1.3 平行线（讲练）（6大题型40题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

名称 定义 表示方法 图例 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 直线与互相平行,记作,读作平行于 注意： （1）平行的两直线无公共点。 （2）在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.应特别注意“在同一平面内”这一条件.重合的直线视为一条直线。 （3）平行是相互的,如与表示的意义相同。 （4）两条线段平行,两条射线平行是指它们所在的直线平行。 【基础练习】 【练习1-1】直线AB与CD平行可记作：　 　． 【答案】AB∥CD 【解析】 【分析】根据平行符号的表示方法解答即可． 【详解】解：直线AB与CD平行可记作：AB∥CD． 故答案为：AB∥CD． 【练习1-2】在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 ( ) A．平行  B．相交  C．相交或平行  D．垂直 【答案】C 【解析】 【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，故选C． 平行线的画法步骤 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“推” 沿直尺推动三角尺,使三角尺与已知直线重合的边过已知点 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 注意： (1)在作图时必须确保直尺定好位置后不再变动位置； (2)三角尺移动时,要始终保持一边紧靠直尺。 【基础练习】 【练习2-1】如图，在∠AOB内有一点P． （1）过点P作l1∥OA； （2）过点P作l2∥OB． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过P点作OA、OB的平行线，按照“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”操作． 【详解】解：过P点作OA、OB的平行线，（1）（2）如图所示． 【练习2-2】如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求； 基本事实 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 推论 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行． 如图所示,如果,,,那么即平行具有传递性,简记为“平行于同一条直线的两条直线平行”. 注意： （1）“经过直线外一点” 这是前提,因为经过直线上一点.,无法作出该直线的平行线； “有且只有”强调直线的存在性和唯一性。 （2）推论可用来判定两直线平行。 【基础练习】 【练习3-1】如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　） A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【解析】 【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【详解】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条． 故选：C． 【练习3-2】a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行公理以及平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意； D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，符合题意． 故选：D． 【典例】在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　 　； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　 　； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　 　． 【答案】（1）平行（2）相交（3）重合 【解析】 【分析】根据平行、相交和重合的定义就可以解决． 【详解】解：（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2平行． （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2相交． （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2重合． 【变式1-1】同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答． 【详解】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系． 故选：B． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的定义选择． 【详解】解：A、应该是不相交的两条直线，故错误； B、还有平行的情况，故错误； C、正确； D、应该是在同一平面内，故错误． 故选：C． 方法技巧： 关键是看两直线有无交点，有交点为两直线相交，无交点为两直线平行 【典例】如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 【答案】 ； AD与BG． 【解析】 【分析】(1)根据平行线的定义直接回答即可； (2)根据平面内线段的位置关系回答即可. 【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)； (2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一). 故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG. 【变式2-1】如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是 ． 【答案】棱，棱 【解析】 【分析】根据长方体的特点，结合直线与平面垂直，直线与平面平行解答． 【详解】解：根据长方体的特点，与面垂直的棱是长方体宽的四条棱，，，； 与面平行的是相对面上的四条棱，，，， 所以，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是棱，棱． 故答案为：棱，棱． 【变式2-2】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　） A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF． 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解． 【详解】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH． 故选：A． 【典例】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【变式3-1】读下列语句，并画出图形． 点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先画直线AB和点P，过P作AB的平行线CD，过P作直线EF⊥AB，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ． 【变式3-2】如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 方法技巧：口诀记忆 一线为基，尺靠角移，二线平行 【典例】如图，过C点作线段AB的平行线，下列说法正确的是(　　) A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 【答案】B 【解析】作线段AB的平行线，即作它所在直线的平行线，根据“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”可知只能作一条，故B正确． 【变式4-1】如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：依题意，当时，； 当时，，就可以确定点，，在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）． 故选：D． 【变式4-2】如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　 　． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【解析】 【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可． 【详解】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【典例】若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是　 　． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案． 【详解】解：若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是平行， 故答案为：平行． 【变式5-1】如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　 ，理由是　 　． 【答案】EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行． 【解析】 【分析】根据平行公理解答． 【详解】解：EF与CD的位置关系是EF∥CD， 理由是：平行于同一直线的两直线互相平行． 故答案为：EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行． 【变式5-2】如图所示，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？ 【答案】理由见解析. 【解析】 【分析】首先证明CD∥EF,进而证明AB∥EF,即可解决问题 【详解】因为AB∥EF,CD∥EF,所以CD∥AB. 【典例】下列说法正确的有（填序号）：　 　． ①同位角相等； ②一条直线有无数条平行线； ③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据平行线的性质，平行公理以及平行线与线段的区别对各小题分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误； ②一条直线有无数条平行线，正确； ③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误； ④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c，符合平行公理，正确； ⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误， 故答案为：②④． 【变式6-1】如图，按要求画图并回答问题： (1)过点画点到直线的垂线段，垂足为； (2)过点画直线，交的延长线于点； (3)在线段，，中，最短的是______，理由为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了画垂线，画平行线，垂线段最短： （1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可； （3）根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：由垂线段最短可知，在线段，，中，最短的是， 故答案为：，垂线段最短． 【变式6-2】如图所示的正方形网格，点、、都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点； (2)线段_________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，垂线段最短 【解析】 【分析】（1）根据平行线的定义及垂线定义，按要求作图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可得线段的长度是点到直线的距离． （3）根据垂线段最短可以作出判断． 【详解】（1）解：①的平行线如图所示； ②的垂线如图所示； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案是：CF； （3）解：．理由是：垂线段最短． 故答案是：＜，垂线段最短． 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或垂直 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交． 【详解】解：在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交． 故选：C． 2．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 3．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 4．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（　　） A．直线PQ可能与直线AB垂直 B．直线PQ可能与直线AB平行 C．过点P的直线一定与直线AB相交 D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答． 【详解】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确， 故C错误； 故选：C． 5．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断． 【详解】解：先根据要求画出图形，图形如图所示： 根据所画图形可知：A正确． 故选：A． 6．（1）在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作________． （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有________、_________． 【答案】不相交 平行 相交 【解析】（1）根据平行线的定义与几何语言即可得出结论； （2）根据平面内相交线与平行线定义即可得出结论． 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作．故答案为：不相交；． （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行、相交_．故答案为：平行；相交． 7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与BC平行的棱是　 　． 【答案】棱AD，棱EH，棱FG 【解析】 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】解：在长方体ABCD﹣EFGH中，与BC平行的棱是棱AD，棱EH，棱FG， 故答案为：棱AD，棱EH，棱FG． 8．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；④在同一平面中，两条直线不相交就平行．其中正确的结论是 (填序号)． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】依据平行线的性质，垂线的定义及性质进行判断即可． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故错误； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确； ③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，故正确； ④在同一平面中，两条直线不相交就平行，故正确． 