2.6.3 函数的最值学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6.3 函数的最值 【学习目标】 1.能够区分极值与最值两个不同的概念，能够通过函数的具体图象区分函数的极值与最值.(直观想象) 2.掌握在闭区间上函数(其中多项式函数一般不超过三次)的最大值、最小值的求法.(数学运算) 3.能够根据函数的最值求参数的值，提高学生数形结合、分类讨论的思维能力.(逻辑推理) 【自主预习】 1.如图，观察区间[a，b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗? 2.对上述的函数y=f(x)，你能找出它在区间[a，b]上的最大值、最小值吗?在区间(a，b)上呢? 3.结合上述问题，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么可以得出什么结论? 4.如何求连续函数f(x)在[a，b]上的最值? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值. (　　) (2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个. (　　) (3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值. (　　) (4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　) 2.函数f(x)=x+在区间[-3，-1]上的最大值为(　　). A.-2 B.-3 C.- D.- 3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1，1]上的最大值为　　　　.  4.求函数f(x)=sin 2x-x在-，上的最大值和最小值. 【合作探究】 　求函数的最值 问题1：y=f(x)在区间[a，b]上的函数图象如图所示.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗? 问题2：在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗?在区间(a，b)上呢? 问题3：函数的极值与最值的区别是什么? 1.若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得.  2.对函数最值的三点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念. (3)函数y=f(x)在[a，b]上连续是函数y=f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件. 求函数f(x)=x3-4x+4在[0，3]上的最大值与最小值. 【方法总结】　　求出函数y=f(x)的所有极值和端点函数值，比较它们的大小，就可以求出函数的最大值与最小值. 求下列函数的最值： (1)f(x)=2sin x-x，x∈-，； (2)f(x)=(x2-3)ex. 　含参函数的最值问题 问题：已知f(x)=2x3-6x2+a在[-2，2]上有最小值-37，求实数a的值，并求f(x)在[-2，2]上的最大值. 已知函数最值求参数的步骤： (1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； (2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； (3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 已知a是实数，函数f(x)=x2(x-a). (1)若f'(1)=5，求a的值及曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[0，2]上的最大值. 【方法总结】对于含参函数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定. 已知函数f(x)=+aln x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值. 　与最值有关的不等式证明 已知x>2，求证：x-1>ln x. 【方法总结】构造函数，利用导数确定函数的单调性，把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题，实现了复杂问题简单化. 已知x>0，求证：x>sin x. 　与最值有关的恒成立问题 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值. (1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈[-1，2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围. 【变式设问】若本例中条件不变，把(2)中“对任意x∈[-1，2]，不等式f(x)<c2恒成立”改为“若存在x∈[-1，2]，使不等式f(x)<c2成立”，求c的取值范围. 【方法总结】恒成立问题向最值问题转化的方法： (1)要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则不等式f(x)<h恒成立. (2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立. 已知函数f(x)=x3+ax+b(a，b∈R)在x=2处取得极小值-. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)≤m2+m+在[-4，3]上恒成立，求实数m的取值范围. 【随堂检测】 1.函数f(x)=x+cos x在[0，π]上的(　　). A.最小值为0，最大值为 B.最小值为0，最大值为+1 C.最小值为1，最大值为 D.最小值为1，最大值为π-1 2.如图所示，函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象是一条直线，则(　　). A.函数f(x)既没有最大值，也没有最小值 B.函数f(x)有最大值，但没有最小值 C.函数f(x)没有最大值，但有最小值 D.函数f(x)既有最大值，也有最小值 3.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m∈[-1，1]，则f(m)的最小值为　　　　.  4.已知函数f(x)=x2+ln x. (1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值、最小值. (2)求证：在区间[1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x3图象的下方. 参考答案 2.6.3 函数的最值 自主预习·悟新知 预学忆思 1.能.f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y=f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y=f(x)的极大值. 2.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，f(x2)，f(x4)，f(x6)中的最大值，最小值是f(b)，f(x1)，f(x3)，f(x5)中的最小值.若区间改为(a，b)，观察图象可知，f(x)有最小值f(x3)，无最大值. 3.一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 4.求出函数f(x)在[a，b]上的极值和端点值，然后进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.A　【解析】f'(x)=1-，令f'(x)=0，且x∈[-3，-1]，解得x=-或x=(舍去). 当-3≤x≤-时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增； 当-≤x≤-1时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减. 所以函数f(x)的最大值是f(-)=-2. 3.-6　【解析】因为f'(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0， 所以函数f(x)在区间[-1，1]上单调递增， 所以当x=1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)=-6. 4.【解析】f'(x)=2cos 2x-1.令f'(x)=0，且x∈-，，解得x=-或x=. 又f-=-，f=-，f-=，f=-，其中最大，-最小， 所以函数f(x)的最大值为，最小值为-. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得，最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，那么最大(小)值唯一存在. 问题2：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，那么此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，那么f(x)在[a，b]上有极值.当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值. 问题3：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值. 当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里的(a，b)也可以是无穷区间. 新知生成 1.端点　极值点 新知运用 例1　【解析】 f'(x)=x2-4，当f'(x)>0时，x<-2或x>2； 当f'(x)<0时，-2<x<2. 所以在[0，3]上，当x=2时，f(x)取得极小值，极小值为f(2)=-. 又f(0)=4，f(3)=1，所以函数f(x)=x3-4x+4在[0，3]上的最大值为4，最小值为-. 巩固训练　【解析】(1)f'(x)=2cos x-1，x∈-，， 令f'(x)=0，解得x1=，x2=-. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x - -，- - -， ， f'(x) - 0 + 0 - f(x) -2+ ↘ -+ ↗ - ↘ 2- 由上表知，为极大值点，-为极小值点， f=-，f-=-+，f=2-，f-=-2+. 通过比较知，f(x)max=-，f(x)min=-+. (2)函数的定义域是R，且f'(x)=2x·ex+(x2-3)·ex=ex(x2+2x-3).令f'(x)>0，得x>1或x<-3；令f'(x)<0，得-3<x<1.所以函数f(x)在(-∞，-3)和(1，+∞)内单调递增，在(-3，1)内单调递减.因此函数f(x)在x=-3处取得极大值，且极大值为f(-3)=6e-3；在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)=-2e. 又令f(x)>0，得x>或x<-；令f(x)<0，得-<x<，所以函数的大致图象如图所示. 从函数图象可得，函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e，无最大值. 探究2　情境设置 问题：f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)， 令f'(x)=0，得x=0或x=2. 又f(0)=a，f(2)=a-8，f(-2)=a-40， 所以f(0)>f(2)>f(-2)， 所以f(x)min=f(-2)=a-40=-37，得a=3. 所以f(x)max=f(0)=3. 新知运用 例2　【解析】(1)f'(x)=3x2-2ax， 因为f'(1)=3-2a=5，所以a=-1. 又因为当a=-1时，f(1)=2，f'(1)=5， 所以曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为5x-y-3=0. (2)令f'(x)=0，解得x1=0，x2=. 当≤0，即a≤0时，f'(x)≥0在[0，2]上恒成立，所以f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max=f(2)=8-4a. 当≥2，即a≥3时，f'(x)≤0在[0，2]上恒成立，所以f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max=f(0)=0. 当0<<2，即0<a<3时，令f'(x)≤0，得0≤x≤a，所以f(x)在0，上单调递减；令f'(x)≥0，得a≤x≤2，所以f(x)在，2上单调递增.从而f(x)max= 综上所述，f(x)max= 巩固训练　【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0，+∞)， f'(x)=-+=. 当a≤0时，f'(x)<0恒成立，f(x)在(0，+∞)上单调递减； 当a>0时，x∈0，时，f'(x)<0；x∈，+∞时，f'(x)>0， 所以f(x)在0，上单调递减，在，+∞上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在0，上单调递减，在，+∞上单调递增. (2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min=f(e)=+a； 当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min=f(e)=+a； 当0<<e，即a>时，f(x)在0，上单调递减，在，e上单调递增，f(x)min=f=a+aln. 综上，当 a≤时，f(x)min=+a；当a>时，f(x)min=a+aln. 探究3 例3　【解析】设f(x)=x-1-ln x.因为f'(x)=1-=，x>2，所以f'(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增. 又f(2)=1-ln 2>1-ln e=0，即f(2)>0，所以f(x)>0(x>2)，即x-1>ln x(x>2). 巩固训练　【解析】设f(x)=x-sin x(x>0)， 则f'(x)=1-cos x，又f'(x)≥0对x∈(0，+∞)恒成立， ∴函数f(x)=x-sin x在(0，+∞)上单调递增， 又f(0)=0，∴f(x)>0对x∈(0，+∞)恒成立， 即x>sin x(x>0). 探究4 例4　【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，得f'(x)=3x2+2ax+b， 因为f'(1)=3+2a+b=0，f'-=-a+b=0，解得a=-，b=-2， 所以f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)， 令f'(x)=0，解得x=-或x=1， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x -∞，- - -，1 1 (1，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的单调递增区间为-∞，-和(1，+∞)，单调递减区间为-，1. (2)由(1)知，f(x)=x3-x2-2x+c，x∈[-1，2]， 当x=-时，f-=+c为极大值， 又因为f(2)=2+c>f-，所以f(2)=2+c为最大值. 要使f(x)<c2(x∈[-1，2])恒成立，只需c2>f(2)=2+c， 即c2-c-2>0，解得c<-1或c>2. 故c的取值范围为(-∞，-1)∪(2，+∞). 变式设问　【提示】 由本例(1)知当x=1时，f(1)=c-为极小值， 又因为f(-1)=+c>f(1)，所以f(1)=c-为最小值. 因为存在x∈[-1，2]，使不等式f(x)<c2成立， 所以只需c2>f(1)=c-，即2c2-2c+3>0，解得c∈R. 故c的取值范围为R. 巩固训练　【解析】(1)由题意得f'(x)=x2+a，且f'(2)=0，解得a=-4. 再由f(2)=-，解得b=4. 所以f(x)=x3-4x+4，f'(x)=x2-4. 令f'(x)=x2-4>0，得x>2或x<-2， 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞). (2)因为f(-4)=-，f(-2)=，f(2)=-，f(3)=1， 所以函数f(x)在[-4，3]上的最大值为. 要使f(x)≤m2+m+在[-4，3]上恒成立， 只需m2+m+≥，解得m≥2或m≤-3. 所以实数m的取值范围是(-∞，-3]∪[2，+∞). 随堂检测·精评价 1.D　【解析】由题意可知，f'(x)=1-sin x.因为0≤x≤π，所以0≤sin x≤1，所以f'(x)≥0，即f(x)在[0，π]上单调递增，所以f(x)max=f(π)=π-1，f(x)min=f(0)=1.故选D. 2.C　【解析】由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点，即f(x)在x=1处取得最小值，没有最大值. 3.-4　【解析】f'(x)=-3x2+2ax，由f(x)在x=2处取得极值，知f'(2)=0，即-3×4+2a×2=0，故a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4，f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)， ∴f(x)在[-1，0]上单调递减，在(0，1]上单调递增， ∴当m∈[-1，1]时，f(m)min=f(0)=-4. 4.【解析】(1)由f(x)=x2+ln x得f'(x)=x+. 当x∈[1，e]时，f'(x)>0，故f(x)在[1，e]上单调递增， ∴f(x)max=f(e)=e2+1， f(x)min=f(1)=. (2)设F(x)=x2+ln x-x3， 则F'(x)=x+-2x2=. 当x∈[1，+∞)时，F'(x)≤0，故F(x)在[1，+∞)上单调递减， 且F(1)=-<0，故当x∈[1，+∞)时，F(x)<0， ∴x2+ln x<x3. 故在区间[1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x3图象的下方. 学科网（北京）股份有限公司 $$