数学（广东卷01）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（广东卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，且满足，，等比数列的前项和为，且满足，，则的值为（   ） A．42 B．62 C．63 D．126 4．已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（   ） A． B． C． D． 6．若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（   ） A．-24 B．24 C． D．0 7．若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 8．罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．不存在，使得 D．在区间上单调递减 10．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 13．在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 14．已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，求的面积. 16．（15分） 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点． (1)求的方程并求点到直线的距离； (2)把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，底面为等腰三角形，，点为的中点，平面平面，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求该三棱锥外接球的体积； (3)在（2）的条件下，若点为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．    18．（17分） 已知函数. (1)求的极值； (2)若当时，，求实数的取值范围； (3)设实数，满足，证明：. 19．（17分） 随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的取值，其中为正整数，且可以由关于该健康指标的专门体检数据推算，具体方法为：某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合，重复的数据只能用一次，且，设集合中最小的元素为，最大的元素为，然后由随机变量u，v的值计算有关的概率或期望等数据，以此推算集合中对应的值，从而对该项健康状况作出评价，以此指导体检人选择有利于该项指标保持正常的健康生活方式，当正整数时，该项健康状况为正常. (1)若，试用表示符合条件的集合的个数； (2)若的概率，求值； (3)①当时，求，的概率； ②记随机变量是随机变量u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，随机变量的期望为12，试问：小帅的该项健康状况是否正常?请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）01·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 故选：C. 2．已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】z在复平面内对应的点为，则， 由，得， 化简得. 故选：A. 3．已知等差数列的前项和为，且满足，，等比数列的前项和为，且满足，，则的值为（   ） A．42 B．62 C．63 D．126 【答案】D 【解析】由，得，，故； 由，得，， 故； 故， 故选：D 4．已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当“直线和直线平行”时，平面和平面可能平行也可能相交，故不充分； 当“平面和平面平行”时，直线和直线可能平行也可能异面，故不必要； 因此“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线，令，可得，即直线过点； 抛物线的焦点，所以，解得， 所以抛物线，由，消去整理得， 设，，显然，则， 所以，则以线段为直径的圆的面积. 故选：C 6．若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（   ） A．-24 B．24 C． D．0 【答案】D 【解析】令，，则， 则由及, 在中，，，， 由正弦定理：,解得,故得为直角三角形， 且，所以. 故选：D 7．若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，其中锐角由确定， 由，得，而， 因此，即，则， 即，于是， 所以. 故选：B 8．罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意设在区间内的零点为，则有, 由罗尔中值定理可知，存在，使， 同理，由及罗尔中值定理可知，存在，使， 故在上至少有两个不等实根， 令， 则，显然在上单调递增, 当，时，，此时在上单调递增， 故在上至多只有一个实根； 同理可知，当，时，，此时在上单调递减， 故在上至多只有一个实根； 当时，令，可得， 易知，且在上单调递减，在单调递增， 故当且时，； 又， 故， 则由零点存在性定理知，故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．不存在，使得 D．在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】对于A，函数的定义域为R， ，因此为偶函数，A正确； 对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为， 因此的值域为，B正确； 对于C，由选项B知，存在唯一使得，则， 且，因此存在，使得，C错误； 对于D，函数在上单调递增，， 而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确. 故选：ABD 10．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（   ） A．     样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【解析】由经验回归方程单调递减，可知样本负相关，故A正确； 由题意样本均值分别为， 由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得，故B正确： 由图一的数据波动较大可得比更集中，所以，故C错误； 由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确． 故选：ABD 11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又，则的最大、最小值分别为和， 当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】 【解析】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项， 第五项的系数为. 故答案为： 13．在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 【答案】/ 【解析】因为成公差为的等差数列，所以； 因为，由正弦定理可得； 解得，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以的面积为， 故答案为：. 14．已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】法1：设为的图象上任意一点， 绕原点逆时针旋转后点的对应点为， 设，与正半轴夹角为， 可得：， 化简可得：令，则， 所以，令， 要使函数图像绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象， 则为单调函数，即恒成立，或恒成立. 因为，又，故不恒成立，所以恒成立， 当时，；当时，由，得， 令，则， 易得当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 当时，由，得，令，则， 所以在上单调递增，所以当时，的取值范围为， 所以.综上所述，的取值范围为. 法2：，当时，由，得， 由，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象； 当时，，其图象为轴，绕原点逆时针旋转后，为函数的图象，符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转后， 得到的曲线为某函数的图象，必有在上恒成立， 所以在上恒成立，令，则， 因为，所以当时，， 当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以，所以， 所以.综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，求的面积. 【解析】（1）因为， 可设，则， 所以； （5分） （2）由（1）知，，，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理，所以, 所以外接圆的半径为；（9分） （3）因为，由（1）知，，则， 所以.（13分） 16．（15分） 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点． (1)求的方程并求点到直线的距离； (2)把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程． 【解析】（1）依题意，，即，由点在上，得， 解得，，即，，半焦距，因此双曲线的方程为，（5分） 点，，在中，设点到直线的距离为， 由，解得， 所以点到直线的距离为.（7分） （2）记直线，的倾斜角分别为和，由（1）得直线的斜率， 而，则直线的斜率，   所以直线的方程为.（15分） 17．（15分） 如图，在三棱锥中，底面为等腰三角形，，点为的中点，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面平面； (2)若，求该三棱锥外接球的体积； (3)在（2）的条件下，若点为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）因为平面平面，平面平面， 在平面内过作交于，则平面. 同理，因为平面平面，平面平面， 在平面内过作交于，则平面. 又因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，而平面平面， 所以重合，所以平面.（3分） 因为平面，所以， 因为，点为的中点，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．（5分） （2）如图，因为平面，取底面的外心为，，则， 过点做的平行线，在此线上取点，使得，则为三棱锥外接球的球心， 分析可得外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为．