故答案为：②③④． 9．完成下列推理，并在括号内注明理由． （1）如图1所示，因为（已知）．所以三点 ；（ ） （2）如图2所示，因为（已知），所以 ∥ ．（ ） 【答案】 共线 平行公理 AB EF 平行公理的推论 【解析】 【分析】（1）根据平行公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可； （2）根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行． 【详解】（1）∵，， ∴A、B、C三点共线（平行公理）； （2）∵，， ∴AB∥EF（平行公理的推论）． 故答案为：（1）共线；平行公理；（2）AB；EF；平行公理的推论． 10．如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字“M”： （1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； （2）EF与A′B′有何位置关系？CC′与DH有何位置关系？ 【答案】（1）正面：AB∥EF，AE∥MF等等；上面：A′B′∥AB，C′D′∥CD等等；右侧：�DD′∥HR，DH∥D′R（2）EF∥A′B′，CC′⊥DH. 【解析】 【分析】（1）正面AE、MF、NG、DH是平行的，MP、QB平行，PN、CQ平行；上面AA′、BB′、CC′、DD′相互平行，AB、A′B′、CD、C′D′平行；右侧HR、DD′平行，HD、RD′平行； （2）EF与A′B′都与AB平行，所以平行；CC′与DD′平行，DD′与DH垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． 【详解】 (1) 正面：AB∥EF，AE∥MF等等；上面：A′B′∥AB，C′D′∥CD等等；右侧：�DD′∥HR，DH∥D′R； (2)EF∥A′B′,CC′⊥DH. 11．如图，点O，点C，点D均在格点上，且点C在的边上． (1)过点C画的垂线交于点M； (2)过点D画的平行线，交（1）中所画垂线于点N，连接； (3)点O到直线的距离是图中哪条线段的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点O到直线的距离是图中线段的长度 【解析】 【分析】（1）利用网格特点取格点N，作直线交于点M； （2）作直线即为所求，再连接即可； （3）根据点到直线的距离的概念即可作出判断． 【详解】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）点O到直线的距离是图中线段的长度． 12．作图题：如图，在平面内有不共线的3个点A，B，C． （1）作射线BA，在BA延长线上取一点E，使AE=AB； （2）作线段BC并延长BC到点F，使CF=BC； （3）连接AC，EF； （4）度量线段AC和EF的长度，直接写出二者之间的数量关系_______，观察AC和FE的位置是 （填“平行”或“相交”）关系； （5）作BC的中点D，连接AD，猜想S三角形ABD S三角形ACD（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AC=EF（或EF=2AC），平行；（5）= 【解析】 【分析】（1）、（2）、（3）利用射线、线段的定义和几何语言画出对应的几何图形即可； （4）通过观察测量进行判断； （5）根据等底同高的两个三角形面积相等进行判断． 【解析】解：（1）（2）（3）如图所示： （4）通过测量观察，可知AC=EF（或EF=2AC），AC∥EF， 故答案为：AC=EF（或EF=2AC）；平行； （5）∵D为BC的中点，三角形ABD与三角形ACD等底同高， ∴S三角形ABD=S三角形ACD． 故答案为：=． 13．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？并说明理由． 【答案】共线，证明详见分析. 【解析】 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解答． 【详解】共线．理由：因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD，CE都经过点C且与AB平行，所以C，D，E三点共线 14．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)垂线段最短 (4)，平行于同一直线的两直线平行 【解析】 【分析】（1）取格点M，过点P、M作直线m；利用格线互相平行，作直线、即可； （2）根据点到直线的距离定义解答； （3）根据垂线段最短解答； （4）根据平行公理的推论解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线m、、，点C即为所求， （2）解：∵于P， ∴线段的长度是点O到的距离； （3）解：根据垂线段最短得， ∴的理由是垂线段最短； （4）解：∵，， ∴． 根据平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行． 15．如图，分别是两条笔直的公路，是三个商店．    (1)如果经过点处建设一条公路，使这条公路与公路平行，且交于点，在图上画出这条公路． (2)一个人从处走最近的路线到达公路，画出这个人行走的路线． (3)一辆货车在公路上行驶，当停在处时，可以使两处的人到货车的距离之和最小，画出点的位置．这样画的依据是 ． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析，两点之间线段最短； 【解析】 【分析】（1）根据尺规作平行线的方法即可解答； （2）根据尺规作垂线的方法即可解答； （3）根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图所示即为所求，    （2）解：如图所示即为所求， （3）解：如图所示点即为所求 依据是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 40．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； （3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出． 从画出的图形中归纳规律即可得到答案． 【详解】解：（1）如图1所示；交点共有6个， （2）如图2，3． （3）当n＝6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4， 当n＝21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5， 当n＝15时，如图6， （4）当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律： ①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少， ②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名称 定义 表示方法 图例 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 直线与互相平行,记作,读作平行于 注意： （1）平行的两直线无公共点。 （2）在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.应特别注意“在同一平面内”这一条件.重合的直线视为一条直线。 （3）平行是相互的,如与表示的意义相同。 （4）两条线段平行,两条射线平行是指它们所在的直线平行。 【基础练习】 【练习1-1】直线AB与CD平行可记作：　 　． 【练习1-2】在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 ( ) A．平行  B．相交  C．相交或平行  D．垂直 平行线的画法步骤 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“推” 沿直尺推动三角尺,使三角尺与已知直线重合的边过已知点 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 注意： (1)在作图时必须确保直尺定好位置后不再变动位置； (2)三角尺移动时,要始终保持一边紧靠直尺。 【基础练习】 【练习2-1】如图，在∠AOB内有一点P． （1）过点P作l1∥OA； （2）过点P作l2∥OB． 【练习2-2】如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 基本事实 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 推论 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行． 如图所示,如果,,,那么即平行具有传递性,简记为“平行于同一条直线的两条直线平行”. 注意： （1）“经过直线外一点” 这是前提,因为经过直线上一点.,无法作出该直线的平行线； “有且只有”强调直线的存在性和唯一性。 （2）推论可用来判定两直线平行。 【基础练习】 【练习3-1】如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　） A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 【练习3-2】a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c 【典例】在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　 　； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　 　； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　 　． 【变式1-1】同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 方法技巧： 关键是看两直线有无交点，有交点为两直线相交，无交点为两直线平行 【典例】如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 【变式2-1】如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是 ． 【变式2-2】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（　　　） A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF． 【典例】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【变式3-1】读下列语句，并画出图形． 点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 【变式3-2】如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 方法技巧：口诀记忆 一线为基，尺靠角移，二线平行 【典例】如图，过C点作线段AB的平行线，下列说法正确的是(　　) A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 【变式4-1】如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式4-2】如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　 　． 【典例】若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是　 　． 【变式5-1】如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　 ，理由是　 　． 【变式5-2】如图所示，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？ 【典例】下列说法正确的有（填序号）：　 　． ①同位角相等； ②一条直线有无数条平行线； ③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式6-1】如图，按要求画图并回答问题： (1)过点画点到直线的垂线段，垂足为； (2)过点画直线，交的延长线于点； (3)在线段，，中，最短的是______，理由为______． 【变式6-2】如图所示的正方形网格，点、、都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点； (2)线段_________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________． 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或垂直 2．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 3．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（　　） A．直线PQ可能与直线AB垂直 B．直线PQ可能与直线AB平行 C．过点P的直线一定与直线AB相交 D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行 5．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 6．（1）在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线．若直线与直线平行，则记作________． （2）在同一平面内，两条直线的位置关系只有________、_________． 7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与BC平行的棱是　 　． 8．有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；④在同一平面中，两条直线不相交就平行．其中正确的结论是 (填序号)． 9．完成下列推理，并在括号内注明理由． （1）如图1所示，因为（已知）．所以三点 ；（ ） （2）如图2所示，因为（已知），所以 ∥ ．（ ） 10．如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字“M”： （1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； （2）EF与A′B′有何位置关系？CC′与DH有何位置关系？ 11．如图，点O，点C，点D均在格点上，且点C在的边上． (1)过点C画的垂线交于点M； (2)过点D画的平行线，交（1）中所画垂线于点N，连接； (3)点O到直线的距离是图中哪条线段的长度？ 12．作图题：如图，在平面内有不共线的3个点A，B，C． （1）作射线BA，在BA延长线上取一点E，使AE=AB； （2）作线段BC并延长BC到点F，使CF=BC； （3）连接AC，EF； （4）度量线段AC和EF的长度，直接写出二者之间的数量关系_______，观察AC和FE的位置是 （填“平行”或“相交”）关系； （5）作BC的中点D，连接AD，猜想S三角形ABD S三角形ACD（填“＞”“＝”或“＜”）． 13．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？并说明理由． 14．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 15．如图，分别是两条笔直的公路，是三个商店．    (1)如果经过点处建设一条公路，使这条公路与公路平行，且交于点，在图上画出这条公路． (2)一个人从处走最近的路线到达公路，画出这个人行走的路线． (3)一辆货车在公路上行驶，当停在处时，可以使两处的人到货车的距离之和最小，画出点的位置．这样画的依据是 ． 16．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； （3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 学科网（北京）股份有限公司 $$