6.2.3向量的数乘运算-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.2.3 向量的 数乘运算 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.(重点) 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.(重点) 4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题.(难点) 学习目标 在实数运算中，3个5相加可以写成5+5+5，也可以用乘法表示为5×3；同样，3个a相加可以写成a+a+a，也可以用乘法表示为3a。那么，在向量运算中，3个向量a相加可以写成a+a+a，但能不能写成3a呢？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算。 导 语 目 录 1 2 3 4 向量的线性运算 向量共线定理的应用 用已知向量表示相关向量 CONTENTS 书读百遍 其义自现 向量的线性运算 1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 思考1 提示　a+a+a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(-a)+(-a)+(-a)是a的长度的3倍，与a的方向相反. 类比实数与代数式的运算，请猜想向量的数乘有哪些运算律？ 思考2 提示　结合律，分配律 1.一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|= . (2)λa(a≠0)的方向： 向量 数乘 λa |λ||a| 特别地，当λ=0时，λa=____. 当λ=-1时，(-1)a=____. 0 -a 知识梳理 2.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)= . (2)(λ+μ)a= . (3)λ(a+b)= . 特别地，(-λ)a=-(λa)= ，λ(a-b)= . 知识梳理 3.向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= . 数乘 向量 λμ1a±λμ2b 知识梳理 注意： (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 知识梳理 11 题型一　向量的线性运算 探究1 0 向量共线定理的应用 2 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 思考3 提示　实数与向量的积与原向量共线. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . b=λa 知识梳理 注意： (1)向量共线定理中规定a≠0，b可以为0. (2)λ的值是唯一存在的. (3)向量共线定理的本质是位于同一直线上的向量可以由位于该直线上的一个非零向量表示. 题型二　向量共线定理的应用 探究2 √ 用已知向量表示相关向量 3 题型三　用已知向量表示相关向量 √ 探究3 √ 书读百遍 其义自现 4 λa |λ||a| λ>0 λ<0 0 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb λμ1a±λμ2b b＝λa 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ √ －4 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ (3)3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，求x. 【解析】　(3)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 例1　计算： (1)2×(－3a)； 【解析】　(1)原式＝[2×(－3)]a＝－6a. (2)(a＋b)－3(a－b)－8a； 【解析】　(2)原式＝－10a＋4b. (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． 思考题1　(1)化简：eq \f(1,12)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 【解析】　原式＝eq \f(1,12)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq \f(1,12)[(4－16)a＋(16＋8)b]＝－a＋2b. (2)已知向量a，b，x，且(x－2a)－(3b－x)＝x－(2a＋3b)，则x＝________． 【解析】　因为(x－2a)－(3b－x)＝x－(2a＋3b)，所以2x－2a－3b＝x－2a－3b，即x＝0. 例2　设向量a与b不共线： (1)若eq \o(AB,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up12(→))＝2a＋8b，eq \o(CD,\s\up12(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； 【思路】　(1)欲证A，B，D三点共线，即证存在实数λ，使eq \o(AB,\s\up12(→))＝λeq \o(BD,\s\up12(→))，只要由已知条件找出λ即可． 【解析】　(1)证明：∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up12(→))＝2a＋8b，eq \o(CD,\s\up12(→))＝3(a－b)， ∴eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \o(AB,\s\up12(→)). ∴eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BD,\s\up12(→))共线，又∵eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BD,\s\up12(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线． 【思路】　(2)由两向量共线，列出关于a，b的等式，再由a与b不共线知，若λa＝μb，则λ＝μ＝0. 【解析】　(2)∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b， ∵a，b是不共线的向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a，b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线． 思考题2　设向量a，b不共线，向量a＋b与2a－kb共线，则实数k＝(　　) A．－2　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 【解析】　向量a，b不共线，向量a＋b与2a－kb共线，则存在实数λ，使2a－kb＝λ(a＋b)， 即(2－λ)a－(k＋λ)b＝0.由于向量a，b不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－λ＝0，,k＋λ＝0，))解得λ＝2，k＝－2.故选A. 例3　如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量eq \o(CD,\s\up12(→))＝(　　) A.eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→)) B．－eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→)) C．－eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→)) D.eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→)) 【解析】　方法一：∵D是AB的中点，∴eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→))， ∴eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝－eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→)). 方法二：eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→)))＝eq \f(1,2)[eq \o(CB,\s\up12(→))＋(eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BA,\s\up12(→)))]＝eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→))＝－eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up12(→)). 用已知向量表示相关向量的方法： (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． (3)中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则eq \o(OM,\s\up12(→))＝eq \f(\o(OA,\s\up12(→))＋\o(OB,\s\up12(→)),2). 