（8分） （3）如图，以点B为坐标原点，直线AB，BD分别为z轴，y轴，过点B与平面ABD垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，（9分） ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以，（11分） 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以，（13分） 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分） 18．（17分） 已知函数. (1)求的极值； (2)若当时，，求实数的取值范围； (3)设实数，满足，证明：. 【解析】（1）由题可知，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，没有极小值. （4分） （2）设，根据题意，当时，恒成立. 又， 若，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意，（6分） 若，令，得或. 若，则恒成立，所以在上单调递增， 又当时，，不符合题意， 若，则，当时，，所以在上单调递增，（8分） 当时，，不符合题意 ，                                若，则，当时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在上成立， 要使在上也成立，只需，即，得， 故的取值范围是.（10分） （3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下， 除了点，的图象都在的图象的下方，（13分） 当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，， 直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，         由图可知.（17分） 19．（17分） 随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的取值，其中为正整数，且可以由关于该健康指标的专门体检数据推算，具体方法为：某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合，重复的数据只能用一次，且，设集合中最小的元素为，最大的元素为，然后由随机变量u，v的值计算有关的概率或期望等数据，以此推算集合中对应的值，从而对该项健康状况作出评价，以此指导体检人选择有利于该项指标保持正常的健康生活方式，当正整数时，该项健康状况为正常. (1)若，试用表示符合条件的集合的个数； (2)若的概率，求值； (3)①当时，求，的概率； ②记随机变量是随机变量u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，随机变量的期望为12，试问：小帅的该项健康状况是否正常?请说明理由. 【解析】（1）由及知符合条件的集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数， 等于；（4分） （2）依题意 又，故 解之得；（9分） （3）①当，且，时，集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7， 故符合条件的集合的个数为， 所以（11分） ②易知 又的可能取值为，，…，，，，…，，，，…，，…，， （12分） 故 又随机变量是随机变量的等差中项，故 （15分） 所以 依题意，故，则， 所以小帅的该项健康指标不正常. （17分） 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（广东卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，且满足，，等比数列的前项和为，且满足，，则的值为（   ） A．42 B．62 C．63 D．126 4．已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（   ） A． B． C． D． 6．若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（   ） A．-24 B．24 C． D．0 7．若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 8．罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．不存在，使得 D．在区间上单调递减 10．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（    ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 13．在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 14．已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，求的面积. 16．（15分） 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点． (1)求的方程并求点到直线的距离； (2)把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，底面为等腰三角形，，点为的中点，平面平面，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求该三棱锥外接球的体积； (3)在（2）的条件下，若点为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．    18．（17分） 已知函数. (1)求的极值； (2)若当时，，求实数的取值范围； (3)设实数，满足，证明：. 19．（17分） 随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的取值，其中为正整数，且可以由关于该健康指标的专门体检数据推算，具体方法为：某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合，重复的数据只能用一次，且，设集合中最小的元素为，最大的元素为，然后由随机变量u，v的值计算有关的概率或期望等数据，以此推算集合中对应的值，从而对该项健康状况作出评价，以此指导体检人选择有利于该项指标保持正常的健康生活方式，当正整数时，该项健康状况为正常. (1)若，试用表示符合条件的集合的个数； (2)若的概率，求值； (3)①当时，求，的概率； ②记随机变量是随机变量u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，随机变量的期望为12，试问：小帅的该项健康状况是否正常?请说明理由. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（广东卷）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D D C D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）因为， 可设，则， 所以； （5分） （2）由（1）知，，，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理，所以, 所以外接圆的半径为；（9分） （3）因为，由（1）知，，则， 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）依题意，，即，由点在上，得， 解得，，即，，半焦距，因此双曲线的方程为，（5分） 点，，在中，设点到直线的距离为， 由，解得， 所以点到直线的距离为.（7分） （2）记直线，的倾斜角分别为和，由（1）得直线的斜率， 而，则直线的斜率，   所以直线的方程为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为平面平面，平面平面， 在平面内过作交于，则平面. 同理，因为平面平面，平面平面， 在平面内过作交于，则平面. 又因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，而平面平面， 所以重合，所以平面.（3分） 因为平面，所以， 因为，点为的中点，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．（5分） （2）如图，因为平面，取底面的外心为，，则， 过点做的平行线，在此线上取点，使得，则为三棱锥外接球的球心， 分析可得外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为．（8分） （3）如图，以点B为坐标原点，直线AB，BD分别为z轴，y轴，过点B与平面ABD垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，（9分） ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以，（11分） 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以，（13分） 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题可知，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，没有极小值. （4分） （2）设，根据题意，当时，恒成立. 又， 若，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意，（6分） 若，令，得或. 若，则恒成立，所以在上单调递增， 又当时，，不符合题意， 若，则，当时，，所以在上单调递增，（8分） 当时，，不符合题意 ，                                若，则，当时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在上成立， 要使在上也成立，只需，即，得， 故的取值范围是.（10分） （3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下， 除了点，的图象都在的图象的下方，（13分） 当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，， 直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，         由图可知.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由及知符合条件的集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数， 等于；（4分） （2）依题意 又，故 解之得；（9分） （3）①当，且，时，集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7， 故符合条件的集合的个数为， 所以（11分） ②易知 又的可能取值为，，…，，，，…，，，，…，，…，， （12分） 故 又随机变量是随机变量的等差中项，故 （15分） 所以 依题意，故，则， 所以小帅的该项健康指标不正常. （17分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$