课时达标检测19 圆的一般方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(十九)　圆的一般方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心,半径为2的圆的方程为(B) A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=4 C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=4 解析　圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1,0),所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=4。 2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆,则m的取值范围是(D) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,1) 解析　由题意可得42+(-2)2-4×5m>0,即m<1。 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(B) A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0 解析　把x2+y2-2x+6y+8=0配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圆心为(1,-3),代入各选项,可知直线2x+y+1=0过圆心。 4.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为(C) A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 解析　直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0,由得C(-1,2)。所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0。 5.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是(B) A.x2+y2=32 B.x2+y2=16 C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 解析　设M(x,y),则点M的轨迹方程为,整理得x2+y2=16。 6.圆C:x2+y2-4x+2y=0关于直线y=x+1对称的圆的方程是(C) A.(x+1)2+(y-2)2=5 B.(x+4)2+(y-1)2=5 C.(x+2)2+(y-3)2=5 D.(x-2)2+(y+3)2=5 解析　把圆C的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5,得圆心C(2,-1),半径r=。设圆心C关于直线y=x+1的对称点为C'(x0,y0),则故C'(-2,3),所以圆C关于直线y=x+1对称的圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=5。 二、多项选择题 7.若a∈,方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为(ABD) A.-2 B.0 C.1 D. 解析　根据题意,若方程表示圆,则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1,又a∈{-2,0,1,},则a的值可以为-2,0,。 8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则(AC) A.D=2 B.D=-2 C.E=-4 D.E=4 解析　圆心C,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以--1=0,即D+E=-2　①,又r=,所以D2+E2=20　②,由①②可得又圆心在第二象限,所以-<0,即D>0,所以 三、填空题 9.过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程为 x2+y2-8x+6y=0 。  解析　设过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0。 10.已知圆C:x2+y2-2x+2y-3=0,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为 (2,-3) 。  解析　由x2+y2-2x+2y-3=0,得(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆心C(1,-1)。设B(x0,y0),又A(0,1),由中点坐标公式得所以点B的坐标为(2,-3)。 11.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则圆心为 (-1,1) ,半径为  。  解析　由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上,将代入直线方程得-1-+2=0,解得a=-2。故圆C的方程为x2+y2+2x-2y-3=0,即(x+1)2+(y-1)2=5,因此圆心为(-1,1),半径为。 四、解答题 12.已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程。 解　解法一:设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)　①,将P,Q的坐标分别代入①,得令x=0,由①得y2+Ey+F=0　④,由已知|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程④的两根。所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48　⑤。解②③⑤联立成的方程组,得故所求方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0。 解法二:求得PQ的中垂线方程为x-y-1=0　①。因为所求圆的圆心C在直线①上,故设其坐标为(a,a-1),又圆C的半径r=|CP|=　②。由已知圆C截y轴所得的线段长为4,而圆心C到y轴的距离为|a|,故r2=a2+,代入②并将两端平方,并整理得a2-6a+5=0,解得a1=1,a2=5。所以当圆心为(1,0)时,半径r1=;当圆心为(5,4)时,半径r2=。故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37。 13.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆。 (1)求圆M的方程; (2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由。 解　(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0。因为圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),所以解得D=0,E=3-a,F=-3a。所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0。 (2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0。由解得x=0,y=-3。所以圆M过定点(0,-3)。 素养提升 14.要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有(A) A.D2-4F>0,F<0 B.D<0,F>0 C.D≠0,F≠0 D.D<0,F<0 解析　令y=0,则圆的方程可化为x2+Dx+F=0,当D2>4F,即方程有两解时,这个方程的两根为该圆与x轴的交点的横坐标,根据题意,要求该圆与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,由根与系数的关系,得F<0,且满足D2>4F。 15.自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,求点P的轨迹方程。 解　由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图。因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$