精品解析：黑龙江省部分学校2024-2025学年高三第二次检测模拟考试数学试题

2024~2025学年度高三年级第二次检测模拟卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这200名学生的平均体重为56.45千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） C. 估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25 D. 从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克概率为0.4 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知椭圆的左焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于，若线段的中点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，如图，是直线与曲线的三个交点，若，点的横坐标为，则函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的极小值为，则（ ） A. B. 曲线是中心对称图形 C. 若直线与函数的图象有个交点，则实数的取值范围为 D. 当时， 11. 已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（ ） A. B. 直线过抛物线的焦点 C. 当为等腰三角形时，或 D. 过点且与抛物线相切的直线平分 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知单位向量满足，则__________. 13. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________. 14. 如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记中，内角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，求的最大值. 16. 如图，四棱锥中，底面，点满足. （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面所成的二面角的正弦值. 17. 为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. （1）若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：； （3）当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程. 19. 已知数列满足是函数的零点，且.证明： （1）； （2）数列是递减数列； （3）当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高三年级第二次检测模拟卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算即可求得结果. 【详解】， 即得 故在第二象限， 故选：B 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由展开式的通项公式结合乘法法则即可求解的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，当时，， 所以展开式中含的项为， 故展开式中的系数. 故选：D 4. 某初中为了了解本校学生的体重情况，该校医务室从学生中随机抽取200名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这200名学生的平均体重为56.45千克（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） C. 估计该校中学生体重的第65百分位数是56.25 D. 从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.4 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，利用频率之和为1得到方程，求出，A错误；B选项，利用中点值作代表，求出平均数；C选项，先确定第65百分位数落在第4组中，设出未知数，得到方程，求出答案；D选项，由频率分布直方图得到体重不低于60千克的频率为0.2，D错误. 【详解】A选项，，解得，A错误； B选项，， 估计这200名学生的平均体重为54.75千克，B错误； C选项，前3组数据的频率和为， 前4组数据的频率和为， 故该校中学生体重的第65百分位数落在第4组中，设为， 则，解得，C正确； D选项，从频率分布直方图可知，体重不低于60千克的频率为， 故从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体重不低于60千克的概率为0.2，D错误. 故选：C 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据在区间上导数恒大于等于0，然后参变分离，结合正弦函数性质可得. 【详解】， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立. 即在区间上恒成立. 因为，所以，所以， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 6. 已知椭圆的左焦点为，过点且斜率为的直线与轴交于，若线段的中点在上，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点斜式写出直线的方程，求得P的坐标,利用中点坐标公式得到线段 的中点坐标，代入椭圆方程，进而结合椭圆的基本量的关系化为关于离心率的方程，求解即可. 【详解】左焦点  的坐标为 ，其中 ，离心率 . 过点  且斜率为  的直线方程为 . 当  时，直线与  轴交点  的坐标为 . 线段  的中点坐标为 . 中点  在椭圆上，代入椭圆方程得到：，化简得：. 利用  和 ，代入上式得到：. 通分并整理得到方程：， 解得 （舍去不合理的解），故离心率 . 故选： D. 7. 已知函数，如图，是直线与曲线的三个交点，若，点的横坐标为，则函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数图象的对称性求出的横坐标，结合可求，进而可得答案. 【详解】令，结合的图象可得关于对称，关于对称， 所以，，解得， 因为，所以，即， 即，解得，所以函数的最小正周期为. 故选：C 8. 已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简不等式，得到函数单调性，再根据分段函数单调性性质求结果. 【详解】不妨设，则由得， 令，则在上单调递增， 因为 所以， 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数的极小值为，则（ ） A. B. 曲线是中心对称图形 C. 若直线与函数的图象有个交点，则实数的取值范围为 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，求函数的极小值，由条件列方程求，由此判断A，证明函数为奇函数，判断B，结合函数的单调性，及，，画出函数的大致图象，结合图象判断C，证明，结合函数单调性比较的大小，由此判断D. 【详解】函数的定义域为，导函数， 当时，，函数为增函数，与条件矛盾， 当时，令可得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 由已知，所以，A错误， 所以， 设， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，故函数图象关于原点对称， 所以函数的图象关于点对称，关于曲线是中心对称图形，B正确， 因为当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 当时，，当时，， 所以函数的大致图象如下： 因为直线与函数的图象有3个交点， 所以， 所以的取值范围为，C正确； 因为，又， 所以，即， 因，， 函数在上单调递减， 所以，D正确； 故选：BCD. 11. 已知抛物线的准线方程为是上位于第一象限内的一点，过点作准线的垂线，垂足为，直线（为坐标原点）与交于点（异于点），则（ ） A. B. 直线过抛物线的焦点 C. 当为等腰三角形时，或 D. 过点且与抛物线相切的直线平分 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据准线方程可得A正确，利用斜率相等可得B正确，结合等腰三角形的情况可得C错误，求出切线的斜率，根据两条直线斜率的关系得出倾斜角的关系，从而可得D正确. 【详解】因为准线方程为，所以，A正确； 抛物线的焦点为，设，则,直线， 由，可得，，即, 当时，，即，此时直线过抛物线的焦点； 当时，直线的斜率分别为， 则， 所以直线过抛物线的焦点，B正确； 由抛物线定义可知, 当时，则在的中垂线上，则，即， 解得（设）或，此时,C不正确； 设过点的切线方程为， 联立，得， 易知，令，可得； 直线的斜率即为直线的斜率，即. 设直线过点的切线的倾斜角分别为， 则， 而，即， 因为点在第一象限，所以，所以； 因为直线的斜率为0，所以过点且与抛物线相切的直线平分. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由模长相等，求得的值，然后利用向量夹角公式求得结果. 【详解】∵，∴， 即， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直接法求出点的轨迹方程，根据结论圆外一点与圆上的动点的最小距离为圆外的点到圆心的距离与该圆的半径的差，求的最小值即可. 【详解】设，则，， 因为， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的圆心为，半径为， 又点为上一动点， 所以， 当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则__________. 【答案】1或3 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，，由题意可得，利用两点间距离公式，解得的值，即可求得. 【详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，，，，， 因为三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上， 所以， 根据两点距离公式可得： ，，, 解得：，所以， 因为，解得：或， 所以或. 故答案为：1或3. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记中，内角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用角化边及余弦定理可得，利用同角关系式即可求解. （2）由（1）知，利用余弦定理、完全平方关系及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以，即， 所以， 因为为三角形的内角，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得， 所以，即， 又因为， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 所以的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面，点满足. （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面所成的二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行，通过作截面找交线，可证明线线平行，即可得为中点； （2）通过已知的垂直关系，建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算即可求解. 【小问1详解】 延长交于，由， 可知：， 又因为平面，平面，且平面平面， 所以，即， 所以，故； 【小问2详解】 由，又由底面， 则可以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为， 所以， 则有， 又因为，所以， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，则， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，则， 所以有， 此时平面与平面所成的二面角的正弦值为. 17. 为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. （1）若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 【答案】（1）分布列见解析，期望； （2）． 【解析】 【分析】（1）确定的可能值为，分别求出概率得分布列，然后由期望公式得期望．（也可用二项分布的性质求解）； （2）由独立重复事件的概率公式求得套中的奖品个数为3的概率，然后利用导数求得最大值． 【小问1详解】 由题意随机变量的可能值为，， ，．， 的分布列为： 0 1 2 ； 【小问2详解】 由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为： ， 设，，则， 时，递增，时，，递减， 所以时，， 所以所求最大值为． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：； （3）当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】(1)由双曲线渐近线方程和经过的定点，可列出方程组求出； (2)利用直线与双曲线联立方程组，求出弦长，再利用中点坐标写出直线的方程，求出点坐标，从而可求出，问题即可得证； (3)利用第二问的结论，把转化为，从而转化到，这样就可以利用韦达定理消去即可得的方程求解. 【小问1详解】 由双曲线的一条渐近线方程为，可知： 再由点是双曲线上一点得：， 代入得：，故， 所以双曲线； 【小问2详解】 设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为， 与双曲线，联立消去得： ，其中，不等于0， 设，则， 所以 设的中点为， 则，， 所以线段的垂直平分线方程为：， 令得：， 则， 所以有； 【小问3详解】 设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为， 与双曲线，联立消去得： ， 设，则， 由直线与双曲线右支相交，则，解得， 由（2）知，由可知：， 即，根据，结合与右支交点可知， 根据（2）可知：， 则， ， 代入到上两式得：，， 再消得：， 此时满足，故符合题意， 则直线方程. 【点睛】关键点点睛：关键是把转化为，从而转化到，这样就可以利用韦达定理消去即可得的方程求解. 19. 已知数列满足是函数的零点，且.证明： （1）； （2）数列是递减数列； （3）当时， 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先利用导数以及零点存在定理确定函数零点的取值范围，再根据函数单调性证明不等式， （2）作差，根据差与零的大小关系证明不等式， （3）先探求与关系，再根据导数研究函数单调性，最后根据递推放缩得结果. 【小问1详解】 由得 当时，，故在上为增函数， 故，此时函数无零点； 当时，，故在上为减函数， 故，此时函数无零点； 当时，，在上单调递增， 又因为，所以在上存在唯一零点，且， 因此当时， 令，所以 所以, 因为，所以， 进而， 依次类推可得； 【小问2详解】 ， 由（1）得，所以，从而， 因此数列是递减数列； 【小问3详解】 令 因此 依次类推可得 即：当时， 【点睛】证明数列不等式，一可借助对应函数性质进行证明，二可利用递推关系进行放缩证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $