2024-2025学年人教A版高一数学必修二第二学期6.2.3 向量的数乘运算

人教A版高一数学必修二第二学期6.2.3 向量的数乘运算 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 核心素养目标 1.数学抽象：引导学生从物理、几何等实际背景中，抽象出平面向量的概念，以及向量加法、减法、数乘运算和数量积运算的定义，理解向量运算与实数运算的区别与联系，形成用向量语言和方法表述和解决现实问题的能力。 2.直观想象：借助图形直观，帮助学生理解平面向量运算的几何意义，通过向量的几何表示和运算的可视化，使学生能够直观地感知向量运算的过程和结果，培养学生的空间观念和几何直观能力，进而利用向量运算解决几何问题。 3.逻辑推理： 通过对平面向量运算规则和性质的探究与推导，培养学生的逻辑思维能力，使学生能够依据已有的定义、定理和运算法则，进行合理的推理和论证，得出新的结论，并能有条理地表达自己的推理过程。 4.数学运算：让学生熟练掌握平面向量的各种运算方法和技巧，能够准确、快速地进行向量的加、减、数乘、数量积等运算，并能运用向量运算解决与向量模长、夹角、垂直、平行等相关的数学问题，提高学生的运算能力和数学应用能力。 教学目标 教学重点：：1. 掌握向量加、减、数乘、数量积运算的概念、法则及 运算律。 2. 熟练进行向量的坐标运算 。 3. 运用向量运算解决几何、物理等实际问题。 教学难点：1. 理解并应用向量运算的几何意义。 2. 掌握向量数量积的概念与运算性质。 3. 实现向量运算与其他知识的综合运用 。 情境导入 复习回顾 1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则: 特点:首尾相接，连首尾 特点:同一起点, 对角线 3.向量减法三角形法则: 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 4 知识讲解 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化？这些变化与那些因素有关？ 知识讲解 一般地，我们规定实数入与向量a的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作 。 注意： 1.向量数乘的结果仍然是向量； 2．实数和向量可以相乘，但不能相加减， 无意义； 向量数乘的几何意义是什么？ 知识讲解 探究：向量数乘运算的几何意义是什么? 如右图，在向量数乘中， 可视为将向量a的长度伸长（ ≥1）或缩短( ≤1）的倍数。 的符号表示能够改变向量的方向， 当 > 0时， 的方向与 的方向相同； 当 < 0时， 的方向与 的方向相反； 当 ＝0时， = （若 = , = 也成立） 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 相反向量：(-1) = 零向量： = 或 =0 = 知识讲解 思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算 是否也满足上述运算律呢？ 9 知识讲解 思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 知识讲解 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 向量线性运算的结果仍是向量。 1. 知识讲解 实数与向量积的运算律： 结合律 分配率 分配率 特别地，有 12 知识讲解 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍为向量。 对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 13 知识讲解 以 为例，解释如下： 结合律 ★ 结合率的几何意义：将表示向量 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍，再伸长或缩短 倍，与将表示向量 的有向线段伸长或缩短至原来的 倍所得的结果相同. 第一分配律 ★ 第一分配率的几何意义：将表示向量 的有向线段伸长或缩短至原来的 倍，与将表示向量 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍后，在与表示向量 的有向线段伸长或缩短至原来的 倍后相加所得的结果相同. 第二分配律 ★ 第二分配率的几何意义：将表示向量 ， 的有向线段先相加，再伸长或缩短 倍，与将表示向量 ， 的有向线段先伸长或缩短至原来的 倍后再相加，所得的结果相同. 知识讲解 把下列小题中的向量 表示为向量 的数乘形式。 下列说法中正确的是（ ) A. 与 的方向不是相同就是相反（ 为实数） B．若 共线，则 = ( 为实数） c．若 = ，则 = D．若 = ，则＝ D 知识讲解 例1.计算： 解: 注意：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算. 知识讲解 A B D C M PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 知识讲解 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 18 知识讲解 知识讲解 20 知识讲解 向量共线定理 向量 与 共线的充要条件是：存在有唯一一个实数 ，使 2、 可以是零向量吗? 可以 知识讲解 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 易得，实数与向量的积与原向量共线 事实上，对于向量 , ，如果有一个实数 ，使 ,那么由向量数乘的定义可知 与 共线． 反过来，已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 的长度的μ倍，即 ，那么当 与 同方向时，有 ；当 反方向时，有 向量共线定理： 向量 与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ， 知识讲解 向量共线定理： 向量 与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ， 意义：根据这一定理，设非零向量 位于直线 上，那么对于直线 上的任意一个向量 , 都存在唯一的一个实数 ，使 ．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示． 向量共线定理中为什么规定 ? 知识讲解 解： 且有公共点Ａ O A B C 知识讲解 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，求实数 的值。 解：由 不共线，易知向量 为非零向量。 由向量 共线，可知存在实数 ，使得 知识讲解 C 知识讲解 C 知识讲解 A 知识讲解 知识讲解 小结 知识讲解 Lavf58.20.100 $$