精品解析：河南省周口市2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学试题

2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 下面四幅简笔画中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年河南省乡村振兴扎实推进，连续6年粮食总产量稳定在0.13万亿斤以上．将0.13万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“民”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 就 B. 是 C. 江 D. 山 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷次）的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离 方差 根据表中数据，选拔测试中成绩又好又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 13. 小红、小轩、小涵、小敏四位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随机落座，则小红坐在小轩正对面的概率是_____________． 14. 如图，在扇形中，，，点 为中点，过点作交于点， 则阴影部分的面积为______ ． 15. 如图，在矩形中，，点F是上一点，且．半圆 O的圆心O在上，且直径．将半圆O绕点F逆时针旋转，当半圆O与矩形的边相切时，的值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 化简： （1）； （2）． 17. 年是爱国卫生运动开展周年，年月也是第个爱国卫生月，为了倡导文明健康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛．该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩（满分为分，得分为正整数）分成六组，并绘制了如下不完整的统计图表． 频数分布表 组别 成绩分 频数 请根据以上信息，回答下列问题： （1）参加学校选拔赛的有______人． （2）补全频数分布直方图． （3）小华这次的成绩是分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数．请问小华的想法是否一定正确？简要说明理由． 18. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图2，筒车与水面交于点A，B，筒车的最低点到水面的距离为1m，． （1）求筒车的半径； （2）若接水槽所在的直线与相切，且，则当筒车按逆时针方向每秒转时，求盛水筒P 从最高点开始运动，至少经过多长时间恰好在直线上． 19. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点，点 B 在 x 轴正半轴上． （1）求反比例函数表达式． （2）请在的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 点P到两边的距离相等；． （3）在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标． 20. 每年的4月23日为世界读书日．某网上图书销售平台计划在今年世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类图书 25 30 乙类图书 45 60 （1）分别购进甲、乙两类图书多少册时进货款恰好为46000元？ （2）分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获利最多且总利润不超过总进货款的30%（假设甲、 乙两类图书全部售完）？此时总利润为多少元？ 21. 中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一．中原福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅 杆四个部分，福塔顶部桅杆天线高． 某校“综合与实践”小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为 一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并完成实地测量，如下表所示 课题 测量中原福塔的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 方案说明（点A，B，C，D，E，F，G同一 竖直平面内） 在C处测得桅杆顶部A的仰角为，测得桅 杆底部D的仰角为． 距地面高度为（）的无人机在F处测得点A的仰角，中原福塔底部边缘G处的俯角． 计算中原福塔的高度 …… …… （1）数学老师说方案一的结果与中原福塔的实际高度误差较小，方案二的结果误差较大．方案二的结果与实际中原福塔的高度相比是偏 （填“大”或“小”），请说明方案二产生较大误差的原因． （2）请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度（结果精确到．参考数据：，） 22. 如图，在平面直角坐标系中，从点处向第一象限抛出一个弹力点（遇线反弹），其运动轨迹为抛物线的一部分，弹力点落到射线上的点处后反弹，反弹后经过的最高点是．已知射线所在直线的表达式为弹力点第一次反弹后的运动路线为抛物线的一部分． （1）求的值及点的坐标． （2）当弹力点从点处反弹后，在平面直角坐标系中放入一个等腰直角三角形，其中，，，点 在 上方．若弹力点第一次反弹后直接落在轴上（未在的边上反弹），求的取值范围． 23. 综合与实践 “几何画板”是一种常用的几何画图软件，利用“几何画板”可以非常直观、快捷、准确地探究图形的性质． （1）操作发现，尝试探究 如图1，小颖在“几何画板”上先画了两条互相垂直的直线a，b（交点为O），接着画了等边三角形 ，其中点A，B 分别在直线a，b上，点C 在右侧，连接．固定点A， 使，让点B在直线 b 上运动，发现线段 存在最小值．为了求出线段的最小值，小颖又画了等边三角形（点D在下方），并连接， 如图2，得到与 的数量关系为 ，线段的最小值为 ． （2）变换条件，再次探究 如图3，小颖改变了直线a，b的位置关系，使两直线所夹锐角为，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，求线段的最小值． （3）拓展变化，深度探究 如图4，小颖将（1）中条件“等边三角形”改为“以为直角边的等腰直角三角形”，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为：； 故选A． 2. 下面四幅简笔画中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及单项式除以单项式的法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 4. 2024年河南省乡村振兴扎实推进，连续6年粮食总产量稳定在0.13万亿斤以上．将0.13万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将0.13万亿写成，再写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：0.13万亿， 故选C． 5. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“民”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 就 B. 是 C. 江 D. 山 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：由正方体的展开图可知：“人”和“是”相对，“就”和“山”相对，“民”和“江”相对， 故选C． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 先将原一元二次方程变形为一般式，再计算出的值即可． 【详解】解：原方程变形为， ，，， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选A． 7. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试（每人掷次）的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离 方差 根据表中数据，选拔测试中成绩又好又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的意义判断即可求解，掌握平均数和方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由表中数据可知，乙、丁的平均数高于甲、丙的，但乙的方差小于丁的方差， ∴乙的成绩又好又稳定， 故选：． 8. 用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，尺规作图等知识， 根据矩形的性质和菱形的判定定理，结合全等三角形的性质和判定逐项证明即可． 【详解】A．由作图可得，垂直平分线段 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； B．如图所示，连接， 由作图可得，，， 又∵ ∴ ∴ 同理可得， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形菱形； C．由作图可得，，且 ∴四边形是菱形； D．如图所示， 由作图可得，平分 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵的长度和的长度关系不确定 ∴四边形不一定是菱形． 故选：D． 9. 某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前5天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用问题．根据提高效率之后，按原计划的生产时间提高效率后生产时间，可得结果． 【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产x 套校服，原计划用时天， 则提高效率之后每天生产套校服，用时天， 由此可得， 故选D． 10. 一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为0得，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先可由y随x的增大而增大确定 x 的系数 ，再根据函数图象经过点，写出符合题意的函数表达式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为 ， ∵y 随 x 的增大而增大， ∴， ∵函数图象经过点， ∴ ∴函数表达式可以是 ， 故答案为： （答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 13. 小红、小轩、小涵、小敏四位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随机落座，则小红坐在小轩正对面的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，找到所有可能数和符合条件数，利用概率公式求解即可． 本题考查了用树状图法列举求概率，正确画出树状图是解答本题的关键． 【详解】设小红、小轩、小涵、小敏分别为①、②、③、④， 画树状图如下： 共有12种等可能得结果，其中小红和小轩坐正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小红坐在小轩正对面的概率是为． 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，，，点 为的中点，过点作交于点， 则阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由平行线等分线段定理得，即得是的中位线，，得到，又根据三角函数可得，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ∵点为的中点，，， ∴， ∴ ， ∴是的中位线，， ∴， 在 中，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，勾股定理，三角形中位线的性质，三角函数，不规则图形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，点F是上一点，且．半圆 O的圆心O在上，且直径．将半圆O绕点F逆时针旋转，当半圆O与矩形的边相切时，的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形判定和性质，切线的性质，解直角三角形，分半圆O与相切和半圆与相切，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵半圆 O的圆心O在上，且直径， ∴， 将半圆O绕点F逆时针旋转，当半圆O与矩形的边相切时， ①当半圆O与相切于点时，如图， 则：，， 过点作， ∵矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当半圆与相切于点时，连接，延长交于点，则：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用完全平方公式、多项式乘以多项式的运算法则先去括号，再合并同类项即可； （）根据分式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，掌握以上运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 年是爱国卫生运动开展周年，年月也是第个爱国卫生月，为了倡导文明健康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛．该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩（满分为分，得分为正整数）分成六组，并绘制了如下不完整的统计图表． 频数分布表 组别 成绩分 频数 请根据以上信息，回答下列问题： （1）参加学校选拔赛的有______人． （2）补全频数分布直方图． （3）小华这次的成绩是分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数．请问小华的想法是否一定正确？简要说明理由． 【答案】（1）人； （2）见解析； （3）小华的想法不一定正确，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，中位数，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键． （）求出组人数所占的百分比，进而求出组的人数所占的百分比之和，用组的人数之和除以百分比求出总数即可； （）利用总数乘以百分比分别求出的值，补全直方图即可； （）根据中位数的定义，确定中位数所在的组，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵组人数所占百分比为， ∴组人数所占百分比为， ∴参加学校选拔赛的人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵（人），（人）， ∴补全频数分布直方图， 【小问3详解】 解：小华想法不一定正确，理由： 因为一共有个数据，中位数是第个数据的平均数，而第个数据在组（），但不能确定这两个数据具体是多少，所以不能确定分就是中位数． 18. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图2，筒车与水面交于点A，B，筒车的最低点到水面的距离为1m，． （1）求筒车的半径； （2）若接水槽所在的直线与相切，且，则当筒车按逆时针方向每秒转时，求盛水筒P 从最高点开始运动，至少经过多长时间恰好在直线上． 【答案】（1）的半径为 （2）盛水筒P 从最高点开始运动，至少经过，恰好在直线上 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，切线的性质： （1）连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）延长交于点，连接，根据切线的性质，四边形的内角和得到，延长交于点，则点即为筒车的最高点，根据平角的定义，推出，根据当点从点移动到点时，恰好在直线上，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵筒车最低点到水面的距离为1m，， ∴， ∴， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 即：的半径为； 【小问2详解】 延长交于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， 延长交于点，则点即为筒车的最高点， ∴， ∴， ∴当点从点移动到点时，恰好在直线上， ∴； 答：盛水筒P 从最高点开始运动，至少经过，恰好在直线上． 19. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点，点 B 在 x 轴正半轴上． （1）求反比例函数的表达式． （2）请在的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 点P到两边的距离相等；． （3）在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入求出的值，再将A点坐标代入即可； （2）先作的角平分线，再以点A为圆心，为半径作弧，与的角平分线的交点即为满足条件的点P； （3）延长交y轴于点C，根据勾股定理求出，进而求出，即可得出P的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， ， 将代入， 得：， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求； 【小问3详解】 解：如图，延长交y轴于点C，则轴， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，尺规作图，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质等，能够综合应用上述知识是解题的关键． 20. 每年的4月23日为世界读书日．某网上图书销售平台计划在今年世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类图书 25 30 乙类图书 45 60 （1）分别购进甲、乙两类图书多少册时进货款恰好为46000元？ （2）分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获利最多且总利润不超过总进货款的30%（假设甲、 乙两类图书全部售完）？此时总利润为多少元？ 【答案】（1）网上图书销售平台购进甲类图书400册，乙类图书800册时，进货款恰好为46000元 （2）网上图书销售平台购进甲类图书450册，购进乙类图书750册时的最大利润为13500元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和一次函数解析式． （1）设购进甲类图书x册，乙类图书册，根据进货款恰好为46000元列方程求解即可； （2）设网上图书销售平台应购进甲图书m只，根据题意列出函数解析式,运用一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设购进甲类图书x册，乙类图书册，根据题意得， ， 解得， 所以乙类图书数为：（册）， 答：网上图书销售平台购进甲类图书400册，乙类图书800册时，进货款恰好为46000元； 【小问2详解】 解：设网上图书销售平台应购进甲类图书数为m册，平台销售完这批图书可获利w元． 根据题意得， ∵网上图书销售平台销售完图书时获利最多且不超过进货价的， ∴， ∴． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w最大元． ∴网上图书销售平台购进甲类图书450册，购进乙类图书750册时的最大利润为13500元． 21. 中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市的地标建筑之一．中原福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅 杆四个部分，福塔顶部桅杆天线高． 