精品解析：四川省眉山市洪雅县2024-2025学年高二上学期期末数学试题

市县高中23级高二期末联考 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第II卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 2. 已知圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 4. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 5. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. C. D. 事件与事件相互不独立 10. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______． 13. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为_______． 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点. （1）求圆M的方程； （2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 16. 2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? （3）四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 19. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. （1）求抛物线的方程； （2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市县高中23级高二期末联考 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第II卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 2. 已知圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出的值即可. 【详解】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆， 所以，解得， 故选：C. 4. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 5. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 7. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【详解】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】已知条件双曲线 【详解】由题意知解得，故双曲线C的标准方程为． 由题意及双曲线的对称性，平行四边形与双曲线如图． 四边形为平行四边形，所以． 由题知，直线的斜率不为零，且，故设直线的方程为． 由，消去并整理得，，， 设，由根与系数的关系可得． 因为点均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：，所以，解得， 所以．， 令，则，所以． 因为在上单调递减， 当时，，所以面积的最小值为12 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. C. D. 事件与事件相互不独立 【答案】BC 【解析】 【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B；根据独立事件的判定判断D,根据并事件的概率即可求解C. 【详解】对于A，由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 对于B，事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种， 事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种， 事件的样本点为，，，，，共6种， 所以,， ，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，D错误． 事件的样本点为，共3种 事件的样本点为共12种， 由于互斥，故的样本点共有15种，故，C正确， 故选：BC． 10. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，，则再根据双曲线的定义可得点的轨迹方程是双曲线的右支判断A,联立方程组计算判断B,根据点到渐近线的距离判断C，转化的周长为，再结合三点共线判断D. 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C正确； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化的周长为，再结合当三点共线时取得最小值. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：由的面积不变，点到平面的距离不变，求出体积即可；对B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，结合向量的夹角公式，可判定B正确；对C：设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定C错误；对D：由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定D正确. 【详解】解：对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变， 且，所以A错误； 对于B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得， 设，则，， 设与所成角为， ＝＝， 因为， 当时， 可得，所以， 当时，＝， 由， 所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确； 对于C，由， 设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得， 所以， 因为平面， 所以，可得， 所以＝＝， 当时，等号成立，所以C错误； 对于D：因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为，，故不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______． 【答案】或9 【解析】 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 13. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】确定平面的一个法向量，求出直线l的方向向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面一个法向量为， 平面一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则， 故，取，则， 设直线l与平面所成角，则， 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，可得抛物线的方程和直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得中点的坐标和弦长，可得圆的半径，在中，由锐角三角函数的定义可得所求值. 【详解】 抛物线得焦点为，准线方程为， 由题意得，则抛物线方程为，， 直线方程为， 由得，， 设的横坐标为，则，， 所以，，圆的半径为4， 过点作轴于点，则， 在中，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点. （1）求圆M的方程； （2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程； （2）根据弦长公式可得圆心M到直线的距离，分类讨论直线斜率是否存在，并点到直线的距离公式计算斜率即可. 【小问1详解】 易知过点且与直线垂直的直线斜率为， 故圆心M与切点连线方程为， 联立解得， 所以； 所以圆M的半径为， 所以圆M的方程为. 【小问2详解】 如图，由（1）可知圆M的方程为， 因为直线被圆M截得的弦长为， 所以M到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意； 若直线的斜率存在，设方程为， 则，即，解得或， 所以直线的方程为或. 16. 2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? （3）四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1），79.5 （2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再利用平均数的定义求解； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于或等于75，利用百分位数的定义求解； （3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解. 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． 【小问2详解】 超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 因为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】 把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96. 17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明：平面平面， 又， 又，平面，平面 又平面.又 ， 即.又平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明、来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 易得， 设平面的法向量，则， 取，则法向量. 由（1）可知平面的法向量. 平面与平面的夹角为. 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）由（i）可得， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 19. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. （1）求抛物线的方程； （2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）或 （3）证明：由题意，， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上 【解析】 【分析】（1）根据，结合的坐标即可求解； （2）设的方程为，，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解； （3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解. 【小问1详解】 由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. 【小问2详解】 设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：解析几何大多数定值问题，会采取设而不求，联立方程后，结合韦达定理整体代入求解，从而简化运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $