专题09 菱形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（湘教版）

专题09 菱形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用菱形的性质求角度 1 类型二、利用菱形的性质求长度 3 类型三、利用菱形的性质求面积 7 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 10 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 15 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 19 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 22 压轴能力测评（16题） 26 解题知识必备 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 压轴题型讲练 类型一、利用菱形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在菱形中，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的对边平行可得，再由菱形的对角线平分一组对角可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是菱形的对角线， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在菱形中，，点E为对角线上一点，且，连接，则的度数为 ． 【答案】70 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据题意画出图形，由菱形的性质可求得的度数，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：如图，在菱形中，， 则； ∵， ∴； 故答案为：70． 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，过点作分别交，于点，，为的中点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质及三角形内角和的应用，根据菱形的性质得出，，进而可判定，利用直角三角形斜边上的中线性质和等边对等角可得出，利用平行线的性质可得出，即可求解. 的内角和解答即可． 【详解】解：设， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵F为的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 故答案为：． 类型二、利用菱形的性质求长度 例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵菱形两对边的距离为， ∴ ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明是等边三角形．如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在菱形中，，，点P在边上运动，当时，则的长为 ． 【答案】2或或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 分为（1）当在上时，过点作交延长线于点，连接，则，设，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，即可得出结果；（2）当在上时，设，由，即可得出结果；（3）当在上时，过点作交于点，设，证两点重合，在中，由勾股定理得，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，其边长为6，， ∴，， （1）当在上时，过点作交延长线于点，连接，如图所示： 则， ， 设， ， 由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：（不合题意舍去），， ； （2）当在上时，如图所示： 设， ， ， ∴，即， 解得：， ； （3）当在上时，过点作交于点，如图所示： 设， ， ∵四边形为菱形且， ， ， ∴两点重合， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， 综上所述，长度为：或2或， 故答案为：或2或． 类型三、利用菱形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得，，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，求出， 由即可求解；掌握菱形的性质及面积的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，与交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【变式训练】 1.（2024·陕西榆林·二模）已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，根据菱形的性质得到，，则，根据勾股定理求出，进而求出，根据菱形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形为菱形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为．    故答案为： 2.（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则 (用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中位线的性质和菱形的面积公式，连接，根据三角形的中线的性质可得；根据是的中位线，根据三角形中位线定理求的的长，然后根据菱形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，、是和的中点， ∴ ∵、是和的中点，即是的中位线， ∴ ∴菱形的面积为 故答案为：，． 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 例题：（2024·湖北武汉·二模）如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用平行四边形的性质得出，从而得出，进而求解即可． （2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）在菱形中，对角线相交于点，过点作于点，交于点． (1)求的度数； (2)①求证：；②若，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由菱形性质得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得到，再由直角三角形两锐角互余即可得到答案； （2）①由菱形性质，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质即可得到；②过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，设，在等腰直角三角形与中应用勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ； （2）证明：①四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ②过点作于点，如图所示： 四边形是菱形， 平分， 又， ， 设， ， 与均为等腰直角三角形， ，， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查菱形综合，涉及菱性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线性质和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握几何图形的判定与性质并灵活运用是解决问题的关键． 2.（2024八年级下·全国·专题练习）在菱形和等边中，，P是的中点． (1)如图1，点G在边上时， ①判断的形状，并证明； ②请连接，若，，求的长； (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接、．试判断、有怎样的关系，并给予证明． 【答案】(1)①是直角三角形，证明见解析；② (2)，证明见解析 【分析】（1）①证明，可知：是直角三角形； ②如图2，过作于，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，得的长，根据等边三角形的定义得，根据勾股定理可得的长，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得的长； （2）延长交于点，连接，，先证明，再证得，利用在中，，所以． 【详解】（1）①如图1， 是直角三角形， 理由是：四边形是菱形，， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形； ②如图2，过作于， ，， ， ， 中，， ， ， ， 是等边三角形， ， 由勾股定理得：， 由①知：是直角三角形，且是的中点， ； （2）如图3， ，理由是： 延长交于点，连接，， ，是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质等知识点，第二问题有难度，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键． 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 例题：如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据已知先判断，则，可判断①，结合含角的直角三角形的性质和中点的定义可判断④，由等边三角形的性质得出，接着证得，则，再由，得出四边形为平行四边形而不是菱形，即有不成立，根据平行四边形的性质得出，即可判断②③，从而得到答案． 【详解】解：、是等边三角形， ，，， ， ，， 为的中点， ， ， 即在与中， ， ， ，， ∴，即平分， 故①正确， 由①知，． ∵． ∴，即． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵，， ，， ， ， 由①知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴不成立，故②说法不正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， 则，故③说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择． 【变式训练】 1.如图，分别是的中点，且，下列结论；①；②四边形是矩形；③平分；④；⑤四边形的周长等于，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是菱形即可判断②，由菱形的性质即可判断①③⑤，没有条件可证明即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运是解此题的关键． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形，故②错误，不符合题意； ，平分，四边形的周长等于，故①③⑤正确，符合题意， 没有条件可证明，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 2.如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确； ②先证四边形是平行四边形，再证是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确； ③由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ，故①正确； ， 是等边三角形， ， 平行四边形是菱形，故②正确； 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形与四边形面积相等，故③正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：D． 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 例题：如图， 在平行四边形中， (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−−复杂作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质．解题的关键是： （1）根据基本作图，即可作得； （2）首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义，可证得，据此即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，，即为所求， ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是菱形． 【变式训练】 1.如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中的上找一点，连接，使得． (2)在图2中的上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由菱形的性质得到为的中点，则是的中位线，即可得出； （2）连接、交于点，连接并延长，交于点，证明，即可推出． 【详解】（1）解：如图，即为所求作；      （2）解：如图，即为所求作；      连接、交于点，连接并延长，交于点， 四边形是菱形， ，垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， 即． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质正确作图是解题关键． 2.如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图， (1)在图1中，过点作的平行线，与交于点． (2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的的性质和等边三角形的性质是解题的关键． （1）连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作； （2）连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作． 【详解】（1）解：连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作； （2）解：连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作． 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 例题：如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，，从而利用证明，进而可得，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形是菱形，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得，从而可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）四边形是菱形， 理由：，平分， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）平分，， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【变式训练】 1.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形为平行四边形，再证明，得到，即可得到四边形是菱形； （）连接交于点，由菱形的性质可得，，，进而由得，又由菱形的周长得，由直角三角形的性质可得，利用勾股定理得，即可求出的长度； 本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的应用，平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 2.已知，四边形是菱形． (1)若，则菱形的周长______； (2)如图①，、是对角线，则与的位置关系是_______． (3)如图②，点、分别在、上，且，，，点、分别在、上，与相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)20 (2)垂直 (3)见解析 【分析】此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识，证得四边形是平行四边形与是解题的关键． （1）根据菱形的性质即可得，即可得到结论； （2）根据菱形的性质即可得到结论； （3）由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是菱形，，可得，即可证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长． 故答案为：20； （2）∵四边形是菱形，、是对角线， ∴， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直； （3）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点H为边的中点．若菱形的周长为20，则的长为（） A． B．4 C．5 D．10 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出菱形的边长是解题的关键．由菱形的性质得，，则，由，求得，而点为边的中点，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，对角线、相交于点， ，， ， 菱形的周长为20， ， ， 点为边的中点， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在菱形中，是对角线上的点，且，为的中点，连接，．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三线合一、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识知识点，掌握菱形的对角线平分对角成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，即，在根据三角形的性质可得、，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵菱形， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 故选B． 4．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】由菱形的性质得出，得出菱形的面积54，勾股定理算出，最后结合等面积法列式计算，即可作答．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 在中， ∵ ， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，与相交于点，则下列结论：①，②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质等等解题的关键是对几何图形的性质能够灵活应用． ①首先证为等边三角形，得，，结合已知条件可证；②得，，得，进而可得结论；③证明则可得结论；④过点G分别作的垂线，垂足为N、M，由角平分线的性质得到，求出，进而得到，，据此可得． 【详解】解：在四边形是菱形中，∵， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； 如图所示，过点G分别作的垂线，垂足为N、M， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故④正确； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知菱形的对角线，相交于点若，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由菱形的对角线互相垂直且平分得到，再由勾股定理得到，则可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可添加条件． 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ．    【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查菱形的性质综合应用，灵活应用菱形性质是解题关键． 由菱形的，则在中根据勾股定理以及所对的直角边是斜边的一半，列方程可以求出的长，即可求出菱形的面积. 【详解】解：如图，连接与交于O，    ∵四边形为菱形 ∴，O为中点， ∵， ∴ 在中，， 设，根据勾股定理可得： 解得， ∴， ∴菱形的面积为 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的边长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．根据菱形的对角线互相平分且垂直得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：菱形中，，， ，， ， 则该菱形的边长为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】根据菱形性质得到，，连接，交于点，结合直角三角形性质得到，结合勾股定理和菱形性质得到，，再利用等腰三角形的性质分类讨论，并结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：菱形中，，为菱形的对角线， ，， 连接，交于点， ， ， ， ， ， 为等腰三角形时， ①当时，即点与点重合， ， ②当时，， ③当时， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； （2）根据矩形的性质，菱形的性质可得，，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积． 12．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，，．      (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵，． 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 点是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，   四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， 又， ， ． 13．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图． (1)使（保留画图痕迹）； (2)在上找到点G，使，作出等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图1中，连接交交于点，连接，延长交于点，此时； （2）连接交于点，与相交于点M，连接交于点G，连接交于点F，连接，此时，是等腰三角形． 【详解】（1）如图所示：    （2）如图所示： 14．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)若于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据平行四边形的性质可得，则，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据等角对等边，可得，进而根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）勾股定理求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，垂足为D，点E，F分别是的中点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)48 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由三角形中位线的性质可得，可证得四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质可得，先证明四边形是菱形，最后由菱形的判定可得结论； （2）连接．再由直角三角形的性质可得，设，可得及，再变形即可求解． 【详解】（1）证明∶， ． ∵点E，F，D分别是，的中点， ， ∴四边形是平行四边形， ∵中，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接．    ∵四边形是菱形， ． ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． ∵中，， ∴， 设， ， ，即， 四边形是菱形． ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质及勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．    (1)求证：； (2)将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： (3)在（2）的条件下探讨与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据菱形的性质证明，即可得到结论； （2）作，，垂足分别为点、，如图，可得，根据菱形的性质和，推出，证明，得出，进而可得结论； （3）先证明是等边三角形，得到，再证明；过P作交AB于点E，交BC于点G，如图，  则四边形PEGC是平行四边形，则可证明，，都是等边三角形，进而得到，过P作于点M，则，，则，即． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，． 又， ∴， ； （2）解：的大小不发生变化，； 理由：作，，垂足分别为点、，如图，   四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴ ∴，即． （3）解：； 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵由（1）可知，旋转得， ∴， 过P作交AB于点E，交BC于点G，如图，    ∴四边形PEGC是平行四边形， ，， ∴，，都是等边三角形， ∴， 过P作于点M，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 菱形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用菱形的性质求角度 1 类型二、利用菱形的性质求长度 3 类型三、利用菱形的性质求面积 7 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 10 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 15 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 19 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 22 压轴能力测评（16题） 26 解题知识必备 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 压轴题型讲练 类型一、利用菱形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在菱形中，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在菱形中，，点E为对角线上一点，且，连接，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，过点作分别交，于点，，为的中点，，则的度数为 ． 类型二、利用菱形的性质求长度 例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在菱形中，，，点P在边上运动，当时，则的长为 ． 类型三、利用菱形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是 ． 【变式训练】 1.（2024·陕西榆林·二模）已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为 ．（结果保留根号） 2.（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则 (用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 例题：（2024·湖北武汉·二模）如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）在菱形中，对角线相交于点，过点作于点，交于点． (1)求的度数； (2)①求证：；②若，求的长． 2.（2024八年级下·全国·专题练习）在菱形和等边中，，P是的中点． (1)如图1，点G在边上时， ①判断的形状，并证明； ②请连接，若，，求的长； (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接、．试判断、有怎样的关系，并给予证明． 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 例题：如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【变式训练】 1.如图，分别是的中点，且，下列结论；①；②四边形是矩形；③平分；④；⑤四边形的周长等于，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 例题：如图， 在平行四边形中， (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形． 【变式训练】 1.如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中的上找一点，连接，使得． (2)在图2中的上找一点，连接，使得． 2.如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图， (1)在图1中，过点作的平行线，与交于点． (2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点． 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 例题：如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 2.已知，四边形是菱形． (1)若，则菱形的周长______； (2)如图①，、是对角线，则与的位置关系是_______． (3)如图②，点、分别在、上，且，，，点、分别在、上，与相交于点．求证：四边形是菱形． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点H为边的中点．若菱形的周长为20，则的长为（） A． B．4 C．5 D．10 3．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在菱形中，是对角线上的点，且，为的中点，连接，．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，与相交于点，则下列结论：①，②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知菱形的对角线，相交于点若，，则的度数是 ． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 8．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ．    9．（24-25九年级上·辽宁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的边长为 ． 10．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 12．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，，．      (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 13．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图． (1)使（保留画图痕迹）； (2)在上找到点G，使，作出等腰． 14．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)若于点，求的长． 15．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，垂足为D，点E，F分别是的中点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的值． 16．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．    (1)求证：； (2)将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： (3)在（2）的条件下探讨与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$