2.4导数的四则运算法则学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.4 导数的四则运算法则 【学习目标】 1.熟记基本初等函数的导数公式，理解导数的运算法则，通过理解导数的四则运算，探究公式的形成过程，提高学生研究问题、解决问题的能力.(数学抽象) 2.结合实际例子，掌握几个常见函数的导数，通过对导数公式的应用，提高学生处理问题的能力.(逻辑推理) 3.能利用所给基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数，通过对导数公式和其他知识的综合运用，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.(数学运算) 【自主预习】 　　运用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无法完成.是否有更简单的求导方法呢? 1.求函数y=(2x2+3)(3x-2)的导数. 2.求函数y=的导数. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　) (2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　) 2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　). A.ex(x+1) B.1+ex C.x(1+ex) D.ex(x-1) 3.若y=，则y'=　　　　.  4.若函数f(x)=ax2+c，且f'(1)=2，则a=　　　　.  【合作探究】 　导数的加法与减法法则 问题1：观察f(x)=x2，g(x)=x，h(x)=x2+x与它们的导数f'(x)=2x，g'(x)=1，h'(x)=2x+1，你有什么发现和猜想? 问题2：如何证明你的猜想? 问题3：导数和(差)的运算法则可以推广到有限个函数的和(差)的情形吗?如果可以，写出推广形式. 1.两函数和与差的导数 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). 特别地，[f(x)±c]'=f'(x). 2.两函数和与差的导数的拓展 [f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x). 求下列函数的导数： (1)y=x2+log3 x；(2)y=sin x-2x2. 【方法总结】根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解. 求下列函数的导数： (1)y=5-4x3；(2)y=lg x-. 　导数的乘法与除法法则 假设f(x)=sin x，g(x)=ex. 问题1：你能求出[f(x)g(x)]'吗? 问题2：你能求出'吗? 1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，特别地，当g(x)是常数函数，即g(x)=k时，[kf(x)]'=kf'(x)(k∈R). 2.'=(g(x)≠0). 求下列函数的导数： (1)y=cos x·ln x； (2)y=x3·ex； (3)y=. 【方法总结】根据基本初等函数的导数公式和函数积与商的求导法则进行求解. 求下列函数的导数： (1)y=； (2)y=2xcos x-3xlog2 020x； (3)y=xtan x. 　导数的四则运算的应用 已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R). (1)若曲线y=f(x)在点P处的切线斜率为a，试求点P的横坐标； (2)在曲线y=f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，求a的值以及切线l的方程. 【方法总结】利用导数的四则运算法则求解问题，一定要熟悉运算法则，特别是对复杂结构的函数求导.这一过程体现了数学运算素养. 已知某运动物体的运动方程为s(t)=+2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t=3 s时物体的瞬时速度. 已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0)，其导函数f'(x)=2x-8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)=exsin x+f(x)，求曲线g(x)在x=0处的切线方程. 【随堂检测】 1.已知函数f(x)=ax3+3x2+2，若f'(-1)=4，则a的值是(　　). A. B. C. D. 2.已知函数f(x)=，则该函数的导函数f'(x)=(　　). A. B. C. D.2x-cos x 3.在一次降雨过程中，某市的降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y=，则在t=40 min时的降雨强度为　　　　mm/min.  4.已知函数f(x)=x2+xln x. (1)求函数f(x)的导数f'(x)； (2)求函数f(x)在x=1处的切线方程. 参考答案 2.4 导数的四则运算法则 自主预习·悟新知 预学忆思 1.y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=12x2-8x+6x2+9=18x2-8x+9. 2.y'='= =. 自学检测 1.(1)×　(2)× 2.A　【解析】f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1)，故选A. 3.　【解析】∵y=ln x，∴y'=·=. 4.1　【解析】∵f(x)=ax2+c，∴f'(x)=2ax，故f'(1)=2a=2，∴a=1. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：发现：h(x)=f(x)+g(x)，h'(x)=f'(x)+g'(x). 猜想：[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x). 问题2：设h(x)=f(x)+g(x)， 则= = = =+， 所以=+=+， 即h'(x)=f'(x)+g'(x). 问题3：可以，若y=f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)， 则y'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x). 新知运用 例1　【解析】 (1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+. (2)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x. 巩固训练　【解析】(1)y'=-12x2. (2)y'=+. 探究2　情境设置 问题1：[f(x)g(x)]'=(sin x·ex)'=cos x·ex+sin x·ex=ex(cos x+sin x). 问题2：'='==. 新知运用 例2　【解析】(1)y'=(cos x·ln x)'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin x·ln x+. (2)y'=(x3·ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)' =3x2·ex+x3·ex=ex(x3+3x2). (3)y'='= ==-. 巩固训练　 【解析】(1)y'= = =-. (2)y'=(2x)'cos x+(cos x)'2x-3[x'log2 020x+(log2 020x)'x] =2xln 2·cos x-sin x·2x-3log2 020x+log2 020ex =2xln 2·cos x-2xsin x-3log2 020x-3log2 020e. (3)y'=(xtan x)'=' = = = ==. 探究3 例3　【解析】(1)∵f(x)=x3-2x2+ax，∴f'(x)=x2-4x+a，设点P的横坐标为x0，令-4x0+a=a，则-4x0=0，解得x0=0或x0=4. (2)由题意可知，方程f'(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根，∴Δ=16-4(a+1)=0，∴a=3，则f'(x)=x2-4x+3=-1，∴x2-4x+4=0，解得切点的横坐标x=2， ∴f(2)=×8-2×4+2×3=，∴切线l的方程为y-=(-1)(x-2)，即3x+3y-8=0. 巩固训练1　【解析】∵s(t)=+2t2=-+2t2=-+2t2， ∴s'(t)=-+2·+4t， ∴s'(3)=-++12=， 即物体在t=3 s时的瞬时速度为 m/s. 巩固训练2　【解析】(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0)， 所以f'(x)=2ax+b. 又因为f'(x)=2x-8，所以a=1，b=-8. (2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3， 所以g'(x)=exsin x+excos x+2x-8， 所以g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7. 又因为g(0)=3， 所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0)，即7x+y-3=0. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】∵f'(x)=3ax2+6x， ∴f'(-1)=3a-6=4， ∴a=. 2.B　【解析】由题意可得f'(x)==.故选B. 3.　【解析】∵y=，∴y'=×， ∴当t=40时，y'=×=. 4.【解析】(1)因为f(x)=x2+xln x，所以f'(x)=2x+ln x+1. (2)由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率k=f'(1)=2+1=3， 又因为f(1)=1，所以切线方程为y-1=3(x-1)，整理得3x-y-2=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$