6.2.2向量的减法运算-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.2.2 向量的 减法运算 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.(重点) 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.(难点) 学习目标 上节课我们学习了向量的加法运算，并且掌握了三角形法则和平行四边形法则。通过练习，绝大部分同学都学得很好。那么，向量有没有减法运算呢？又该如何进行向量的减法运算呢？今天我们一起来学习！ 导 语 目 录 1 2 3 4 利用向量加减法作图 向量加减法的基本运算 用已知向量表示其他向量 CONTENTS 书读百遍 其义自现 利用向量加减法作图 1 在初中，我们学过相反数，课本上是怎么给它定义的？互为相反数的两个数有什么性质？结合定义和性质，我们能否给出“相反向量”的定义？ 思考1 提示　只有符号不同的两个数叫做相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等.由于向量既有大小，又有方向，所以我们可以从这两个角度，类比相反数的定义和性质，给出如下相反向量的定义，长度相等但方向相反的两个向量称作相反向量. 在数的运算中，减法是求两个实数的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，类比上面的这段话，把其中的“数”变为“向量”，上面这段话变成什么了？ 思考2 提示　类比上面的这段话，我们可以得到：在向量的运算中，减法是求两个向量的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 如果已知=a，=b，请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到a-b. 思考3 提示　如图，作=-b，由向量减法与加法的转化规则可知a-b=a+(-b)=+，以和为邻边作平行四边形OACD，则+=，且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以==a-b. 1.相反向量：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 . 2.相反向量的性质： (1)零向量的相反向量仍是 . (2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a= . (3)如果a，b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b= . 相等 相反 相反 -a 零向量 0 0 知识梳理 3.向量的减法：向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量 的运算叫做向量的减法.从定义可以看出，向量的减法可以转化成向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 知识梳理 4.已知向量a，b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b.即a-b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的向量，这就是向量减法的几何意义.归纳口诀为共起点、连终点、指被减，意思是求两个向量的差向量时，起点要重合，连接它们的终点，方向由减向量的终点指向被减向量的终点. 终点 知识梳理 注意： (1)a的相反向量也是向量，也需要从大小和方向两个角度来理解. (2)相反向量与方向相反的向量不是一回事，两个向量互为相反向量，它们的方向一定是相反的，但当两个向量方向相反时，它们不一定是相反向量，因为它们的模不一定相等. 知识梳理 12 题型一　利用向量加减法作图 探究1 向量加减法的基本运算 2 题型二　向量加减法的基本运算 0 √ 探究2 √ √ 用已知向量表示其他向量 3 题型三　用已知向量表示其他向量 探究3 √ 书读百遍 其义自现 4 方向相反 a 0 0 差 起点 起点 终点 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a＋b－c. 【解析】　方法一：在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c， 作eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(CB,\s\up12(→))，则eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＝(a＋b)－c＝a＋b－c.如图1所示． 方法二：利用a＋b－c＝a＋b＋(－c)． 在平面内任取一点O.作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，eq \o(BC,\s\up12(→))＝－c，则eq \o(OC,\s\up12(→))＝a＋b－c，如图2所示． 求作两个向量的差向量的两种思路： (1)用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法运算． 思考题1　(1)已知△ABC，试用几何法作出向量eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→)). 【解析】　如图，延长BA到G，使BA＝AG，则eq \o(BA,\s\up12(→))＝eq \o(AG,\s\up12(→))，连接CG，那么eq \o(CG,\s\up12(→))就是eq \o(AG,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))，即eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→)). (2)已知正方形ABCD，eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(BC,\s\up12(→))＝b，eq \o(AC,\s\up12(→))＝c，求作向量①a＋b＋c；②a－b＋c. 【解析】　①延长AC至E，使AC＝CE，则eq \o(AE,\s\up12(→))即为所求． ②延长AB至F，使AB＝BF，则eq \o(AF,\s\up12(→))即为所求． 例2　(1)化简：(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→)))－(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→)))＝________． 【解析】　方法一：(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→)))－(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→)))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＝0. 方法二：(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→)))－(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→)))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→)))－eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝0. 方法三：设O是平面内任意一点，则(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→)))－(eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→)))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝(eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))－(eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→)))－(eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))＋(eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＋eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝0. (2)在平行四边形ABCD中，eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))等于(　　) A.eq \o(BD,\s\up12(→))　　　　　　 B.eq \o(AD,\s\up12(→)) C.eq \o(AB,\s\up12(→)) D.eq \o(AC,\s\up12(→)) 【解析】　在平行四边形ABCD中，可得eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(CD,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→)).故选B. 注意满足下列两种形式的可以化简： (1)首尾相接且为和．(2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式．同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用． 思考题2　(1)给出下列各式： ①eq \o(AB,\s\up12(→))－(eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(CA,\s\up12(→)))；②eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))；③eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))； ④eq \o(NQ,\s\up12(→))＋eq \o(QP,\s\up12(→))＋eq \o(MN,\s\up12(→))－eq \o(MP,\s\up12(→)). 其中化简结果为0的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　①eq \o(AB,\s\up12(→))－(eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(CA,\s\up12(→)))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＝0. ②eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→)))－(eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→)))＝eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝0. ③eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝0. ④eq \o(NQ,\s\up12(→))＋eq \o(QP,\s\up12(→))＋eq \o(MN,\s\up12(→))－eq \o(MP,\s\up12(→))＝eq \o(NP,\s\up12(→))＋eq \o(PN,\s\up12(→))＝0. 以上各式化简后结果均为0.故选D. (2)△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(CE,\s\up12(→))等于(　　) A.eq \o(AC,\s\up12(→)) B.eq \o(BF,\s\up12(→)) C.eq \o(DE,\s\up12(→)) D.eq \o(AE,\s\up12(→)) 例3　(1)若eq \o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up12(→))＝a－b(a与b不共线)． ①当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？ ②当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? ③当a，b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？ ④a＋b与a－b可能是相等向量吗？ 【解析】　如图，用向量构建平行四边形，其中AC，DB恰为平行四边形的对角线． 由平行四边形法则，得eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝a－b. 问题①②③可转化为： ①当边AB，AD满足什么条件时，对角线互相垂直？ 答：|a|＝|b|. ②当边AB，AD满足什么条件时，对角线相等？ 答：a，b互相垂直． ③当边AB，AD满足什么条件时，对角线平分内角？ 答：|a|＝|b|. ④不可能，因为对角线方向不同． 【讲评】　灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师应引导学生注意领悟． (2)如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，试用向量a，b，c表示eq \o(OD,\s\up12(→)). 【解析】　在△AOD中，eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→))－a. 在△BOC中，eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝c－b. 又在▱ABCD中，eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))， 故eq \o(OD,\s\up12(→))－a＝c－b，即eq \o(OD,\s\up12(→))＝a－b＋c. 表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？ 思考题3　(1)已知两个不同的定点A，B，点M是AB的中点，点O为任意一定点，求证：eq \o(OM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→)))． 【证明】　∵eq \o(OM,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AM,\s\up12(→))， 又eq \o(AM,\s\up12(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))， ∴eq \o(OM,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→)))． (2)已知|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝1，则|a－b|＝(　　) A．1 B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D．2 【解析】　如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a|＝|b|＝1时，平行四边形ABDC为菱形．又|a＋b|＝1，∴△ABD为正三角形．∴∠ABD＝60°.容易得出|a－b|＝|eq \o(CB,\s\up12(→))|＝2|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝2eq \r(AB2－AO2)＝2×eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \r(3). 要点1　相反向量 与向量a长度相等，_________的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量． (2)－(－a)＝____． (3)a＋(－a)＝____． (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝____． 