， 在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2， ∴R2＝（R﹣2）2+42， 解之得R＝5． 答：桥拱所在圆的半径长为5米． （2）设OD与EF相交于点G，联结OE， ∵EF∥AB，OD⊥AB， ∴OD⊥EF， ∴∠EGD＝∠EGO＝90°， 在Rt△EGD中， ， ∴EG＝3DG， 设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x， ∴EG＝6﹣3x， 在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2， ∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52， 化简得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1， 答：水面上升的高度为1米． 【点睛】此题是关于圆的综合性试题，包含的知识点有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定难度． 23. 已知：如图，、是的两条弦，且，D是延长线上一点，连接并延长交⊙O于点E，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定等知识点，综合运用知识点进行推理是解题关键． （1）连接、、，根据题意得出垂直平分，即可证明； （2）先证明，再利用等腰三角形的判定和性质得到，结合（1）所得结论即可证明． 【小问1详解】 证明：如图，连接、、， 、是的两条弦，且，， 垂直平分， 点D是延长线上一点， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，，， ， 四边形是菱形． 24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线上，且以点P为圆心圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）证明见解析；（3）P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）． 【解析】 【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标； （2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然； （3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作于H，表示出PH的长度，在Rt△APE中用勾股定理列出方程，解之即得答案． 【详解】解：(1)∵抛物线经过点A(−1,0)和点C(0,3)， 对称轴为直线x=1，顶点M(1，4)； (2)如图1， ∵点C关于直线l的对称点为N， ∴N(2，3)， ∵直线y=kx+b经过C，M两点， ∴ ∴ ∴y=x+3， ∵y=x+3与x轴交于点D， ∴D(−3,0)， ∴AD=2=CN 又∵ADCN， ∴CDAN是平行四边形； (3)设P(1，a)，过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2， 则MP=4−a， 又 Rt△APE中, 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、求抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题往往转化为点到直线的距离与半径相等来解决． 25. 在半径为4的中，点是以为直径的半圆的中点，，垂足为，点是射线上的任意一点，，与相交于点，设，． （1）如图1，当点在射线上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）如图2，当点在上时，求线段的长； （3）如果以点为圆心、为半径的圆与相切，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）连接，由得是的中点，则也是的中点，，在中，由勾股定理得出与之间的关系． （2）连接，由求得，再求得，则即可求出． （3）此题需分两种情况：当与外切于点时，当与内切于点时及当与内切于点时分别求出的值． 【小问1详解】 解：连接． ∵在中，是的弦，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵点是以为直径的半圆的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当点在上时，连接． ∵， ∴， ， ∴， ∴， ． 【小问3详解】 解：当与外切于点时，． ， ， （舍去）， ； 当与内切于点时，． ， ， （舍去）， ； 当与内切于点时，． ， ， （舍去）， ． 综上，或或． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，弧与圆心角的关系，勾股定理，相切两圆的位置关系，解一元二次方程，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，还用到了分类讨论的数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$