专题10 正方形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题10 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 3 类型三、求正方形重叠部分面积 7 类型四、根据正方形的性质证明 10 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 15 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 19 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 24 压轴能力测评（16题） 30 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【变式训练】 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 类型三、求正方形重叠部分面积 例5.（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是 ． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 2.（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 类型四、根据正方形的性质证明 例6.（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例9. （23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．如图所示，的对角线,相交于点，以下说法正确的是（    ）    A．若，则是矩形 B．若，则是菱形 C．若，则是正方形 D．若，则是正方形 2．如图，在正方形中，点是的中点，点在上，连接，．若，，则一定等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交于点G，．已知，，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线前去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ． 7．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且，若，则的度数是 ． 8．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为 ． 9．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则 ，的面积是 ． 10．正方形的对角线，交于点，点在上，，点为的中点，，连接，则的长为 ． 三、解答题 11．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 12．如图，四边形和四边形 都是正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（只能应用直尺进行连线，并保留画图的痕迹） ． (1)如图1， 过点E， 作线段的垂线； (2)如图2， 在上确定一点P，使． 13．如图1，的各内角的平分线分别相交于点，，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图2，当为矩形时， ①四边形的形状为　　　； ②若，四边形的面积为，求的长． 14．如图1，在正方形中，E是上一点，过点D作于点O，交于点F，与的延长线交于点G，连结． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)如图2，在上取一点H，连结，当，猜想与的数量关系，并证明． 15．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：． (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． ①求证：矩形是正方形． ②若正方形的边长为，，直接写出正方形的边长． 16．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 3 类型三、求正方形重叠部分面积 7 类型四、根据正方形的性质证明 10 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 15 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 19 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 24 压轴能力测评（16题） 30 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质，可得，又由，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，进一步即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】/75度 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题主要查了正方形的性质，等边三角形的性质．根据正方形的性质可得，，再由等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，     ∴， ∴， ∴． 故答案为： 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，推出，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵正方形，边长为4， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、含30度直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键；作轴于，作轴于，作于，根据含30度直角三角形性质及勾股定理求解即可； 【详解】解：作轴于，作轴于，作于，如图， 与轴的夹角为， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ， ， 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、相交于H，先证明，得到，从而得到，再证明，得到，从而得到，即可由直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：延长、相交于H，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2． 类型三、求正方形重叠部分面积 例5.（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，本题的解题关键是知道题中重合的部分的面积是不变的，总是等于正方形面积的． 根据正方形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定得出，即可求出四边形的面积三角形的面积，即可得出答案． 【详解】解：如图： 连接和，则和都过点O， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：4． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 2.（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【详解】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、根据正方形的性质证明 例6.（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)；，理由见解析． 【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可； （）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论； 过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形, ∴，即， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵，关于对称， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ，理由： 过点作于点，    ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同角的等角相等等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15 (2)①；②，见解析 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题； （2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题； ②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题， 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， 点C关于直线的对称点为F， ， ， 故答案为：． （2）解：①四边形是正方形， ，， 点C关于直线的对称点为F， ，， ， 设， ， ， ； ②解：数量关系为：， 理由如下： 过点作交于点，连接， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例9. （23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可； （2）证明，推出，得到四边形是菱形，再证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示：； ； （2）解：四边形是正方形， ∵正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定． （1）平分正方形的面积，会经过正方形的中心，过点作的垂线即可； （2）过点作于点，过点作，设交于点，证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图所示，过点作于点，过点作，设交于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴即 在中， ∴ ∴ 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，即有； （2）设、交于点T，连接、，二者交于点P，连接，连接，并延长交于点G，连接，并延长交的延长线于点O，连接，问题得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 在正方形中，有，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）如图， 矩形即为所求． 证明：根据点E为边中点，，可得，进而可证明，则有，，即点T为、的中点； 根据正方形的性质可得点P为、的中点； 即有：，，结合点P为、的中点，可得点G为、的中点，即可证明四边形是平行四边形，结合，则平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】先由正方形的性质得到，，再由线段中点的定义推出，，据此可证明四边形是平行四边形，即可判断②；证明，得到，进而证明，即，即可判断①；根据直角三角形的性质可得，据此可判断⑤；根据，即可判断③；证明垂直平分，得到，进而证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，，分别为边，，上的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点G为的中点， ∴，故⑤正确； ∵， ∴，故③错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质与判定,直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．本题的综合性较强，是中考常考题型． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质和“”可证明，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设相交于点，相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理可得，即可判断②；过点作的延长线于，过点作于，根据余角的性质即可判断③；利用“”即可证明，可得，同理可证，从而得到，再证明，可得，从而可判断④． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于，过点作于，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质得，，而，则，即可证明，得，，可判断①正确，②正确，由，得，可判断③正确；设，则，求得，所以，由，求得，则，所以点不是的中点，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点， ， ， 在和中， ， ， ，，， 故①②正确； ， ， 故③正确； 设， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 点不是的中点， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、中点定义及三角形面积等知识，证明是解题的关键． 