要点2　向量的减法 (1)定义：求两个向量____的运算叫做向量的减法． (2)减法法则：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，则eq \o(BA,\s\up12(→))＝a－b，如图所示． (3)几何意义：如果把两个向量的______放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为______，被减向量的终点为______的向量． (4)向量减法的三角形法则的记忆规律：作平移，共起点，两尾连，指被减． 1．相反向量就是方向相反的向量吗？ 答：不是．相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系． 2．若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 答：如图所示，设eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b.以OA，OB为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有eq \o(OC,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(BA,\s\up12(→))＝a－b.所以|a＋b|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|，|a－b|＝|eq \o(BA,\s\up12(→))|，即|a＋b|与|a－b|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 3．(1)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是什么？ (2)|a＋b|＝||a|－|b||成立的条件是什么？ (3)|a－b|＝|a|＋|b|成立的条件是什么？ (4)|a－b|＝||a|－|b||成立的条件是什么？ 答：(1)a与b同向或a与b至少有一个为零向量． (2)a与b反向或a与b至少有一个为零向量． (3)a与b反向或a与b至少有一个为零向量． (4)a与b同向或a与b至少有一个为零向量． 4．||a|－|b||，|a±b|，|a|＋|b|三者之间有怎样的关系？ 答：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 当a与b共线时，情况如上面3题． 当a与b不共线时，如图． 由a＋b＝eq \o(AC,\s\up12(→))，a－b＝eq \o(DB,\s\up12(→))知，||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|. 1．【多选题】若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b　　　　　 B．a≠b C．|a|≠|b| D．b＝－a 解析　非零向量a，b互为相反向量，则a，b大小相同，方向相反，所以a∥b，|a|＝|b|，b＝－a，a≠b. 2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　) A.eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(OF,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→)) B.eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(OF,\s\up12(→))－eq \o(OE,\s\up12(→)) C.eq \o(EF,\s\up12(→))＝－eq \o(OF,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→)) D.eq \o(EF,\s\up12(→))＝－eq \o(OF,\s\up12(→))－eq \o(OE,\s\up12(→)) 3．在平行四边形ABCD中，|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))|，则必有(　　) A.eq \o(AD,\s\up12(→))＝0 B.eq \o(AB,\s\up12(→))＝0或eq \o(AD,\s\up12(→))＝0 C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形 解析　在平行四边形ABCD中，|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))|，即|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(DB,\s\up12(→))|，可得ABCD是矩形． 4．设a表示向西走10 km，b表示向北走10eq \r(3) km，则a－b表示(　　) A．南偏西30°方向走20 km B．北偏西30°方向走20 km C．南偏东30°方向走20 km D．北偏东30°方向走20 km 解析　设eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，则a－b＝eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))， 又tan∠OBA＝eq \f(|\o(OA,\s\up12(→))|,|\o(OB,\s\up12(→))|)＝eq \f(10,10\r(3))＝eq \f(1,\r(3))，∴∠OBA＝30°，且|eq \o(BA,\s\up12(→))|＝eq \r(|\o(OA,\s\up12(→))|2＋|\o(OB,\s\up12(→))|2, )＝eq \r(102＋（10\r(3)）2)＝20(km)．故选A. 5．【多选题】下列说法正确的是(　　) A．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(OM,\s\up12(→))－eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→)) B．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(OM,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(OE,\s\up12(→)) C．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(EO,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→)) D．若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(DO,\s\up12(→))＋eq \o(EO,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→)) 解析　由向量的减法就是向量加法的逆运算可知A、B正确；由相反向量的定义可知eq \o(OE,\s\up12(→))＝－eq \o(EO,\s\up12(→))，所以若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，则eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(EO,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，C正确；若eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→))＝eq \o(OM,\s\up12(→))，由相反向量定义知，eq \o(DO,\s\up12(→))＋eq \o(EO,\s\up12(→))＝－eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OE,\s\up12(→))＝－(eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(OE,\s\up12(→)))＝－eq \o(OM,\s\up12(→))，故D错误．故选ABC. $$