思考题3　在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \o(DF,\s\up12(→))＝(　　) A.eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up12(→))　　B.eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up12(→))　　C.eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up12(→))　　D.eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up12(→)) 【解析】　如图所示，∵四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，F为AE的中点， ∴eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \o(AF,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AE,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BE,\s\up12(→)))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up12(→))))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up12(→)).故选A. 要点1　向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作_____，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝_______． (2)λa的方向eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(当_____时，与a方向相同，,当_____时，与a方向相反.)) 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝___，或λ0＝___． 要点2　向量数乘的运算律 设λ，μ为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝_______； (2)(λ＋μ)a＝_______； (3)λ(a＋b)＝_______． 要点3　向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________． 要点4　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使______． 注：向量共线定理可以划分为两个定理： ①判定定理：如果b＝λa(λ∈R)，那么a∥b. ②性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 答：(2)正确． 答：(3)可以．当λ>0时，不改变方向，当λ<0时，所得向量与原向量反向． 1．(1)向量与实数可以求积，能求加、减运算吗？ 答：(1)不能，如λ＋a，λ－a无意义． (2)λa＝0⇔λ＝0或a＝0对吗？ (3)数乘运算λa(λa≠0)可以伸缩向量的模，同时也可以改变向量的方向吗？ 4．若向量a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ，μ有何特征？ 答：λ＝μ＝0. 2．若a与b共线，一定有唯一的λ使a＝λb吗？ 答：不一定，当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有唯一的λ使a＝λb. 3．如何理解向量共线定理中的“存在唯一一个实数λ”？ 答：其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ. 1．【多选题】已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是(　　) A．λa∥a　　　　　 B．λa与a方向相同 C.eq \f(a,|a|)是单位向量 D．若|λa|>|a|，则λ>1 解析　∵a≠0，∴必有λa∥a，而eq \f(a,|a|)是与a同向的单位向量，故A、C正确；对于B，当λ>0时，λa与a同向，当λ<0时，λa与a反向；对于D，由|λa|>|a|⇒|λ||a|>|a|⇒|λ|>1⇒λ>1或λ<－1，故B、D错误． 2．已知点C在直线AB上，且eq \o(AC,\s\up12(→))＝3eq \o(AB,\s\up12(→))，则eq \o(BC,\s\up12(→))＝(　　) A．－2eq \o(AB,\s\up12(→)) B.eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→)) C．－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→)) D．2eq \o(AB,\s\up12(→)) 解析　如图，eq \o(AC,\s\up12(→))＝3eq \o(AB,\s\up12(→))，所以eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝3eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝2eq \o(AB,\s\up12(→)). 3．在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，则(　　) A.eq \o(AO,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→)) B.eq \o(AO,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))) C.eq \o(AO,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→)) D.eq \o(AO,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))) 解析　如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，由平行四边形法则得eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＝2eq \o(AO,\s\up12(→))，所以eq \o(AO,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→)))．故选B. 4．已知O，A，B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足2eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝0，则eq \o(OC,\s\up12(→))＝(　　) A．2eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)) B．－eq \o(OA,\s\up12(→))＋2eq \o(OB,\s\up12(→)) C.eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up12(→)) D．－eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \f(2,3) eq \o(OB,\s\up12(→)) 解析　方法一：∵2eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝0，∴2(eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))＋(eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→)))＝0， 即2eq \o(OC,\s\up12(→))－2eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＝0，∴eq \o(OC,\s\up12(→))＝2eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)).故选A. 方法二：由2eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝0，知点C在BA的延长线上，且点A是线段BC的中点，如图，由向量加法的平行四边形法则知，eq \o(OC,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))＝2eq \o(OA,\s\up12(→))，∴eq \o(OC,\s\up12(→))＝2eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)). 5．设向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，则实数λ＝________． 解析　因为向量a，b不平行，向量2a－λb与a＋2b平行，所以存在实数μ，使得2a－λb＝μ(a＋2b)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝μ，,－λ＝2μ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－4，,μ＝2.)) $$