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系、证明四边形是正方形 【分析】（1）过点作于点，于点，根据正方形的性质有，接着证，得出，最后根据四边形是矩形，问题得证 （2）连接，先证，得出，在中，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）31 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解； （）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长，进而可得到答案； 本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）四边形 是正方形，见解析；（2），见解析；（3），不发生变化，见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）， ，， 证明 ，，可得，可得矩形是正方形． （2）证明四边形是矩形，结合 ， 可得四边形是正方形 ，可得，进一步可得结论； （3）过点B作于点P ，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ， 理由： ∵四边形是矩形， ∴ ， 又∵， ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 即， 又∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴矩形是正方形． （2）， 理由： ， ， ， ∴四边形是矩形， 由（1）得 ， ∴ ，， ∴四边形是正方形 ， ∴， ∴； （3），理由如下： 过点B作于点P ，在上截取，连接， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形为正方形， ∴，，， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．如图所示，的对角线,相交于点，以下说法正确的是（    ）    A．若，则是矩形 B．若，则是菱形 C．若，则是正方形 D．若，则是正方形 【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定定理，熟悉了解三者之间的关系及判定定理是解题关键．根据矩形、菱形、正方形的判定定理依次进行判断即可． 【详解】解：A、的对角线，相交于点，且， 是矩形，原说法正确，符合题意； B、若，得不到是菱形，原说法错误，不符合题意； C、若，得不到是正方形，原说法错误，不符合题意； D、若，则是矩形，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．如图，在正方形中，点是的中点，点在上，连接，．若，，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长、交于点，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由各角之间的关系即可得出结果． 【详解】解：延长、交于点，如图所示： 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交于点G，．已知，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到 【详解】解：过E作于M， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 4．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线前去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形折叠问题 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及折叠的性质，连接，设直线与边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用a分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：连接，设直线与边的交点为P，如图： 由折叠可知点四点共线，且， 设正方形的边长为， 则正方形的面积为， ∵若正方形与五边形的面积相等 ∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】对于①，过点E作，交于点H，根据正方形的性质可逐步推得，再根据全等三角形的判定，可证明，即得结论成立； 对于②，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明结论成立； 对于③，连结，，证明，可得，再根据等腰三角形三线合一性质，即得结论成立； 对于④，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】解：过点E作，交于点H， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， ， ， 故②正确； 连结，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故③正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题 6．如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查的是正方形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，，再进一步可得，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵正方形的面积为， ∴，，，， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： 7．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且，若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正方形的性质及全等三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识，由正方形性质可知，，，，易证，则，过点作交于，则，可证，得，证得，可知，即为的中点，得，可知，进而可得答案．理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，，， ∵， ∴，则， 过点作交于，则， ∴，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，灵活运用所学知识解决问题．根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为， ∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为， ∴平行四边形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为： 9．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则 ，的面积是 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，先证明、是矩形，即可得到N是FC的中点，然后根据等腰直角三角形的三线合一得到，，然后求出长，即可得到长，再根据解题即可． 【详解】连接， ∵是正方形， ∴，，， ∴、是矩形， ∴，，， 又∵是的中点， ∴F、C、N共线，且N是FC的中点， 又∵，， ∴， ∴， 又∵点M是的中点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴， 故答案为：，． 10．正方形的对角线，交于点，点在上，，点为的中点，，连接，则的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，解直线三角形，连接，过点E作，先根据正方形的性质得到，，然后根据，即可得到长，再根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接，过点E作，交的延长线于点G， ∵是正方形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图，连接，过点E作于点G， 可得， ∴； 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． （2）解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 12．如图，四边形和四边形 都是正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（只能应用直尺进行连线，并保留画图的痕迹） ． (1)如图1， 过点E， 作线段的垂线； (2)如图2， 在上确定一点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、正方形性质理解、无刻度直尺作图 【分析】本题考查无刻度直尺作图，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题关键． （1）连接，并延长交于，通过证明得到，然后证明，从而确定点满足条件； （2）连接，并延长交于，先证明，则，然后证明得到，从而确定点满足条件． 【详解】（1）解：连接，并延长交于， ∵四边形和四边形 都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， 故点即为所求； （2）连接，并延长交于， ∵四边形和四边形 都是正方形， ∴，，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求． 13．如图1，的各内角的平分线分别相交于点，，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图2，当为矩形时， ①四边形的形状为　　　； ②若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①正方形；证明见解析；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了特殊平行四边形综合， （1）根据平行四边形的邻角互补，以及角平分线平分角，得到四边形的四个内角均为，即可得证； （2）①由（1）可知，四边形为矩形，根据矩形的性质以及角平分线平分角，得到均为等腰直角三角形，进而推出，得到四边形为正方形；②根据正方形的面积为6，得到正方形的边长为，利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）①四边形为正方形； 证明：同（1）法可得：四边形为矩形； ∵为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 即：， 又∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； 故答案为：正方形； ②由①得：， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理．熟练掌握平行四边形的邻角互补，是解题的关键． 14．如图1，在正方形中，E是上一点，过点D作于点O，交于点F，与的延长线交于点G，连结． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)如图2，在上取一点H，连结，当，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明即可； （2）同理（1）可证，再根据正方形的性质结合，可得点F是的中点，进而得到，易证，推出，即得到点是的中点，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质即可得到结论； （3）过点A作于点M，利用正方形的性质证明，得到，再证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：同理（1）得证， ∴， ∵，， ∴， ∴点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴得到点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 过点A作于点M， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 15．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．    (1)求证：． (2)如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． ①求证：矩形是正方形． ②若正方形的边长为，，直接写出正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】（1）由正方形得，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用勾股定理得到，再证明，即可得出，从而证明结论；②过点E作于M，易得是等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，最后由勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）∵在正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图，作于点P，于点Q，    ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形，由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形，    根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴，即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 16．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，根据三线合一，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得到，证明垂直平分，得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； （2）∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$