某校“综合与实践”小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为 一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并完成实地测量，如下表所示 课题 测量中原福塔的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 方案说明（点A，B，C，D，E，F，G在同一 竖直平面内） 在C处测得桅杆顶部A的仰角为，测得桅 杆底部D的仰角为． 距地面高度为（）的无人机在F处测得点A的仰角，中原福塔底部边缘G处的俯角． 计算中原福塔的高度 …… …… （1）数学老师说方案一的结果与中原福塔的实际高度误差较小，方案二的结果误差较大．方案二的结果与实际中原福塔的高度相比是偏 （填“大”或“小”），请说明方案二产生较大误差的原因． （2）请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度（结果精确到．参考数据：，） 【答案】（1）小，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，方案二在解答时，的被忽略了，将的长作为点F到的距离进行计算，导致误差较大，与实际相比，偏小了． （2）设，，解直角三角形即可． 本题考查了解直角三角形-仰角，俯角的计算，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，方案二在解答时，的长度被忽略了，将的长即作为点F到的距离即进行计算，导致误差较大， ∵ ∴与实际相比，偏小了． 故答案为：小． 【小问2详解】 解：设，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：中原福塔的高度大约是387米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，从点处向第一象限抛出一个弹力点（遇线反弹），其运动轨迹为抛物线的一部分，弹力点落到射线上的点处后反弹，反弹后经过的最高点是．已知射线所在直线的表达式为弹力点第一次反弹后的运动路线为抛物线的一部分． （1）求的值及点的坐标． （2）当弹力点从点处反弹后，在平面直角坐标系中放入一个等腰直角三角形，其中，，，点 在 上方．若弹力点第一次反弹后直接落在轴上（未在的边上反弹），求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而联立两函数解析式可求出点的坐标； （）设弹力点第一次反弹后的运动路线所在抛物线(记为抛物线)的表达式为，可得 抛物线的表达式为，由题意得，分别求出抛物线经过点时的值，再结合图象即可求解； 本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：将代入 ，得， 解得， ∴抛物线， 令， 解得，（不合舍去）， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：设弹力点第一次反弹后的运动路线所在抛物线(记为抛物线)的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵为等腰直角三角形，，，， ∴， 若抛物线经过点，将代入，得， 解得； 若抛物线经过点，将代入，得， 解得； 若抛物线经过点，将代入，得， 解得； 综上可知，当时，在抛物线上方；当时，在抛物线下方， ∴若弹力点第一次反弹后直接落在轴上，则的取值范围为或． 23. 综合与实践 “几何画板”是一种常用的几何画图软件，利用“几何画板”可以非常直观、快捷、准确地探究图形的性质． （1）操作发现，尝试探究 如图1，小颖在“几何画板”上先画了两条互相垂直的直线a，b（交点为O），接着画了等边三角形 ，其中点A，B 分别在直线a，b上，点C 在右侧，连接．固定点A， 使，让点B在直线 b 上运动，发现线段 存在最小值．为了求出线段的最小值，小颖又画了等边三角形（点D在下方），并连接， 如图2，得到与 的数量关系为 ，线段的最小值为 ． （2）变换条件，再次探究 如图3，小颖改变了直线a，b的位置关系，使两直线所夹锐角为，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，求线段的最小值． （3）拓展变化，深度探究 如图4，小颖将（1）中的条件“等边三角形”改为“以为直角边的等腰直角三角形”，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1），2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，推出，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，即线段最小值； （2）同（1）可证，推出，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，即线段最小值； （3）分和两种情况，时，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E，仿照（1）可证，；时，在下方作等腰直角三角形，使，证明，可得，即 【小问1详解】 解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 如图，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ， ， 在中，， 的最小值为， 线段的最小值为， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点E， 同（1）可证， ， 由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ，， ， 在中，， 的最小值为， 线段的最小值为； 【小问3详解】 解：分两种情况： 当时，如图，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E， 和是等腰直角三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ，， 四边形是正方形， ， 的最小值为， 线段的最小值为； 当时，如图，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E， 和是等腰直角三角形， ，，， ，即， 又， ， ，即， 由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ， 的最小值为， 的最小值为， 综上可知，的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段的性质，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造全等（相似）三角形，第三问注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $