7.2.1复数的加、减运算及其几何意义同步练-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 题型一：复数加减法的代数运算 复数代数形式的加、减法运算技巧： （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部，虚部与虚部分别相加减； （3）复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． 【例1】复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由复数， 可得其在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 【例2】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 所以，， 所以，解得，，故，即复数的虚部为. 故选：A. 【变式1-1】已知，，则 . 【答案】5 【详解】由题意， 则， 故答案为：5 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式1-3】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设，则，因为， 所以，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 题型二： 复数加减法的几何意义 向量加、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.利用加法＂首尾相接＂和减法＂指向被减数＂的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意对应的复数是（终点对应的复数减去起点对应的复数）． 【例3】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 【例4】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【变式2-1】已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 【变式2-2】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【变式2-3】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【详解】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 题型三：复数的模的最值问题 复数模的最值问题解法 （1）表示复数的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数差的形式； （2）表示的对应点在以对应的点为圆心，为半径的圆上； （3）涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 【例5】已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】∵， ∴， 即的取值范围为. 故答案为：. 【例6】已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 【变式3-1】设，且，又，求的值和的取值范围. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 所以， 所以. 所以 . 因为，所以，得. 故，的取值范围是. 【变式3-2】已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 【答案】8 【详解】解：因为且， 所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， 所以，表示圆上的点和点的距离， 因为圆心到点的距离为， ， 故答案为： 【变式3-3】已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 1．复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若 ，设 ，则， 由可得 ，即 ，所以 ， 此时为实数，不是纯虚数，所以选项A错误； 若，设 ， 则   ，解得 ， 此时，当 时，不是纯虚数，所以选项 B 错误； 若，设 ， 则， ， 由 可得 ， 两边同时平方得 ， 展开可得 ，化简得 ，即 ， 当时， 不是纯虚数，所以选项C错误； 若 ，设 ， 则，，， 表示复平面上点 到点和点的距离之和为 2 ， 而点和点之间的距离为 ， 所以点在线段 上， 即且 ，满足且，所以是纯虚数， 反之，若是纯虚数，设 ， 则 ， 当时， ， 所以是复数是纯虚数的一个充分条件，选项 D 正确. 故选：D. 2．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 3．若，且为纯虚数，则复数 ． 【答案】 【详解】设复数（x，），则． 由题意知或． 故答案为： 4．（多选）已知，是复数，则以下结论错误的是（   ） A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和重合 D．若，则 【答案】AC 【详解】A中只能说明，不一定有，故A错误； B中，说明，即，故B正确； C中，说明，但与方向不一定相同，故C错误； D中，则，故，故D正确． 故选：AC. 5．在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为，，， 设第四个顶点为，由，则， 所以为正方形的对角线，则， ，解得， ，即第四个顶点对应的复数为. 故选：B. 6．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点A对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论错误的是（ ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，由题意得，，， 因为四边形为平行四边形，则， 所以，所以，点位于虚轴上，故B错误； 对于CD，如图，，，对应的向量分别为，，， 则，，即，，故CD正确. 故选：B. 7．若复数满足且，则（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【详解】设，则，即， 则，则， 则. 故选：B. 8．在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由复数的虚部为3，可知在复平面内，复数对应的点在直线上， 又复数满足条件，可得复数表示的点在以为圆心，半径为1的圆上. 而则表示直线上的点到圆的点的距离. 如图所示，则当点共线(在之间)且与直线垂直时距离最小， 最小值为. 故选：B.      9．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解析：设，则， ， 所以， 因为，所以， 所以的最大值为. 故选：D. 10．已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】设（），代入得， 化简得， ， 所以时，取得最小值， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 题型一：复数加减法的代数运算 复数代数形式的加、减法运算技巧： （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部，虚部与虚部分别相加减； （3）复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． 【例1】复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，，则 . 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二： 复数加减法的几何意义 向量加、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.利用加法＂首尾相接＂和减法＂指向被减数＂的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意对应的复数是（终点对应的复数减去起点对应的复数）． 【例3】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【例4】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【变式2-1】已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【变式2-2】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 题型三：复数的模的最值问题 复数模的最值问题解法 （1）表示复数的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数差的形式； （2）表示的对应点在以对应的点为圆心，为半径的圆上； （3）涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 【例5】已知，，则的取值范围为 . 【例6】已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式3-1】设，且，又，求的值和的取值范围. 【变式3-2】已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 【变式3-3】已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 1．复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 3．若，且为纯虚数，则复数 ． 4．（多选）已知，是复数，则以下结论错误的是（   ） A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和重合 D．若，则 5．在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 6．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点A对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论错误的是（ ） A． B．点位于第二象限 C． D． 7．若复数满足且，则（    ） A．5 B． C． D．10 8．在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 9．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 10．已知复数满足，则的最小值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$