高一第二学期第一次月考卷01（考试范围：三角函数+平面向量+解三角形）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

高一第二学期第一次月考卷01 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（三角函数+平面向量+解三角形） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 2．.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 5．若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 6．已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．设向量是三个非零向量，若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在中，，，的内角平分线交于点，过作于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，是不共线的单位向量，其夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，若在上的投影向量为，则 . 13．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 14．已知函数，有两个不同的零点，则m的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 16．已知函数. (1)求的最小正周期及的值； (2)为了得到的图像，需将正弦函数的图像进行怎样的变换？（写出一种即可） (3)求在上的单调递减区间. 17．在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 18．如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 19．如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二学期第一次月考卷01 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（三角函数+平面向量+解三角形） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由，，，得，， 又，所以，解得. 故选：A. 2．.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得， ∴． 故选：A． 3．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】因为中，，由正弦定理得，所以； 由，由正弦定理得，所以； 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故选：D 5．若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 6．已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， 则， 因为在上有最大值没有最小值，所以，， 又因为的图象关于直线对称，则，， 解得，，所以当时，符合要求. 故选：D． 7．设向量是三个非零向量，若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】均为单位向量，不妨设， 故， ， 当且仅当同向共线时，等号成立， 即三个向量同向共线时，最大，最大值， 又，当三个向量两两成时， ，故等号成立， 故的取值范围为. 故选：A． 8．如图，在中，，，的内角平分线交于点，过作于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由， 在中，由正弦定理得：， 又由的内角平分线交于点，可知， 所以， 在中，有， 所以有， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，是不共线的单位向量，其夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则， 得到，对照系数得，，显然不成立，故A错误， 对于B，若，则，得到， 即，而，是不共线的单位向量， 故，得到，解得，故B正确， 对于C，当时，，， 显然满足，故C正确， 对于D，当时，，， 则，故D正确. 故选：BCD. 10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 【答案】ABC 【详解】由，可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，故A正确； 若的周长为6，内切圆半径为，所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，解得， 所以，又，解得，所以为正三角形，故B正确； 当时，满足，有两解， 所以，即，有两解，故C正确； ， 又，即，又， 所以，解得或， 所以，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，若在上的投影向量为，则 . 【答案】 【详解】在上的投影向量为， 故，即，故，则. 故答案为： 13．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 【答案】 【详解】 过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 14．已知函数，有两个不同的零点，则m的最大值为 . 【答案】 【详解】令，因为，所以， 所以，所以， 所以， 令，解得：或，如图所示，    因为在上的前两个根分别为， 在上的前两个根分别为， 因为函数在有两个不同的零点， 所以，所以m的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 16．已知函数. (1)求的最小正周期及的值； (2)为了得到的图像，需将正弦函数的图像进行怎样的变换？（写出一种即可） (3)求在上的单调递减区间. 【答案】(1)最小正周期， (2)详见解析 (3) 【详解】（1）最小正周期，； （2）的图象向左平移个单位得到函数， 的图象上所有点的横坐标缩短到原理的（纵坐标不变），得到， 函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到. （3），则， 当时，， 所以函数在上的单调递减区间是. 17．在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，， 由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. （2）因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 18．如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 19．如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$