精品解析：安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年阜阳三中高二年级第一学期期末考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修一，选择性必修二，选择性必修三6.1. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 则，可得，且， 又因为，可得， 由可知，所以. 故选：C. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 3. 房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】使用间接法，计算出所有情况总数减去不开灯的情况总数即可得. 【详解】每盏灯都有开或不开两种情况，故共有种情况， 其中不开灯的情况共有1种， 则至少开1盏灯的情况有种. 故选：C. 4. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以， 故，则， 所以， ， 因此， 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 6. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 由直线上的点向圆引切线，切点为A， 则. 要使切线长最小，则最小，此时. 所以切线长的最小值为． 故选：B. 7. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，表示向量，由可求的值. 【详解】因为 ． 由四点共面，所以． 故选：C． 8. 设函数．若，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，在上单调递增.要想满足，则与有相同的零点，则，，那么，设，利用导函数得到的单调性与最小值，即为的最小值 【详解】由题可得，函数的定义域为，， 则函数和在上符号相同， 又与在上单调递增，所以若恒成立，则与一定会有相同的零点， 即，，即，， 所以． 设，则． 令，解得或（舍）． 令，解得， 所以函数在上单调递增； 令，解得，所以函数在上单调递减， 所以， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】方法点睛：观察题目，可以看作两个函数相乘大于或等于0恒成立，解答题目时，可以将原问题转化为两函数共零点的问题，利用数形结合思想解题． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 若数列前项和为，满足，其中、，则称是数列，则下面选项正确的是（ ） A. 若，则是数列 B. 若，则是数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题中定义、等差中项法、等比中项法逐项判断即可. 【详解】对于A，由可得，等式两边同时取倒数，可得， 所以，所以是数列，故A错误； 对于B，由可得，所以， 即有， 所以是数列，故B正确； 对于C，已知数列，则有， 当时，，， 两式相减得， 又，所以， 即， 整理得， 又，所以，所以是等差数列，故选项C正确； 对于D，因为数列是数列，所以， 所以，． 当时，（i），（ii）， （i）（ii）可得， 因为，所以， 所以，整理可得， 又，所以等比数列，故选项D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨数列的周期，进而求出所求值. 【详解】数列中，，由，得，则， 因此数列是以2为周期的周期数列，， 所以，. 故答案为： 13. 函数的极小值点为，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】对求导，得到，由题设可得或，再进行检验，即可求解. 【详解】因为，得到， 由题知，解得或， 当时，， 由，得到或，由，得到， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时是极大值点，不合题意， 当时，，由，得到或，由，， 则f(x)在上单调递增，在上单调递减， 此时是极小值点，符合题意， 故答案为：. 14. 设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先向量坐标化，求得，再根据等面积公式和双曲线的定义，即可求解，再根据两点间的距离公式求得点的坐标，代入双曲线方程后，即可求解离心率. 【详解】设，，由对称性不妨设点在第一象限，此时点也在第一象限， 因为，所以，， 所以，又， 解得：，， 所以， 所以,解得：，所以， 代入双曲线方程得，解得：，， 所以离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求点的坐标. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）1 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，再根据切线过点，可求的值. （2）求导，在函数的定义域内讨论导函数的符号，确定函数的单调区间. 【小问1详解】 由，有，， 可得曲线在点处的切线方程为， 整理为， 代入原点，有，可得， 故实数的值为1. 【小问2详解】 由，. ①当时，在上恒成立，可得函数的增区间为，没有减区间； ②当时，令，可得，故函数的减区间为，增区间为. 综上可知，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 16. 已知数列，，其中，是各项均为正数的等比数列，满足，，且． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法，基本量代换求出数列，的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以．所以，所以， 所以．所以， 所以，． 【小问2详解】 ， 所以， ， 所以 . 所以． 17. 如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点O，连接，，． 四边形为平行四边形， 又因为，，所以为等边三角形， 所以，． 在中，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，取的中点O，连接，，，可先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，． ，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为． ，即，令，得． ，即，令，得． ，则， 故二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，且的周长为.设的中点为为坐标原点，直线与直线相交于点. （1）求椭圆的标准方程. （2）是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）求的正弦值的最大值. 【答案】（1） （2）存在，或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及椭圆定义列方程组计算得出椭圆标准方程； （2）先设直线方程，再联立方程得出韦达定理，再结合弦长公式计算化简求参即可； （3）应用，得出正切值，，最后应用两角和的正切公式计算求值即可 【小问1详解】 由题意， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 显然的斜率不为0，设的方程为， 联立，得， ， ， ，直线的方程为，从而， ， 若为等腰三角形，则， 又， 存在直线使得为等腰三角形，此时的方程为或. 【小问3详解】 由（2）知，， ，同理， ， 当且仅当时取等号，最大值时，取最大值， 最大值时有， ，即的正弦值的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是结合两角和的正切公式结合值域化简得出最大值即可. 19. 已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”． （1）设函数． （i）当时，求在上的最大“Ω点”； （ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； （2）设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 若在D上的“Ω点”个数为，则，符合要求； 若在D上的“Ω点”个数为，令在D上的“Ω点”分别为、、、， 其中、，、、、， 若， 则若，由，则，即， 若，由题意，，， 故，即，又，故，符合要求； 若， 则，，，， 由，则， 若，即，则， 若，由题意，，且， 又，故，即，，，， 即有，即， 由，故， 又，故， 即在D上的“Ω点”个数不小于. 【解析】 【分析】（1）（i）由题意可得对，，当时，都有，即可结合导数研究单调性后取最大值点即可得； （ii）由题意可得在时恒成立，借助导数分、、及讨论函数单调性即可得； （2）分“Ω点”个数为，及大于等于进行讨论，结合，从而得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 【小问1详解】 （i）当时，， 则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即对，，当时，都有， 即在上的最大“Ω点”为； （ii）由题意可得在时恒成立， ， 令，， 则， 当时，恒成立，故在上单调递减， 则， 故在上单调递减，此时，符合要求； 当时，令，则， 则当，即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 有，不符合要求，故舍去； 当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减， 此时，符合要求； 当，即时， 若，，若，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则若需恒成立，有，解得， 由，故， 由，故， 即当时，符合要求； 综上所述，； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，结合定义得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年阜阳三中高二年级第一学期期末考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版选择性必修一，选择性必修二，选择性必修三6.1. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 4. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数．若，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 方向上的单位向量坐标是 C. 是平面ABC的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 若数列前项和为，满足，其中、，则称是数列，则下面选项正确的是（ ） A. 若，则是数列 B. 若，则是数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，且，则________． 13. 函数的极小值点为，则实数的值为______. 14. 设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； （2）讨论函数的单调性. 16. 已知数列，，其中，是各项均为正数的等比数列，满足，，且． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，且的周长为.设的中点为为坐标原点，直线与直线相交于点. （1）求椭圆的标准方程. （2）是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）求的正弦值的最大值. 19. 已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”． （1）设函数． （i）当时，求在上的最大“Ω点”； （ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； （2）设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $