精品解析：辽宁省抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年高二下学期开学考数学试卷

抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年度第二学期开学考试 高二数学试卷 考试时间：60分钟 满分：100分 命题教师：刘海刚 一、选择题：（每小题5分，共7道小题，满分35分.每小题只有一个正确选项.） 1. 若直线与圆相切，则的值为（　　） A. 1或﹣1 B. 2或﹣2 C. 1 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线的距离等于半径，求得的值即可． 【详解】圆的方程可化为， 表示以为圆心、半径等于1的圆， 圆心到直线的距离，解得：， 故选：． 2. 已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）. A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 3. 经过两点的椭圆的标准方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和椭圆性质得出并确定焦点所在的轴，可得标准方程． 【详解】因为椭圆经过两点， 所以焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为， 可得， 所以所求的方程为. 故选：B. 4. 双曲线和有相同的（ ）. A. 焦点 B. 顶点 C. 离心率 D. 渐近线 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得. 【详解】对于， 易知：焦点坐标，顶点，离心率，渐近线方程：， 对于， 易知：焦点坐标，顶点，离心率，渐近线方程：， 故选：A. 5. 观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（ ）. X Y A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用回归直线方程过样本中心点即可求解. 【详解】由表中数据可得，， 所以样本中心点为，代入选项中检验B正确. 故选：B. 6. 5位老师和2名学生排成一队，学生既不排在一起也不排在队伍的首尾，则不同的排法有（ ）. A. 种 B. 种 C 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】用分步乘法计数原理和插空法即可求得结果 【详解】先给5名老师全排列有种排法，去掉头尾后，有4个空位， 用插空法将2名学生排列在老师之间的4个空隙中，即有种方法； 根据分步乘法计数原理即可得共有种方法. 故选：A 7. 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先选出值班的总人数，再分成三组，分别负责早、中、晚的接待工作即可. 详解】由题意当天需要12名志愿者，先从14名志愿者里选出12名，有种选法； 再把这12名志愿者平均分为三组，负责接待工作，共有种安排方法， 所以开幕式当天不同的排班种数为. 故选：A. 二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分.若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分） 8. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为4可求出. 【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，二项式系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，即常数项为第四项，故C正确； 对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查二项展开式的应用，解题的关键是正确求出二项展开式的通项公式. 9. 已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（ ）. A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】依题意设该弦所在直线方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，由题设焦点弦长求出的值，即可利用直线斜率公式求出斜率得到其倾斜角. 【详解】因抛物线的焦点坐标为， 由题可设经过抛物线焦点的弦所在直线方程为， 代入消去，可得：，显然， 设弦的两端点坐标分别为：，则（*）， 抛物线的准线方程为：，则， 即得，即， 将（*）代入解得：，则 于是该弦所在直线的斜率为：， 故该弦所在直线的倾斜角是或. 故选：BC. 三、填空题：（每小题5分，共2道小题，满分10分） 10. 若圆与圆 外切，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径，即可得解. 【详解】由已知，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为圆与圆外切，所以，解得. 故答案为：. 11. 双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的一条渐近线的斜率为，得到求解. 【详解】因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 设双曲线的方程为 ，渐近线方程为， 因为一条渐近线的斜率为，则， 所以． 故答案为：. 四、解答题：（共4道小题，共43分） 12. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 13. 某校在两个班级进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示（单位：人）： 80分及80分以上 80分以下 总计 实验班 35 15 50 对照班 20 m 50 总计 55 45 n （1）求m，n； （2）根据表中数据回答：有的把握认为“教学方式与成绩有关系”吗？ 总计 总计 附：1.列联表： 记. 2.计算公式： 3.常用的显著水平以及相应的分位数如下表所示. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有 【解析】 【分析】(1)根据数据统计表中的数据可求； (2)利用独立性检验的步骤求解. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 = ， 因为，所以有的把握认为“教学方式与成绩有关系”. 14. 某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 （1）从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; （2）经过队员们奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式和组合数公式计算即可； （2）分析易得的所有可能取值为0,1,2,且，利用超几何分布概率公式计算对应的概率值，即可列出分布列. 小问1详解】 设事件为“从这18名队员中随机选出两人，这两人来自同一个班级” 则 . 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,依题意，, 故 ,, . 所以的分布列为: X 0 1 2 P 15. （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程. 【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为；（2）或或. 【解析】 【分析】（1）根据方程可得焦点坐标和准线方程； （2）根据斜率分情况讨论，联立方程只有一个解，可得答案. 【详解】（1）因为抛物线，所以，. 因为抛物线焦点在横轴的正半轴上，所以焦点为，准线方程为. （2）若直线没有斜率，则与抛物线相切，满足要求. 若所求直线有斜率，则由其过点设其方程为. 联立方程组，消去y得. 当时，直线方程为，解得只有一个公共点； 当时，，解得，此时直线方程为； 综上所述，所求直线方程为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抚顺市雷锋高级中学2024-2025学年度第二学期开学考试 高二数学试卷 考试时间：60分钟 满分：100分 命题教师：刘海刚 一、选择题：（每小题5分，共7道小题，满分35分.每小题只有一个正确选项.） 1. 若直线与圆相切，则的值为（　　） A. 1或﹣1 B. 2或﹣2 C. 1 D. ﹣1 2. 已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）. A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 抛物线 3. 经过两点的椭圆的标准方程为（ ）. A. B. C. D. 4. 双曲线和有相同的（ ）. A. 焦点 B. 顶点 C. 离心率 D. 渐近线 5. 观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（ ）. X Y A. B. C D. 6. 5位老师和2名学生排成一队，学生既不排在一起也不排在队伍的首尾，则不同的排法有（ ）. A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ） A. B. C D. 二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分.若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分） 8. 关于多项式展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为12 9. 已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（ ）. A. B. C. D. 三、填空题：（每小题5分，共2道小题，满分10分） 10. 若圆与圆 外切，则_____________. 11. 双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为________. 四、解答题：（共4道小题，共43分） 12. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 13. 某校在两个班级进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示（单位：人）： 80分及80分以上 80分以下 总计 实验班 35 15 50 对照班 20 m 50 总计 55 45 n （1）求m，n； （2）根据表中数据回答：有的把握认为“教学方式与成绩有关系”吗？ 总计 总计 附：1列联表： 记. 2.计算公式： 3.常用的显著水平以及相应的分位数如下表所示. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14. 某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 （1）从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; （2）经过队员们奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 15. （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$