精品解析：天津市耀华中学红桥学校2024-2025学年高二下学期统练1（3月月考）数学试题

红桥耀华2024-2025学年度高二第二学期数学统练1 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后求导求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】， 因为，所以， 所求的切线方程为，即． 故选：A. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题知, 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：B. 3. 下列求导计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误． 故选：B． 4. 函数的单调递增区间是 （ ） A. 和 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，得出的范围即可得解. 【详解】，令，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 5. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）. A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，再由导数的概念即可得正确答案． 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是， 切点的横坐标为， 由导数的几何意义可得， 所以， 故选：D. 6. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ） A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1 C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1 【答案】A 【解析】 【分析】先用导数的定义解出函数在x=0处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案. 【详解】由题意可知k＝， 又(0，b)在切线上，解得：b＝1. 故选：A. 7. 已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求导判断函数单调性，结合有3个不同的零点，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数，则，令得或， 令，解得：或；令，解得： ； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使有3个不同的零点，则， 解得：. 故选：C 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小. 【详解】令，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， ，，， 因为，所以. 故选：D. 9. 若直线与函数,的图像分别交于点､,当､两点距离最近时, A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像关系时，，､两点距离距离为，构造函数，通过求导，求导单调区间，极值，最值，即可求解. 【详解】根据图像关系时，， ､两点距离距离为， 设， 当时，；当时，； 在单调递减，在单调递增， 时取得极小值，亦为最小值， 时，两点距离最小. 故选:D. 【点睛】本题考查用函数的导数求最值，解题的关键在于根据题意建立目标函数，将其转化为函数的最值问题，属于中档题. 10. 若函数在处有极大值，则（ ） A. 1或3 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在处的导数为0求得c，然后验证函数是否在处取得极大值即可. 【详解】因为 若函数在处有极大值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，当时，， 则函数在处取得极小值（舍去）； 当时，， 当或时，，当时，， 则函数在处取得极大值，综上，. 故选：C. 11. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 解集是 ， 故选：B. 12. 已知函数,若在时总成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数得到函数的单调性，令，画出函数与函数的图像，根据表示的几何意义，得到的取值范围. 【详解】， 所以函数在上单调递增，则 则，所以函数在上单调递增 令，则函数与函数在的图像如下图所示 ，则函数在处的切线的斜率为 因为表示一次函数的斜率，要使得在时总成立 则 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数不等式的恒成立来求参数范围，属于中档题. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 13. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故答案为：. 14. 函数在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 15. 函数在区间上的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求出最大值. 【详解】，令，则， 所以时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 所以函数在处取得极大值，也是最大值， 因此， 故答案为：. 16. 已知函数，则=________． 【答案】-1； 【解析】 【分析】由解析式得，将代入即可求. 【详解】由题意，，则， ∴. 故答案为： 17. 已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为___ ． 【答案】 【解析】 【详解】函数f(x)＝x2＋3x－2ln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x＋3－，令2x＋3－＜0，即2x2＋3x－2＜0，解得x∈.又x∈(0，＋∞)，所以x∈.所以函数f(x)的单调递减区间为. 18. 函数在时有极小值0，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 19. 函数在上存在极值点，则a的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由题意得到关于a的不等式，求解得答案． 【详解】由，得， ∴，函数单调递减，，函数单调递增， 由函数在上存在极值点， 可得， ∴， ∴实数a的取值范围是． 故答案为：． 20. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 即存在，使， 此时，， 所以， 因此将问题转化为 存在，使成立， 设，则， ， 当，，单调递增， 所以， 即，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题. 三、解答题：本题共3小题，共32分． 21. 已知函数在处取得极值-14. （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2） （3）函数在上的最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解； (2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解； (3) 结合（1）结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解. 【小问1详解】 因为函数，所以， 又函数在处取得极值. 则有，即，解得：， 经检验，时，符合题意，故. 【小问2详解】 由（1）知：函数，则， 所以，又因， 所以曲线在点处的切线方程为， 也即. 【小问3详解】 由（1）知：函数，则， 令，解得：， 在时，随的变化，的变化情况如下表所示： 单调递减 单调递增 单调递减 由表可知：当时，函数有极小值； 当时，函数有极大值； 因为，， 故函数在上的最小值为，最大值为. 22. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）试讨论函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得； （2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性. 【小问1详解】 当时，,则， ，又， 在点处切线的方程为； 【小问2详解】 由题可得， 令，解得或， 若，，当变化时，，的变化情况如表： , 0 0 增函数 减函数 增函数 的单调增区间为和,，单调减区间为； ②若，，当变化时，，的变化情况如表： , 0 0 增函数 减函数 增函数 的单调增区间为和，单调减区间为； ③若，则，函数的单调增区间为； 综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为. 23. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）单调减区间是，单调增区间是，极小值为，无极大值；（3）. 【解析】 【分析】（1）求导，代值，算出斜率即可求出切线方程； （2）分和讨论导函数的符号，研究单调性，从而得到极值； （3）问题转化为对于恒成立，再分离变量研究函数的最值即可. 【详解】（1）， ，则 所以在点处的切线方程为 即 （2）因为， 所以， ①当时，因为，所以， 函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值 ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值. 综上， 当时，函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是，极小值为，无极大值. （3）因为对于任意，都有成立，所以， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，，则， 所以区间上单调递增， 故，进而， 所以在区间上单调递增， 函数， 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数m的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥耀华2024-2025学年度高二第二学期数学统练1 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 函数图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是 （ ） A. 和 B. C. D. 5. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）. A. 1 B. 3 C. D. 6. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ） A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1 C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1 7. 已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 9. 若直线与函数,的图像分别交于点､,当､两点距离最近时, A. B. C. 1 D. 10. 若函数在处有极大值，则（ ） A. 1或3 B. 3 C. 1 D. 11. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数,若在时总成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 13. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 14. 函数在点处的切线方程为______． 15. 函数在区间上的最大值是________． 16. 已知函数，则=________． 17. 已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为___ ． 18. 函数在时有极小值0，则_______． 19. 函数在上存在极值点，则a的取值范围是______ ． 20. 已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 三、解答题：本题共3小题，共32分． 21. 已知函数在处取得极值-14. （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求函数在上的最值. 22. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）试讨论函数单调区间. 23. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数单调区间和极值； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $