专题11 特殊的平行四边形中无刻度作图和折叠问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题11 特殊的平行四边形中无刻度作图和折叠问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的无刻度作图 2 类型二、矩形中的无刻度作图 6 类型三、菱形中的无刻度作图 9 类型四、正方形中的无刻度作图 13 类型五、平行四边形中的折叠问题 17 类型六、矩形中的折叠问题 20 类型七、菱形中的折叠问题 26 类型八、正方形中的折叠问题 31 压轴能力测评（12题） 38 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的无刻度作图 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，的平分线交于点E，．                                           （备用图） (1)求的长； (2)仅用无刻度的直尺，在上作点F，使． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    (1)在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）请结合图形的性质：用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法， (1)如图1，在平行四边形中，点E是的中点，在边上作点F，使；在边上作点G，使． (2)如图2，在平行四边形中，点P为边上一点，且．在边上作一点M，使；点Q为中点．在边上作点N，使． 类型二、矩形中的无刻度作图 例题：（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的中点． (2)在图2中作点，使得 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形． (2)在图2中，画的中点F． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 类型三、菱形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 2．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 类型四、正方形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，四边形为正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中，以为边，在正方形内作一个平行四边形； (2)在图2中，在上找一个点M，使． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分； (2)请在图2中完成：在边上找点G，使得． 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知，在正方形中，请仅用无刻度直尺按要求画图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E为对角线上一点，在上取一点F，使； (2)如图2，点M为边上一点，在上取一点N，使． 类型五、平行四边形中的折叠问题 例题：（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 2．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ． 类型六、矩形中的折叠问题 例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 3．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 类型七、菱形中的折叠问题 例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 类型八、正方形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 2.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 三、解答题 5．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．    6．（23-24八年级下·江西九江·期末）已知，点E是的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图．    (1)如图1，求作的中点F； (2)如图2，求作的中点M． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在矩形中，点在上，，试分别在如图两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． (1)在图1中，画出的平分线； (2)在图2中，画出的平分线． 8．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）在菱形中，点E是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直尺作图．      (1)在图1中，过点E作线段，交于点F，并说明的理由； (2)在图2中，连接，在上找一点，使的值最小（不需说明理由）． 9．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图①中，画出的中点M； (2)在图②中，画出的中点N． 10．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 11．（2020·云南昆明·三模）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处 (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，过点D作，交于点G， ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求的长为 _________． 12．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．    (1)如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． (3)如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 特殊的平行四边形中无刻度作图和折叠问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平行四边形中的无刻度作图 2 类型二、矩形中的无刻度作图 6 类型三、菱形中的无刻度作图 9 类型四、正方形中的无刻度作图 13 类型五、平行四边形中的折叠问题 17 类型六、矩形中的折叠问题 20 类型七、菱形中的折叠问题 26 类型八、正方形中的折叠问题 31 压轴能力测评（12题） 38 解题知识必备 1.平行四边形 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 2.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、平行四边形中的无刻度作图 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，的平分线交于点E，．                                           （备用图） (1)求的长； (2)仅用无刻度的直尺，在上作点F，使． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，，即可求解； （2）结合平行四边形的性质，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵为的平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．    (1)在图1中，先在上画点E，使，再在上画点F，使； (2)在图2中，先在上画点H，使，再在上画点G，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求； （2）如图，为的中点，取与格线的交点，则，再取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求．连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求；    理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，为的中点，取与格线的交点，则， 取格点，连接，取的中点，连接延长交于点，点即为所求．    理由如下： ∵为的中点，， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）请结合图形的性质：用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法， (1)如图1，在平行四边形中，点E是的中点，在边上作点F，使；在边上作点G，使． (2)如图2，在平行四边形中，点P为边上一点，且．在边上作一点M，使；点Q为中点．在边上作点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查的是利用几何图形的性质进行作图，考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）作平行四边形的中心，连接并延长，交边于点F，此时；连接交于点P，连接并延长，交边于点G，连接，此时； （2）连接和交于点，连接并延长，交边于点M，此时；连接并延长，交边于点N，连接，此时，即． 【详解】（1）解：点F，点G，如图所示， ； （2）解：点M，点N，如图所示， ． 类型二、矩形中的无刻度作图 例题：（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的中点． (2)在图2中作点，使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 故作直线，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即P为的中点， 则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N， 则点N即为所求． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形． (2)在图2中，画的中点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图——复杂作图，涉及矩形的性质、等腰三角形形的判定，三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）连接，即可； （2）连接交于点O，连接并延长交于点F，则点F满足条件． 【详解】（1）解：如图1所示，连接，， 四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， 是以点E为顶点的等腰三角形； （2）解：如图2所示，点F为所求． 连接交于点O，连接并延长交于点F， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， ， ， 点F为的中点． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】全等三角形综合问题、三角形中位线的实际应用、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理， （1）连接，再连接两个交点与交于点G，即可； （2）连接交于点O，连接并延长交于点P，即可； 【详解】（1） 点G即为所求； （2） 点P即为所求； 类型三、菱形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定： （1）连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； 易证明，则，则， 易证明，则； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明，则， 易证明四边形是平行四边形，可得，则 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． （2）连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接即可． 【详解】（1）解：如图中，连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． 理由：是菱形， ， ， ， ， ， ， 即直线将菱形分为面积相等的两部分． （2）解：如图中，连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接，矩形即为所求作． 理由：是菱形， ， ， ， ， ∵点E、F为边中点， 点H、G为边中点， ， ， 是矩形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 类型四、正方形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，四边形为正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中，以为边，在正方形内作一个平行四边形； (2)在图2中，在上找一个点M，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点： （1）结合正方形的性质以及平行四边形的判定，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接，则平行四边形即为所求． （2）结合正方形的性质，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点M，则点M即为所求． 熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：如图1，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接， ∵为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形即为所求． （2）如图2，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点M， ∵为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则点M即为所求． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分； (2)请在图2中完成：在边上找点G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于O，连接并延长交于F，直线即为所求； （2）连接交于H，连接交于G，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图，点即为所作， 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知，在正方形中，请仅用无刻度直尺按要求画图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E为对角线上一点，在上取一点F，使； (2)如图2，点M为边上一点，在上取一点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接交于点F，则点F即为所求； （2）连接AC，连接DM交AC于点O，连接BO并延长交AD于点N，则点N即为所求． 【详解】（1）如图，点F即为所求， 理由：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点N即为所求， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，全三角形的判定与性质，正方形的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 类型五、平行四边形中的折叠问题 例题：（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 【答案】110 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 故答案为：110． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ． 【答案】或 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】如图，当落在上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图， 当，，此时重合，，，可得落在上，从而可得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， 如图，当落在上时， ∵由对折可得：，，，， ∴，记垂足为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图， 当，，， 此时重合，，， ∴落在上， ∴， 综上：或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键． 类型六、矩形中的折叠问题 例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    【答案】 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得到． 由，求出，由邻补角的性质得到，由折叠的性质可得到． 【详解】解：，， ， ， 由折叠的性质得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【答案】1 【知识点】根据等角对等边求边长、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，， ∴，， 则第三幅图中，， ． 故答案为：1． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查矩形与折叠的综合，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，根据题意，分类讨论：当时，利用勾股定理，进行解答；当时，根据折叠的性质，可得，根据等边对等角，， 根据，，得到，再根据等角对等边，进行解答，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由折叠可得，， ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，此时点在上； ∴设 ∴ ∴ 解得： ∴； 当时，此时点在矩形内部， ∵将沿所在的直线折叠，点的对应点为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 3．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 类型七、菱形中的折叠问题 例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 【答案】/30度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∵P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，， ∴， 故答案为： 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或3 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 类型八、正方形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【答案】或/或 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】∵点P在射线上运动，故分两种情况； 当点落在图①的位置时， 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 当点落在图②的位置时 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得，，，根据勾股定理求出、的长．继而求出，，最后在中由面积法，根据求出． 【详解】解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：，即． ∴ 连接、， 在中，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 2.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 【详解】四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质得：，， ，， ； 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识．在矩形中，， ，根据折叠的性质得到设，则由勾股定理得到，，列方程即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，， 根据折叠的性质得到 设，则 由勾股定理得到，， 即 解得 即的长度为， 故选：D 二、填空题 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】由菱形，可得，，则，由折叠的性质可知， ，，，则，，，可得，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知， ，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 三、解答题 5．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质证明、折叠问题 【分析】根据折叠的性质可得，求出，根据，可得，证明，同理可得，结论得证． 【详解】证明：由折叠得， ∴， ∴， ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江西九江·期末）已知，点E是的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图．    (1)如图1，求作的中点F； (2)如图2，求作的中点M． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】利用平行四边形的性质求解、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，三角形的中线交于一点等知识， （1）连接、交于点，作直线交于点，点即为所求； （2）在（1）的基础上，连接交于点，连接，并延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1， 点即为所求； （2）如图2，    点即为所求． 理由：的三条中线交于一点即可得点M为的中点． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在矩形中，点在上，，试分别在如图两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． (1)在图1中，画出的平分线； (2)在图2中，画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据等边对等角证明、根据三线合一证明、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三线合一： （1）连接，即为的平分线； （2）连接，交于点，作射线，即可． 【详解】（1）如图，即为所求； ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：平分； （2）如图所示：即为所求， ∵， ∴平分． 8．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）在菱形中，点E是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直尺作图．      (1)在图1中，过点E作线段，交于点F，并说明的理由； (2)在图2中，连接，在上找一点，使的值最小（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析，理由见解析； (2)见解析． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用菱形的性质证明、线段问题(轴对称综合题)、无刻度直尺作图 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，利用轴对称求最短路径． （1）根据菱形的性质，可得为的中位线，从而得到，即可说明理由； （2）根据菱形的性质可知，、两点关于对称，再利用两点间线段最短，即可确定点； 灵活利用相关性质解决问题是解题关键． 【详解】（1）解：如图，连接、交于点O，连接并延长交于点F，则线段为所求．    理由如下：四边形为菱形， 点O为的中点 点E为的中点， 为的中位线， ，即； （2）解：如图，连接交于点，则点即为所求．    9．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图①中，画出的中点M； (2)在图②中，画出的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】本题考查无尺规作图，涉及到正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）连接，连接的交点和点E，交于点M，点M为所求； （2）作法不唯一，根据正方形的性质，由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交与点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图，点M为所求；    （2）解：如图，点N即为所求，    由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交于点N，点N即为所求； ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 10．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【答案】(1)16 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． 11．（2020·云南昆明·三模）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处 (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，过点D作，交于点G， ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求的长为 _________． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析② 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】（1）证明是等腰三角形，可证明，可通过证明实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决． （2）①先判断四边形是平行四边形，再由（1）得到结论； ②要求的长，可先求出的长，在中，可由的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出的长．在中，知，可求出的长，问题得以解决． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）①四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形 又∵， ∴四边形是菱形 ②设，则， ∴ 在中，，解得：， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、矩形的性质、菱形的性质及判定、勾股定理等知识，学会分析、把各个知识点有机的联系在一起是解决本题的关键． 12．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．    (1)如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． (3)如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②2 (3)或． 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的定义 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求； （2）①根据折叠的性质直接计算即可；②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示：    （2）解：①根据折叠可知，， ∵， ∴； 故答案为：； ②根据折叠可知，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：2；    （3）解：由折叠可知，，设，则，， 当时，在中，， 解得：， ∴此时； 当时，过点D作于点F，如图所示：    ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$