第10讲 分式及其基本性质（10个知识清单+10类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第10讲 分式及其基本性质 课程标准 学习目标 1 分式的定义 2 分式有意义的条件 3 分式的值为零的条件 4分式的值 5 分式的基本性质 6约分 7 通分 8最简分式 9 最简公分母 10 列代数式（分式） 1 通过简单的应用题，引导学生列式，由分数的式子自然转到分式的式子，从而引出分式的概念，导入新课. 2 通过相应的习题使学生准确的理解分式的概念. 教学重、难点 · 重点：分式的意义及基本性质 · 难点：分式基本性质的灵活运用. 知识点01 分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【即学即练1】 1．（2022春•庐阳区校级月考）下列代数式中是分式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的定义，即可判断． 【解答】解：、不是分式，故不符合题意； 、不是分式，故不符合题意； 、是分式，故符合题意； 、不是分式，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 知识点02 分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【即学即练1】 2．（2023春•金寨县期末）要使分式有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键． 知识点03 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【即学即练1】 3．（2023春•蜀山区校级月考）如果分式的值为0，那么的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案． 【解答】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键． 【即学即练2】 4．（2023春•龙子湖区月考）已知分式的值为0，则　　． 【分析】根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论． 【解答】解：分式的值为零， ， 解得：． 故答案为：7． 【点评】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键． 知识点04分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【即学即练1】 5．已知，求分式的值． 【分析】已知等式变形用的式子表示，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：由，得到， 则原式． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 知识点05 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【即学即练1】 6．（2023春•蜀山区期末）下列各式中，错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 知识点06约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【即学即练1】 7．（2022春•庐阳区校级月考）小丽在化简分式时，部分不小心滴上了墨水，请你推测，部分的式子应该是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案． 【解答】解：， ， 故部分的式子应该是． 故选：． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 知识点07 通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【即学即练1】 8．通分 （1）与； （2）与． 【分析】（1）先找出最简公分母为，再进行通分即可； （2）先找出最简公分母为，再进行通分即可得出答案． 【解答】解：（1）； ． （2）； ． 【点评】此题考查了通分，通分的关键是确定最简公分母，确定最简公分母要注意：（1）如果各分母的系数都是整数，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2）如果各分母都是多项式，一般应先将其分解因式再确定最简公分母． 知识点08最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 【即学即练1】 9．（2022春•庐阳区校级月考）下列说法正确的是　　 A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【解答】解：、分式的值为零，则的值为，故此选项错误； 、根据分式的基本性质，等式，故此选项错误； 、分式中的，都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； 、分式是最简分式，正确； 故选：． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 知识点09 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【即学即练1】 10．，，的最简公分母是　　． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式，，的分母分别是、，，故最简公分母是． 故答案为 【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 知识点10 列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 【即学即练1】 11．（2023春•金寨县期末）一项工程，甲单独做需小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是　　 A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【分析】设工作总量为1，甲乙合作20小时可以完成，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需小时完成，甲的工效为，则乙的工效为：，由时间工作量工效列式． 【解答】解：设工作总量为1，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需小时完成，甲的工效为， 乙单独完成需要的时间是小时． 故选：． 【点评】本题考查工作量工效时间这个等量关系，如果没有工作总量，通常把工作总量看成1． 题型01 分式的判断 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列四个代数式中，其中为分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义，分母含有未知数的代数式是分式．根据分式得定义求解即可． 【详解】解：只有分母中含有未知数x， ∴为分式， 故选：D． 题型02 分式的规律性问题 2．（21-22七年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的规律性问题 【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可． 【详解】解：， ， ， …… 由此看出，，，，……（为正整数）的值是按照n，，每3个一循环，依次循环下去， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 3．（21-22七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】分式的规律性问题 【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式； （2）结合（1）即可写出第个等式． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 证明：左边 右边， 所以等式成立． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 题型03 分式有意义的条件 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义的条件分母不等于0是解题关键． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故选：D． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、分式有意义的条件、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了分式有意义的条件、算术平方根，熟练掌握分式的分母不能为0和算术平方根的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不能为0和算术平方根的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 题型04 分式值为零的条件 6．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得:， 故选：． 7．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知分式的值为，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论． 【详解】解：分式的值为零， ， 解得：． 故答案为：7． 【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键． 题型05分式的求值 8．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）若，则的值是（    ） A．10 B． C． D．23 【答案】D 【知识点】分式的求值 【分析】将已知等式变形为，再将所求式子利用分式的性质和完全平方公式变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握整体思想的运用，以及完全平方公式的变形． 9．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）已知x，y，z满足，则分式的值为 ． 【答案】2 【知识点】分式的求值 【分析】由，从而可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了求分式的值，由已知得到，再整体代入求解是解题关键． 题型06求使分式值为整数时未知数的整数值 10．（20-21七年级下·安徽六安·期末）若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】C 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】表示一个整数，则是6的因数，即可求解． 【详解】解：∵表示一个整数， ∴是6的因数 ∴的值为-6，-3，-2，-1，1，2，3，6， 相应的，x=，-3，，-2，，，0，，共8个． ∴满足x是整数的只有4个， 故选C． 【点睛】本题首先要根据分式值是整数的条件，求出的值，再求出x的值是解题的关键． 11．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 【答案】(1)0 (2)​或​或​或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】（1）​若使该式的值为正整数，则​能够被​整除，所以​可以为​，​，​；即​，​，；由​为整数得，​即可； （2）​分式​进行变形，化为​，若要使​值为整数，则​的值一定是整数，则​一定是​的约数，从而求得​的值． 【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则​能够被​整除， ​可以为​，​，​， ​，​，​， ​为整数， ​； （2）解：​， ​的值为整数，且​为整数； ​为​的约数， ​的值为​或​或​或​； ​的值为​或​或​或​． 【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则． 题型07判断分式变形是否正确 12．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列式子从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型08利用分式的基本性质判断分式值的变化 13．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小4倍 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的和都扩大2倍，可得分式的值为， 故选：A． 题型09最简分式 14．（22-23七年级·安徽宣城·期中）下列式子中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】若分式的分子分母再无公因式，则是最简分式，把各分式的分子分母进行因式分解即可作出判断． 【详解】解：A、是整式，故此选项错误； B、分子、分母不含有公因式，所以不能够约分，是最简分式； C、分子、分母含有公因式，能够约分，不是最简分式； D、分子、分母含有公因式，能够约分，不是最简分式； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式，关键是判断分式的分子、分母是否有公因式． 15．（19-20七年级下·安徽淮北·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】最简分式、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式 【分析】根据最简分式的概念，先将分子分母分别进行因式分解，使分子分母不含有公因式即可得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，把分子分母因式分解，然后确定有无公因式是解题的关键． 题型10 约分 16．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分 【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键． 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、已经为最简形式，故D选项不符合题意． 故选：C． 17．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】约分、分式的求值 【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时， ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 一、单选题 1．下列分式约分正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，故本选项错误；B.  不能约分，故本选项错误； C. ，故本选项错误；D. ，故本选项正确； 故选D 2．下列说法正确的是（    ） A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式 C．若分式有意义，则 D．若，则 【答案】B 【分析】题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A. 根据分式的基本性质，当时，可化为，故原说法错误； B. 分式是最简分式，说法正确； C. 若分式有意义，则，故原说法错误； D、若，则，故原说法错误； 故选B． 3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．扩大4倍 【答案】C 【分析】将x和y扩大2倍得到和，再代入分式即可得到答案． 【详解】解：， 分式的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的性质，分式中元素扩大或缩小n倍，将原数乘以或除以n，再代入原式求解，是此类题型的常见解法． 4．不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：分子分母同时扩大10倍，即原分式， 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 5．不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式本身的符号任意改变两个，分式的值不变． 【详解】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以， A、； B、； C、； D、， 故选：B． 【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变． 6．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则逐一作出判断 【详解】A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项正确； D、，故本选项正确. 故选A. 7．分式的值为0，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程．熟练掌握分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程，是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，且， ∴， 故选：A． 8．分式的值为正数的条件是（    ）． A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】易得分母为非负数，那么分式的值为正数，则应让分子大于0，分母不为0． 【详解】解：根据题意得：2-x＞0，（x+1）2≠0， ∴x＜2且x≠-1， 故选：B． 【点睛】用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；一个数的平方为非负数；两数相除，同号得正． 9．分式，，的最简公分母是(　　)． A．15abx B．15abx3 C．30abx D．30abx3 【答案】D 【分析】要求分式的最简公分母，就是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积. 【详解】解：系数的最小公倍数为2×3×5=30，字母因式的最高次幂的积为abx3，则最简公分母是30abx3， 故选择D. 【点睛】本题考查了求解分式的最简公分母. 10．若是整数，则使分式的值为整数的值有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴ 解得： ， 其中x的值为整数有：共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单． 二、填空题 11．，， 的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的概念，先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的定义即可解答．掌握最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母）的定义成为解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴它们的最简公分母是． 故答案为：． 12．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 13．利用分式的基本性质填空：． 【答案】 【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 14．观察下列各等式：，-，，-，......，猜想第八个分式 ． 【答案】 【分析】通过观察找出规律即可，第n个分式可表示为． 【详解】解：当n=8时，求得分式为： 所以答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律． 三、解答题 15．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，比例的性质，熟练掌握比例的性质，分式的化简求值是解题的关键．根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：设，则， ∴． 16．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？两者有什么区别？ ． 【答案】整式：；分式：区别是分母中是否含有字母，若含有字母则是分式，若不含有字母则是整式． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：整式：； 分式：． 它们的区别是分母中是否含有字母，若含有字母则是分式，若不含有字母则是整式． 【点睛】本题考查了分式的定义．在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 17．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是求分式的值，先设，则，，，然后再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 18．某村种植了玉米，总产量为；水稻的种植面积比玉米的种植面积多，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：）的式子． 【答案】， 【分析】利用总产量除以总面积得单位面积产量可分别用分式表示出玉米和水稻的单位面积产量． 【详解】解：由题意得，玉米和水稻的单位面积产量分别为：，水稻：． 【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 19．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】找到分子和分母的公因式，然后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到对应分子和分母的公因式是解题的关键． 20．约分： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)m (3) 【分析】（1）首先确定分子分母的公因式，然后再约掉分子分母的公因式即可； （2）把分子分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可； （3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可． 【详解】（1） ＝ = （2） ＝ =m； （3） ＝ =． 【点睛】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式． 21．通分： （1）与；                                       （2）与； （3）与；                              （4）与． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】（1）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． （2）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． （1）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． （1）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． 【详解】解：（1）与 与的最简公分母是， ，． （2）与 与的最简公分母是， ，． （3）与 与的最简公分母是， ，． （4）与 与的最简公分母是， ，． 【点睛】本题考查通分，解题的关键是找出它们的最简公分母． 22．先约分，后求值： （1），其中a=，b=-. 【答案】（1）4  （2） 【分析】对所求式子因式分解，根据分式的基本性质进行约分，代入运算即可. 【详解】① 当时， ② 【点睛】考查分式的化简求值，首先对所求式子用因式分解进行化简是解题的关键. 23．已知实数a，b，c满足． 分别求a，b，c的值； 若实数x，y，z满足，，，求的值． 【答案】 ，；． 【分析】（1）先利用完全平方公式进行配方，然后利用非负性求出a，b，c的值即可； （2）将（1）求得的a，b，c的值分别代入，求出，再将原式变形成 后代入计算即可. 【详解】已知等式整理得：， ，，， 解得：，； 把，代入已知等式， 得：，即； ，即； ，即， ， 则原式． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式和平方的非负性以及代数式的变形等，解题（1）的关键在于利用完全平方公式与其非负性来求解，解题（2）应先将原式变形后，用求倒数的方式求解. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 分式及其基本性质 课程标准 学习目标 1 分式的定义 2 分式有意义的条件 3 分式的值为零的条件 4分式的值 5 分式的基本性质 6约分 7 通分 8最简分式 9 最简公分母 10 列代数式（分式） 1 通过简单的应用题，引导学生列式，由分数的式子自然转到分式的式子，从而引出分式的概念，导入新课. 2 通过相应的习题使学生准确的理解分式的概念. 教学重、难点 · 重点：分式的意义及基本性质 · 难点：分式基本性质的灵活运用. 知识点01 分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【即学即练1】 1．（2022春•庐阳区校级月考）下列代数式中是分式的是　　 A． B． C． D． 知识点02 分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【即学即练1】 2．（2023春•金寨县期末）要使分式有意义，则的取值范围是 　　． 知识点03 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【即学即练1】 3．（2023春•蜀山区校级月考）如果分式的值为0，那么的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【即学即练2】 4．（2023春•龙子湖区月考）已知分式的值为0，则　　． 知识点04分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【即学即练1】 5．已知，求分式的值． 知识点05 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【即学即练1】 6．（2023春•蜀山区期末）下列各式中，错误的是　　 A． B． C． D． 知识点06约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【即学即练1】 7．（2022春•庐阳区校级月考）小丽在化简分式时，部分不小心滴上了墨水，请你推测，部分的式子应该是　　 A． B． C． D． 知识点07 通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【即学即练1】 8．通分 （1）与； （2）与． 知识点08最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 【即学即练1】 9．（2022春•庐阳区校级月考）下列说法正确的是　　 A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 知识点09 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【即学即练1】 10．，，的最简公分母是　　． 知识点10 列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 【即学即练1】 11．（2023春•金寨县期末）一项工程，甲单独做需小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是　　 A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 题型01 分式的判断 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列四个代数式中，其中为分式的是（    ） A． B． C． D． 题型02 分式的规律性问题 2．（21-22七年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（   ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明． 题型03 分式有意义的条件 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 题型04 分式值为零的条件 6．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若分式的值为，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知分式的值为，则 ． 题型05分式的求值 8．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）若，则的值是（    ） A．10 B． C． D．23 9．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）已知x，y，z满足，则分式的值为 ． 题型06求使分式值为整数时未知数的整数值 10．（20-21七年级下·安徽六安·期末）若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 11．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 题型07判断分式变形是否正确 12．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列式子从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型08利用分式的基本性质判断分式值的变化 13．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小4倍 题型09最简分式 14．（22-23七年级·安徽宣城·期中）下列式子中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 15．（19-20七年级下·安徽淮北·期末）化简： ． 题型10 约分 16．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 一、单选题 1．下列分式约分正确的是（        ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式 C．若分式有意义，则 D．若，则 3．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．扩大4倍 4．不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 5．不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 7．分式的值为0，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 8．分式的值为正数的条件是（    ）． A． B．且 C． D． 9．分式，，的最简公分母是(　　)． A．15abx B．15abx3 C．30abx D．30abx3 10．若是整数，则使分式的值为整数的值有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．，， 的最简公分母是 ． 12．当 时，分式的值为0． 13．利用分式的基本性质填空：． 14．观察下列各等式：，-，，-，......，猜想第八个分式 ． 三、解答题 15．已知，求的值． 16．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？两者有什么区别？ ． 17．已知，求的值． 18．某村种植了玉米，总产量为；水稻的种植面积比玉米的种植面积多，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：）的式子． 19．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．约分： (1) (2) (3) 21．通分： （1）与；                                       （2）与； （3）与；                              （4）与． 22．先约分，后求值： （1），其中a=，b=-. 23．已知实数a，b，c满足． 分别求a，b，c的值； 若实数x，y，z满足，，，求的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$